2020春中考数学专题——几何动点运动轨迹及最值专题讲义（PDF版，无答案）
文档属性
| 名称 | 2020春中考数学专题——几何动点运动轨迹及最值专题讲义（PDF版，无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 602.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-10 17:32:38 | ||
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文档简介
第 1 页 共 16 页
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）
Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；
1．在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（0，2），点M的坐标为
3 9
( 1, )
4 4
m m? ? ? (其中 m为实数)，当 PM
的长最小时，m的值为__________．
2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若 OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面
积，求点 C的坐标．
Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
3．如图，矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE：ED＝1：3．动点 P 从点 A 出发，沿
AB运动到点 B停止．过点 E作 EF⊥PE交射线 BC于点 F，设M是线段 EF的中点，则在点 P运动的整
个过程中，点 M运动路线的长为_________.
【变式 1】如图，矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝8，点 E在边 AD上，且 AE：ED＝1：3．动点 P从点 A出
发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF⊥PE 交边 BC 或 CD 于点 F，设 M 是线段 EF 的中
点，则在点 P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.
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【变式 2】如图，在矩形 ABCD中，点 P在 AD上，AB＝2，AP＝1，E是 AB上的一个动点，连接 PE，过
点 P作 PE的垂线，交 BC于点 F，连接 EF，设 EF的中点为 G，当点 E从点 B运动到点 A时，
点 G移动的路径的长是_________.
【变式 3】在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是 AD边的中点，点 E在 AB边上，EP的延长线交射线 CD
于 F点，过点 P作 PQ⊥EF，与射线 BC相交于点 Q．
（1）如图 1，当点 Q在点 C时，试求 AE的长；
（2）如图 2，点 G为 FQ的中点，连结 PG．
①当 AE＝1 时，求 PG的长；
②当点 E从点 A运动到点 B时，试直接写出线段 PG扫过的面积． 变式 3 图 1
4．如图，C、D 是线段 AB 上两点，且 AC＝BD＝
1
6
AB＝1，点 P 是线段 CD 上一个动点，在 AB 同侧分别
作等边△PAE 和等边△PBF，M为线段 EF 的中点。在点 P 从点 C移动到点 D 时，点 M 运动的路径长度
为__________．
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变式 3 图 2
A BC D
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【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D在线段 AB上且 AC＝DB＝2；P是线段 CD上的动点，分别以 AP、PB为
边在线段 AB的同侧作正方形 APEF和正方形 PBGH，点 O1 和 O2 是这两个正方形的中心，连接
O1O2，设 O1O2 的中点为 Q；当点 P从点 C运动到点 D时，则点 Q移动路径的长是_________．
【变式 2】等边三角形 ABC中，BC＝6，D、E是边 BC上两点，且 BD＝CE＝1，点 P是线段 DE上的一个
动点，过点 P分别作 AC、AB的平行线交 AB、AC于点 M、N，连接MN、AP交于点 G，则点 P
由点 D移动到点 E的过程中，线段 BG扫过的区域面积为______．
【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC＝DB＝1，点 P 是线段
CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形 BRQP，E、F分
别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF的中点为 G，则当点 P从点 C 运动到点 D 时，点 G 移
动的路径长为______．
5．如图，已知在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P为 AB边上的一动点，连接 PD
并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF的最小值为
__________.
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OQ 2
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NM
RQ
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HK
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【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC上取点 P（P与 B、C不重合），
连接 PA延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD并延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、
PF为边作平行四边形，另一个顶点为 G，求 PG长度的最小值（用 x，y表示）.
【同型练】如图，已知矩形 OABC的顶点 A、C分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O是坐标原点，则对角线 OB
长的最小值为______．
Ⅲ．当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。
6 ．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为 AC中点，若点
D在直线 BC上运动，连接 OE，则在点 D运动过程中，线段 OE的最小值是为__________.
