苏科版数学八年级下册第10章《分式》培优专项练习题（含解析）

苏科版八年级下册第10章《分式》培优专项练习题
一．选择题（共12小题）
1．下列式子中，a取任何实数都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．分式的最简公分母是（　　）
A．（a2﹣4ab+4b2）（a﹣2b）（a+2b）
B．（a﹣2b）2（a+2b）
C．（a﹣2b）2（a2﹣4b2）
D．（a﹣2b）2（a+2b）2
4．已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1
5．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
6．已知，则的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
7．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）?的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
8．已知，则A＝（　　）
A． B． C． D．x2﹣1
9．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
10．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
11．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（　　）
A．+＝1 B．++＝1
C．+＝1 D．+2（+）＝1
12．观察下列等式：
＝1﹣，
＝﹣，
＝﹣，
…＝﹣
将以上等式相加得到
+++…+＝1﹣．
用上述方法计算：+++…+其结果为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
13．若分式的值为零，则x＝　 　．
14．计算的结果为　 　．
15．与通分后的结果是　 　．
16．如果x+＝3，则的值等于　 　
17．当x＝m时，分式+x的值等于m，那么m≠　 　且m≠　 　．
18．已知a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，则n的最大值是　 　．
19．已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则＝﹣；②若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）＝；③若c＝5，则a2+b2＝15．其中正确的结论是　 　．（填序号）
三．解答题（共6小题）
20．先约分，再求值：，其中a＝2，b＝
21．若＝+，试求A、B的值．
22．已知：A＝÷（﹣）．
（1）化简A；
（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值；
（3）若|x﹣y|+＝0，A的值是否存在，若存在，求出A的值，若不存在，说明理由．
23．某水果店2400元购进一批葡萄，很快售完；又用5000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）求第一批葡萄每件进价多少元？
（2）若以每件150元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于640元，剩余的葡萄每件售价至少打几折（利润＝售价﹣进价）？
24．一项工程，如果由甲队单独做这项工程刚好如期完成，若乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．现由若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．已知甲、乙两队施工一天的工程费分别为16万元和14万元．
（1）求规定如期完成的天数．
（2）现有两种施工方案：方案一：由甲队单独完成；方案二：先由甲、乙合作4天，再由乙队完成其余部分；通过计算说明，哪一种方案比较合算．
25．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：＝＝+＝1+．
（1）请写出分式的基本性质　 　；
（2）下列分式中，属于真分式的是　 　；
A.B.C．﹣D.
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．



