3.2.2 复数代数形式的乘除运算 课件 24张PPT

(共24张PPT)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)
(a+bi)±(c+di) =________________.
1.加法、减法的运算法则
2.加法运算律：
对任意z1，z2，z3∈C
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
交换律：
结合律：
(a±c)+(b±d)i
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)
3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.


x





o
y

Z1(a，b)

Z2(c，d)
Z


o
x
y


Z2(c，d)

Z1(a，b)
向量OZ1+OZ2


z1+z2

向量OZ1-OZ2

z1-z2


复平面中点
Z1与点Z2间的距离
|z1-z2|表示：_________
______________.
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)
4.复数模的几何意义：
Z1(a，b)


o
x
y


Z2(c，d)

特别地，|z|表示：______________________.
复平面中点Z与原点间的距 离
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
_______________.
点(-1，-2)的距离
点Z(对应复数z)到
掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.
（重点）
2.对复数除法法则的运用.（难点）
3.乘法的运算法则与运算律.
4.共轭复数的定义是什么.
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法则如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i.
即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
注意：两个复数的积是一个确定的复数.
探究点2 复数乘法的运算律
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
请验证乘法是否满足交换律?
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di
则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
所以 z1·z2=z2·z1
(交换律)
乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1 (交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)
例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i.
分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1
例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2.
解: (1)(3+4i)(3-4i)
=32-(4i)2
=9-(-16)
=25.
(2)(1+i)2
=1+2i+i2
=1+2i-1
=2i.
【总结提升】
（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；
（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．
探究点3 共轭复数的定义
　　一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
实数的共轭复数是它本身.
思考：若z1，z2是共轭复数，那么
　　（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
　　（２） z1·z2是一个怎样的数？
记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作
=a-bi
解：⑴作图
y
x




(a,b)
(a,-b)
z1=a+bi

o

y
x


(a,0)
z1=a
o
x




y
z1=bi
(0,b)
(0,-b)
o
得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称.
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
=a2-abi+abi-b2i2
=a2+b2
结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.
探究点4 共轭复数的相关运算性质
?
探究点5 复数除法的法则
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.
复数除法的法则是:
方法:在进行复数除法运算时,通常先把
在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.
先写成分式形式
然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数
结果化简成代数形式
B
2. 若复数z=1+i (i为虚数单位) 是z的共轭复数 ，
则 + 的虚部为（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. -2
3.（2016·新课标全国卷Ⅱ） ( )
A． B. C. D.
B
A
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并.
2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立.
3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
实数的共轭复数是它本身.
4.复数代数形式的除法实质：分母实数化.
男儿不展风云志，空负天生八尺躯.