【变式】如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕
点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点M运动过程中，线段 HN长度的最小值是________．
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7．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC上一动点 P从 C点开始运动，到 B点停止，以 AP
为边在 AC的右侧做等边△APQ，则 Q点运动的路径长为___________．
8．如图 1，在 ABC? 中， 30CAB? = ?，BC=1，D为 AB上一动点(不与点 A重合)，? AED为等边三角形，
过 D点作 DE的垂线，F为垂线上任一点，G为 EF的中点，则线段 CG长的最小值是_________。
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为 AB的中点．D是射线 BC上一个动点，连接 AD，将线段
AD绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED，N为 ED的中点，连接 AN，MN．
（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM与 AB的位置关系是_________；
（2）如图 2，当 4＜BD＜8 时，判断（1）中 NM与 AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点 D运动的过程中，求ME的长的最小值？
3 题图 1 3 题图 2 备用图
C B
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【秒杀训练】
10．点 A的坐标为（-1，0），点 B在直线 y x= 上运动，当线段 AB最短时，点 B的坐标为（ ）
A. (0,0) B.
1 1
( , )
2 2
? ? C.
2 2
( , )
2 2
? D.
1 1
( , )
2 2
? ?
11．如图，⊙O的半径为 2，点 O到直线 l的距离为 3，点 P是直线 l上的一个动点，PQ切⊙O于点 Q，则
PQ的最小值为（ ）
A． 13 B． 5
C．3 D．2
12．如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是 BC的中点。
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点 M旋转，当MD（即MD?）与 AB交于一点 E，MC（即MC?）同时与 AD交于一点 F
时，点 E，F和点 A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存
在，请计算出△AEF周长的最小值。
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二、动点运动轨迹——圆或圆弧型（动点轨迹为定圆，利用三点共线）
Ⅰ．当动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．时．，动点的轨迹是圆或圆弧；
13．如图，在正方形 ABCD中，边长为 2，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC边上任意一点，将△BEF 沿 EF
所在直线折叠得到△PEF，连接 AP、CP，则 CP的最小值________，AP的最小值是_________.
14．如图，正方形 ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段 QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果
点 Q从点 A出发，沿图中所示方向按 A→B→C→D→A滑动到点 A为止，同时点 F从点 B出发，沿图中所
示方向按 B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的
图形的面积为_____________．
【变式 1】在矩形 ABCD中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm的木棒 EF紧贴着矩形的边（即
两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所
围成的图形的面积_______cm2.
【变式 2】如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，AD＝3，点 E、F分别为 AD、DC边上的点，且 EF＝2，点 G
为 EF的中点，点 P为 BC上一动点，则 PA＋PG的最小值为________．
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【变式 3】如图，一根木棒 AB 长为 2a，斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝
60°，若木棒沿直线 NO下滑，且 B端沿直线 OM向右滑行，则木棒中点 P也随之运动，已知 A
端下滑到 A′时，AA′＝( 3 2? )a，则木棒中点 P随之运动到 P′所经过的路线长_______________．
15．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为________．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是 AB边上的动点（不与点 B重合），将△BCP沿
CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A长度的最小值是________．
17．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是 AD 边的中点，N是 AB 边上的一动点，
将△AMN沿 MN所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C长度的最小值是________．
18．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点．当
点 P沿半圆从点 A运动至点 B时，点 M运动的路径长是________．
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O M
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B'
P P'
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19．如图，矩形 ABCD 中，AD＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE 绕点 A 旋转，连接 EC，取 EC 的中点 F，
连接 DF，则 DF的取值范围为________。
Ⅱ．当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；
见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
20．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G
上一动点，CF⊥AE于 F，当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D时，点 F所经过的路径长为__________.