苏科版八年级下册第10章《分式》培优专项练习题
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．下列式子中，a取任何实数都有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：A、，无论a为何值，a2+1都大于零，故a取任何实数都有意义，符合题意；
B、，a2﹣1有可能小于零，故此选项不合题意；
C、，a﹣1有可能小于零，故此选项不合题意；
D、，当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；
故选：A．
2．中国首列商用磁浮列车平均速度为akm/h，计划提速20km/h，已知从A地到B地路程为360km，那么提速后从甲地到乙地节约的时间表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
﹣＝．
故选：A．
3．分式的最简公分母是（　　）
A．（a2﹣4ab+4b2）（a﹣2b）（a+2b）
B．（a﹣2b）2（a+2b）
C．（a﹣2b）2（a2﹣4b2）
D．（a﹣2b）2（a+2b）2
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式的分母分别是（a﹣2b）2、（a﹣2b）、（a+2b），
所以其最简公分母是（a﹣2b）2（a+2b）．
故选：B．
4．已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1
【分析】用x、y的相反数代入分式，即可判断a、b关系．
【解答】解：根据题意：用x、y的相反数代入这个分式b＝＝﹣a，
所以a、b关系是互为相反数，
故选：B．
5．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选：B．
6．已知，则的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【分析】解决本题首先将已知条件转化为最简形式，再把所求分式通分、代值即可．本题考查了分式的加减运算．
【解答】解：把已知+＝去分母，得
（a+b）2＝ab，即a2+b2＝﹣ab
∴+＝＝＝﹣1．故选：C．
7．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）?的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】先化简，然后将a2+2a的值代入计算即可．
【解答】解：（a﹣）?
＝
＝
＝a2+2a
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1
故选：A．
8．已知，则A＝（　　）
A． B． C． D．x2﹣1
【分析】根据已知得出A＝?（1+），先算括号内的加法，再算乘法即可．
【解答】解：∵，
∴A＝?（1+）
＝?
＝，
故选：B．
9．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．
【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，
∴x＝y+3，y2+﹣＝0，
∴y2﹣＝﹣
∴﹣y2
＝
＝1+
＝1﹣（﹣）
＝1+
＝，
故选：D．
10．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：﹣＝100．
故选：D．
11．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（　　）
A．+＝1 B．++＝1
C．+＝1 D．+2（+）＝1
【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据两队的总工作量为“1”列出方程．
【解答】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据题意，得++＝1或+＝1或+2（+）＝1．观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
12．观察下列等式：
＝1﹣，
＝﹣，
＝﹣，
…＝﹣
将以上等式相加得到
+++…+＝1﹣．
用上述方法计算：+++…+其结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题是规律性题型，基本方法是，将一个分数分为两个分数的差，因为所求式子，每一个分母的两个因数相差2，一个分数分为两个分数时，需要乘以．
【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．
二．填空题（共7小题）
13．若分式的值为零，则x＝　﹣1　．
【分析】直接利用分式的值为0，则分子为零，且分母不为零，进而求出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．计算的结果为　1　．
【分析】分子分母约去公因式即可．
【解答】解：，
故答案为：1
15．与通分后的结果是　＝；＝　．
【分析】首先找出两个分式的最简公分母是（1﹣a）（a+1）2，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可．
【解答】解：＝；
＝．
故答案为：＝；＝．
16．如果x+＝3，则的值等于　　
【分析】由x+＝3得x2+2+＝9，即x2+＝7，整体代入原式＝＝，计算可得．
【解答】解：∵x+＝3，
∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，
则x2+＝7，
∵x≠0，
∴原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
17．当x＝m时，分式+x的值等于m，那么m≠　3　且m≠　﹣3　．
【分析】由x＝m时+x＝m知x2﹣9≠0，据此可得．
【解答】解：∵当x＝m时，分式+x＝m，
∴m≠3且m≠﹣3，
故答案为：3、﹣3．
18．已知a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，则n的最大值是　42　．
【分析】根据a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，故要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小，对a，b，c从小到大赋值计算，可得答案．
【解答】解：a，b，c，n是互不相等的正整数，且也是整数，
∴要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小
∴若a＝2，b＝3，c＝4，则++＝++＝
故此种情况不符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝5，则，则++＝++＝
故此种情况不符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝6，则++＝++＝1
故此种情况不符合题意；
若a＝2，b＝3，c＝7，则++＝++＝
此时n＝42，则也是整数，符合题意
故n的最大值为：42．
19．已知实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，有下列结论：①若c≠0，则＝﹣；②若c≠0，则（1﹣a）（1﹣b）＝；③若c＝5，则a2+b2＝15．其中正确的结论是　①②③　．（填序号）
【分析】①根据a+b＝ab＝c，将中分子和分母中a+b换为ab，即可求得所求式子的值；
②根据a+b＝ab，两边同时除以ab，化简，可以得到＝1，再将（1﹣a）（1﹣b）化简，即可判断是否正确；
③根据a+b＝ab＝c，c＝5，通过变形即可得到a2+b2的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵实数a、b、c满足a+b＝ab＝c，
∴若c≠0，则＝＝＝＝﹣，故①正确；
若c≠0，，即，故（1﹣a）（1﹣b）＝1﹣（a+b）+ab＝1﹣ab+ab＝1＝，故②正确；
若c＝5，则（a+b）2＝c2＝25，即a2+2ab+b2＝25，故a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣2×5＝15，故③正确；
故答案为：①②③．
三．解答题（共6小题）
20．先约分，再求值：，其中a＝2，b＝
【分析】原式约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
＝
把a＝2，b＝代入
原式＝＝．
21．若＝+，试求A、B的值．
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【解答】解：＝+＝，
∴（A+B）x+B﹣A＝x﹣3，
即A+B＝1，B﹣A＝﹣3，
解得：A＝2，B＝﹣1．
22．已知：A＝÷（﹣）．
（1）化简A；
（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值；
（3）若|x﹣y|+＝0，A的值是否存在，若存在，求出A的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）先把括号里面的通分，再除法即可；
（2）利用完全平方公式，求出x﹣y的值，代入化简后的A中，求值即可；
（3）利用非负数的和为0，确定x、y的关系，把x、y代入A的分母，判断A的值是否存在．
【解答】解：（1）A＝÷
＝﹣×
＝﹣
（2）∵x2+y2＝13，xy＝﹣6
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
＝13+12＝25
∴x﹣y＝±5
当x﹣y＝5时，A＝﹣；
当x﹣y＝﹣5时，A＝．
（3）∵|x﹣y|+＝0，|x﹣y|≥0，≥0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0
当x﹣y＝0时，
A的分母为0，分式没有意义．
所以当|x﹣y|+＝0，A的值是不存在．
23．某水果店2400元购进一批葡萄，很快售完；又用5000元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）求第一批葡萄每件进价多少元？
（2）若以每件150元的价格销售第二批葡萄，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批葡萄的销售利润不少于640元，剩余的葡萄每件售价至少打几折（利润＝售价﹣进价）？
【分析】（1）设第一批葡萄每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批葡萄所购件数是第一批的2倍；
（2）设剩余的葡萄每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于640元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批葡萄每件进价x元，
根据题意，得：×2＝，
解得 x＝120．
经检验，x＝120是原方程的解且符合题意．
答：第一批葡萄每件进价为120元．
（2）设剩余的葡萄每件售价打y折．
根据题意，得：×150×80%+×150×（1﹣80%）×0.1y﹣5000≥640，
解得：y≥7．
答：剩余的葡萄每件售价最少打7折．
24．一项工程，如果由甲队单独做这项工程刚好如期完成，若乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．现由若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．已知甲、乙两队施工一天的工程费分别为16万元和14万元．
（1）求规定如期完成的天数．
（2）现有两种施工方案：方案一：由甲队单独完成；方案二：先由甲、乙合作4天，再由乙队完成其余部分；通过计算说明，哪一种方案比较合算．
【分析】（1）设规定的工期为x天，则甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+5）天，根据甲队完成的部分+乙队完成的部分＝总工程（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用总费用＝单天费用×工作时间分别求出方案一、二所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设规定的工期为x天，则甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+5）天，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：规定工期为20天．

（2）方案一所需费用为16×20＝320（万元）；
方案二所需费用为16×4+14×20＝344（万元）．
∵320＜344，
∴选择方案一合算．
25．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：＝＝+＝1+．
（1）请写出分式的基本性质　分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．　；
（2）下列分式中，属于真分式的是　C　；
A.B.C．﹣D.
（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．
【分析】（1）根据分式的基本性质回答即可；
（2）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式进行判断；
（3）先把m2+3化为m2﹣1+4得到，其中前面一个分式约分后化为整式m﹣1，后面一个是真分式．
【解答】解：（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．
（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式．
故选C．
（3）＝m﹣1+