数列的通项公式与递推公式
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1 B.
C. D.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15 B．16
C．31 D．32
5．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg n B．2＋(n－1)lg n
C．2＋nlg n D．1＋n＋lg n
7．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，6)
8．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 017＋a2 018等于( )
A．4 B.
C. D.
二、填空题
9．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
10．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
三、解答题
11．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．
数列的通项公式与递推公式
班级______________ 姓名______________
一、选择题
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B 由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：选C ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15 B．16
C．31 D．32
解析：选C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
5．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选A 由an＋1＝?an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg n B．2＋(n－1)lg n
C．2＋nlg n D．1＋n＋lg n
解析：选A 由an＋1＝an＋lg?an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋lg（2×××…×）＝2＋lg n.
7．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，6)
解析：选D 依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立．注意到当n∈N*时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．
8．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2 017＋a2 018等于( )
A．4 B.
C. D.
解析：选B a2＝f ＝－1＝；
a3＝f ＝－1＝；
a4＝f ＝＋＝；
a5＝f ＝2×－1＝；
a6＝f ＝2×－1＝；
即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2 017＋a2 018＝a4＋a5＝.故选B.
二、填空题
9．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案：－9
10．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1?＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050.
答案：5 050
三、解答题
11．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….
∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
∴an＋1
又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项.
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，试探究数列{an}的通项公式．
解：法一：将n＝1,2,3,4依次代入递推公式得a2＝，a3＝，a4＝.
又a1＝，∴可猜想an＝.
则有an＋1＝，将其代入递推关系式验证成立．
∴an＝(n∈N*)．
法二：∵an＋1＝，∴an＋1an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1an，得－＝.
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝.
又a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