s
21．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC分别在 x轴、y轴上，点 B 的坐标为(7，3)，点 E在边 AB上，且 AE
＝1，若点 P为 y轴上一动点，连接 EP，过点 O作直线 EP的垂线段，垂足为点 H，在点 P从 F(0，
25
4
)运
动到原点 O的过程中，点 H的运动路径长为______．
22．在正方形 ABCD中，AD＝2，点 E从 D出发向终点 C运动，点 F从 C出发向终点 B运动，且始终保持
DE＝CF，连接 AE和 DF交于点 P，则 P点运动的路径长是________．
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23．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于
H，连接 AH，则 AH的最小值为______．
24．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，
则线段 CP长的最小值为________．
25．如图，在边长为 2 3的等边△ABC中，动点 D从 C向终点 B运动，同时点 E以相同的速度从 A出发向
终点 C运动，连接 BE、AD相交于点 P，则点 P的路径长为________．
26．如图，⊙O的半径为 1，弦 AB＝1，点 P为优弧 AB上一动点，AC⊥AP交直线 PB于点 C，则△ABC的
最大面积是____________.
27．如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x轴交于 A(1，0)、B(4，0)两点，与 y轴交于 C(0，2)，连结 AC、
BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于 D、E两点，求直线 DE的解析式；
（3）若点 P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的 P点坐标．
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28．如图，在正方形 ABCD中，AB＝2，动点 E从点 A出发向点 D运动，同时动点 F从点 D出发向点 C运
动，点 E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE相交于点 P，则
线段 DP的最小值为__________。
【变式】直线 y＝x＋4 分别与 x轴、y轴相交与点 M、N，边长为 2 的正方形 OABC一个顶点 O在坐标系的
原点，直线 AN与MC相交于 P，若正方形绕着点 O旋转一周，则点 P到点(0，2)长度的最小值是
__________．
29．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B分别在平面直角坐标系的 x轴、y 轴的正半轴上滑动，
点 C点 D在第一象限，点 E为正方形 ABCD的对称中心，连结 OE，则 OE的长的最大值是__________．
【变式】如图，已知平面直角坐标系中，直线 y＝kx(k≠0)经过点 C(a，3a)（a＞0）．线段 BC 的两个端点分
别在 x轴与直线 y＝kx上（B、C均与原点 O不重合）滑动，且 BC＝2，分别作 BP⊥x轴，CP⊥直
线 y＝kx，交点为 P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值．
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30．如图 1，开口向下的抛物线 2( 2)y a x k= ? + 交 x轴于点 A，B两点，交 y轴正半轴于点 C，顶点为 P，
过顶点 P作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连结 CP，CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图 2，若点 D为射线 PC上的动点，BD交△PMD的外接圆于点 Q，求 PQ的最小值.
图 1 图 2
【强化训练】
31．如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，
交 BC于 E点，直线 BD交⊙O于 P点，弧 AE＝CP，则 AD的最小值为_______
【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P在射线 AM上运动，连 BP交
△APC的外接圆于 D，则 AD的最小值为_______
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32．如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为 AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于 E点，
连 CE，则 CE的最小值为_______
33．如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于 E、F 两点，C为弧 AB 的中点，D
为 EF的中点．当射线绕 O点旋转时，CD的最小值为__________
34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是 BC上一动点，D是 AP的中点，连接 CD，则 CD
的最小值为__________
35．如图，在动点 C与定长线段 AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点 E，连接 DE．当
点 C在运动过程中，始终有
2
2
DE
AB
= ，则点 C到 AB的距离的最大值是_________
36．如图，已知以 BC 为直径的⊙O，A 为弧 BC 中点，P 为弧 AC 上任意一点，AD⊥AP 交 BP 于 D，连
CD．若 BC＝8，则 CD的最小值为___________。
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三、动点轨迹为其他曲线，构造三角形
37．如图，∠MON=90°，矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边 OM，ON上，当 B在边 ON上运动时，A随之
在边 OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，求运动过程中，点 D到点 O的最大距
离.
38．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，tan∠BAC=
1
2
，点 D在边 AC的三等分点处，将线段 AD绕
点 A旋转，连接 BD，F为 BD中点，求线段 CF长度的最大值．
39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C分别在 x轴、y轴上，当点 A在 x轴运动时，
点 C随之在 y轴上运动，在运动过程中，点 B到原点 O的最大距离为___________。
40．如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON上，当 A 在边 OM 上运动时，B 随之在边 ON
上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形 AOBC 的面积的最大值是
___________.
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41．如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C落在第二象限．其斜边两端点 A、B分别落
在 x轴、y轴上，且 AB=12cm.
（1）若 OB=6cm．
①求点 C的坐标；
②若点 A向右滑动的距离与点 B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点 C与点 O的距离的最大值=___________cm．
四、双动点型
I．利用等量代换实现转化
42．△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P是 AB上一动点，且 PE⊥AC于 E，PF⊥BF于
F，求 EF的最小值.
II．利用和差关系实现转化
43．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C且与边 AB相切的动圆与 CA，CB分别相交于点
P，Q，则线段 PQ长度的最小值是___________．
III．利用勾股定理实现转化
44．如图，在 Rt△AOB中，OA=OB=3 2 ，圆 O的半径为 1，点 P是 AB边上的动点，过点 P作圆 O的一
条切线 PQ(点 Q为切点)，则切线 PQ的最小值为______．
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AC P
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IV．利用三角形边角关系实现转化
45．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径画 O分
别交于 AB、AC于 E、F，连接 EF，则线段 EF长度的最小值为__________．
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2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）
Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；
1．在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（0，2），点M的坐标为
3 9
( 1, )
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m m? ? ? (其中 m为实数)，当 PM
的长最小时，m的值为__________．
2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若 OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面
积，求点 C的坐标．
Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
3．如图，矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝8，点 E 在边 AD 上，且 AE：ED＝1：3．动点 P 从点 A 出发，沿
AB运动到点 B停止．过点 E作 EF⊥PE交射线 BC于点 F，设M是线段 EF的中点，则在点 P运动的整
个过程中，点 M运动路线的长为_________.
【变式 1】如图，矩形 ABCD中，AB＝6，AD＝8，点 E在边 AD上，且 AE：ED＝1：3．动点 P从点 A出
发，沿 AB 运动到点 B 停止．过点 E 作 EF⊥PE 交边 BC 或 CD 于点 F，设 M 是线段 EF 的中
点，则在点 P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.
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【变式 2】如图，在矩形 ABCD中，点 P在 AD上，AB＝2，AP＝1，E是 AB上的一个动点，连接 PE，过
点 P作 PE的垂线，交 BC于点 F，连接 EF，设 EF的中点为 G，当点 E从点 B运动到点 A时，
点 G移动的路径的长是_________.
【变式 3】在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是 AD边的中点，点 E在 AB边上，EP的延长线交射线 CD
于 F点，过点 P作 PQ⊥EF，与射线 BC相交于点 Q．
（1）如图 1，当点 Q在点 C时，试求 AE的长；
（2）如图 2，点 G为 FQ的中点，连结 PG．
①当 AE＝1 时，求 PG的长；
②当点 E从点 A运动到点 B时，试直接写出线段 PG扫过的面积． 变式 3 图 1
4．如图，C、D 是线段 AB 上两点，且 AC＝BD＝
1
6
AB＝1，点 P 是线段 CD 上一个动点，在 AB 同侧分别
作等边△PAE 和等边△PBF，M为线段 EF 的中点。在点 P 从点 C移动到点 D 时，点 M 运动的路径长度
为__________．
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变式 3 图 2
A BC D
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【变式 1】已知 AB＝10，点 C、D在线段 AB上且 AC＝DB＝2；P是线段 CD上的动点，分别以 AP、PB为
边在线段 AB的同侧作正方形 APEF和正方形 PBGH，点 O1 和 O2 是这两个正方形的中心，连接
O1O2，设 O1O2 的中点为 Q；当点 P从点 C运动到点 D时，则点 Q移动路径的长是_________．
【变式 2】等边三角形 ABC中，BC＝6，D、E是边 BC上两点，且 BD＝CE＝1，点 P是线段 DE上的一个
动点，过点 P分别作 AC、AB的平行线交 AB、AC于点 M、N，连接MN、AP交于点 G，则点 P
由点 D移动到点 E的过程中，线段 BG扫过的区域面积为______．
【变式 3】如图，四边形 ABHK 是边长为 6 的正方形，点 C、D 在边 AB 上，且 AC＝DB＝1，点 P 是线段
CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形 BRQP，E、F分
别为 MN、QR 的中点，连接 EF，设 EF的中点为 G，则当点 P从点 C 运动到点 D 时，点 G 移
动的路径长为______．
5．如图，已知在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝3，P为 AB边上的一动点，连接 PD
并延长到点 E，使得 PD∶PE＝1∶3，以 PE，PC为边作平行四边形 PEFC，连接 PF，则 PF的最小值为
__________.
A
B C
D
E
F
P
B C
D E
M
N
P
G
A
A B
C D
E
F
GH
P
O
OQ 2
1
A B
C D
NM
RQ
P
HK
E
F
G
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【延伸】在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝3，CD＝4，在 BC上取点 P（P与 B、C不重合），
连接 PA延长至 E，使 PE∶PA＝x∶1，连接 PD并延长到 F，使 PF∶PD＝y∶1（x，y＞1），以 PE、
PF为边作平行四边形，另一个顶点为 G，求 PG长度的最小值（用 x，y表示）.
【同型练】如图，已知矩形 OABC的顶点 A、C分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O是坐标原点，则对角线 OB
长的最小值为______．
Ⅲ．当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变，则该动点轨迹是直线。
6 ．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝2，O为 AC中点，若点
D在直线 BC上运动，连接 OE，则在点 D运动过程中，线段 OE的最小值是为__________.
【变式】如图，边长为 2a 的等边△ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕
点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接 HN．则在点M运动过程中，线段 HN长度的最小值是________．
y
x
B
C
O
A
A B
CD
P
E
F
G
A B
C
H
M
N
第 5 页 共 16 页
7．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2cm，线段 BC上一动点 P从 C点开始运动，到 B点停止，以 AP
为边在 AC的右侧做等边△APQ，则 Q点运动的路径长为___________．
8．如图 1，在 ABC? 中， 30CAB? = ?，BC=1，D为 AB上一动点(不与点 A重合)，? AED为等边三角形，
过 D点作 DE的垂线，F为垂线上任一点，G为 EF的中点，则线段 CG长的最小值是_________。
9．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为 AB的中点．D是射线 BC上一个动点，连接 AD，将线段
AD绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED，N为 ED的中点，连接 AN，MN．
（1）如图 1，当 BD＝2 时，AN＝______，NM与 AB的位置关系是_________；
（2）如图 2，当 4＜BD＜8 时，判断（1）中 NM与 AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
（3）连接ME，在点 D运动的过程中，求ME的长的最小值？
3 题图 1 3 题图 2 备用图
C B
A
M
D
E
N
C
B
A
M
D
E
N
C
B
A
M
A B
C
P
Q
A
B
C
D
E
F
G
第 6 页 共 16 页
【秒杀训练】
10．点 A的坐标为（-1，0），点 B在直线 y x= 上运动，当线段 AB最短时，点 B的坐标为（ ）
A. (0,0) B.
1 1
( , )
2 2
? ? C.
2 2
( , )
2 2
? D.
1 1
( , )
2 2
? ?
11．如图，⊙O的半径为 2，点 O到直线 l的距离为 3，点 P是直线 l上的一个动点，PQ切⊙O于点 Q，则
PQ的最小值为（ ）
A． 13 B． 5
C．3 D．2
12．如图，等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是 BC的中点。
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点 M旋转，当MD（即MD?）与 AB交于一点 E，MC（即MC?）同时与 AD交于一点 F
时，点 E，F和点 A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存
在，请计算出△AEF周长的最小值。
O
Q
l
P
A
B C
D
M
D'
C'
F
E
第 7 页 共 16 页
二、动点运动轨迹——圆或圆弧型（动点轨迹为定圆，利用三点共线）
Ⅰ．当动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．时．，动点的轨迹是圆或圆弧；
13．如图，在正方形 ABCD中，边长为 2，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC边上任意一点，将△BEF 沿 EF
所在直线折叠得到△PEF，连接 AP、CP，则 CP的最小值________，AP的最小值是_________.
14．如图，正方形 ABCD的边长为 2，将长为 2 的线段 QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果
点 Q从点 A出发，沿图中所示方向按 A→B→C→D→A滑动到点 A为止，同时点 F从点 B出发，沿图中所
示方向按 B→C→D→A→B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段 QF 的中点 M 所经过的路线围成的
图形的面积为_____________．
【变式 1】在矩形 ABCD中，已知 AB＝2cm，BC＝3cm，现有一根长为 2cm的木棒 EF紧贴着矩形的边（即
两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所
围成的图形的面积_______cm2.
【变式 2】如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，AD＝3，点 E、F分别为 AD、DC边上的点，且 EF＝2，点 G
为 EF的中点，点 P为 BC上一动点，则 PA＋PG的最小值为________．
A
B C
D
Q
F
M
A
B C
D
E
F
P
A B
CD
E
F
P
A
B C
DE
F
G
P
第 8 页 共 16 页
【变式 3】如图，一根木棒 AB 长为 2a，斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝
60°，若木棒沿直线 NO下滑，且 B端沿直线 OM向右滑行，则木棒中点 P也随之运动，已知 A
端下滑到 A′时，AA′＝( 3 2? )a，则木棒中点 P随之运动到 P′所经过的路线长_______________．
15．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3．当∠B最大时，BC的长为________．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是 AB边上的动点（不与点 B重合），将△BCP沿
CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接 B′A，则 B′A长度的最小值是________．
17．如图，在□ABCD中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是 AD 边的中点，N是 AB 边上的一动点，
将△AMN沿 MN所在直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C长度的最小值是________．
18．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC＝BC＝2 2，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点．当
点 P沿半圆从点 A运动至点 B时，点 M运动的路径长是________．
A
B
N
O M
A'
B'
P P'
A B
C
A
BC
P
M
第 9 页 共 16 页
19．如图，矩形 ABCD 中，AD＝2AB＝4，长度为 2 的动线段 AE 绕点 A 旋转，连接 EC，取 EC 的中点 F，
连接 DF，则 DF的取值范围为________。
Ⅱ．当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．
见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；
见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；
20．如图，以 G(0，1)为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G
上一动点，CF⊥AE于 F，当点 E从点 B出发顺时针运动到点 D时，点 F所经过的路径长为__________.
s
21．如图，矩形 OABC 的边 OA、OC分别在 x轴、y轴上，点 B 的坐标为(7，3)，点 E在边 AB上，且 AE
＝1，若点 P为 y轴上一动点，连接 EP，过点 O作直线 EP的垂线段，垂足为点 H，在点 P从 F(0，
25
4
)运
动到原点 O的过程中，点 H的运动路径长为______．
22．在正方形 ABCD中，AD＝2，点 E从 D出发向终点 C运动，点 F从 C出发向终点 B运动，且始终保持
DE＝CF，连接 AE和 DF交于点 P，则 P点运动的路径长是________．
y
x
F
H
E
A
C B
O
P
A
B C
D
E
F
A
B C
D
E
F
P
y
x
F
C
BA
D
G
E
第 10 页 共 16 页
23．等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CH⊥BD 于
H，连接 AH，则 AH的最小值为______．
24．如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，
则线段 CP长的最小值为________．
25．如图，在边长为 2 3的等边△ABC中，动点 D从 C向终点 B运动，同时点 E以相同的速度从 A出发向
终点 C运动，连接 BE、AD相交于点 P，则点 P的路径长为________．
26．如图，⊙O的半径为 1，弦 AB＝1，点 P为优弧 AB上一动点，AC⊥AP交直线 PB于点 C，则△ABC的
最大面积是____________.
27．如图，已抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x轴交于 A(1，0)、B(4，0)两点，与 y轴交于 C(0，2)，连结 AC、
BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于 D、E两点，求直线 DE的解析式；
（3）若点 P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的 P点坐标．
y
x
C
BO A
A
BC
D
H
A
CB
P
A
CB D
E
P
O
A
B
P
C
第 11 页 共 16 页
28．如图，在正方形 ABCD中，AB＝2，动点 E从点 A出发向点 D运动，同时动点 F从点 D出发向点 C运
动，点 E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段 AF、BE相交于点 P，则
线段 DP的最小值为__________。
【变式】直线 y＝x＋4 分别与 x轴、y轴相交与点 M、N，边长为 2 的正方形 OABC一个顶点 O在坐标系的
原点，直线 AN与MC相交于 P，若正方形绕着点 O旋转一周，则点 P到点(0，2)长度的最小值是
__________．
29．如图，边长为 3 的正方形 ABCD，两顶点 A、B分别在平面直角坐标系的 x轴、y 轴的正半轴上滑动，
点 C点 D在第一象限，点 E为正方形 ABCD的对称中心，连结 OE，则 OE的长的最大值是__________．
【变式】如图，已知平面直角坐标系中，直线 y＝kx(k≠0)经过点 C(a，3a)（a＞0）．线段 BC 的两个端点分
别在 x轴与直线 y＝kx上（B、C均与原点 O不重合）滑动，且 BC＝2，分别作 BP⊥x轴，CP⊥直
线 y＝kx，交点为 P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值．
A
B C
DE
F
P
y
x
E
D
C
A
B
O
y
x
P
C
O B
y
x
P
A
C B
N
M
O
第 12 页 共 16 页
30．如图 1，开口向下的抛物线 2( 2)y a x k= ? + 交 x轴于点 A，B两点，交 y轴正半轴于点 C，顶点为 P，
过顶点 P作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连结 CP，CM，∠CPM=45°，tan∠CMP=0.8.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图 2，若点 D为射线 PC上的动点，BD交△PMD的外接圆于点 Q，求 PQ的最小值.
图 1 图 2
【强化训练】
31．如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，D 为△ABC 内一动点，⊙O 为△ACD 的外接圆，
交 BC于 E点，直线 BD交⊙O于 P点，弧 AE＝CP，则 AD的最小值为_______
【练】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 2 ，∠ACB＝45°，AM∥BC，点 P在射线 AM上运动，连 BP交
△APC的外接圆于 D，则 AD的最小值为_______
A
B C
D
O
P
M
y
x
B
C
N
M
P
A
O
y
x
Q
B
C
M
P
A
O
D
A
B C
D
O
E
P
第 13 页 共 16 页
32．如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为 AC上一动点，以 AD为直径作圆，连接 BD交圆于 E点，
连 CE，则 CE的最小值为_______
33．如图，A(1，0)、B(3，0)，以 AB为直径作⊙M，射线 OF 交⊙M 于 E、F 两点，C为弧 AB 的中点，D
为 EF的中点．当射线绕 O点旋转时，CD的最小值为__________
34．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是 BC上一动点，D是 AP的中点，连接 CD，则 CD
的最小值为__________
35．如图，在动点 C与定长线段 AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点 D，BE⊥AC于点 E，连接 DE．当
点 C在运动过程中，始终有
2
2
DE
AB
= ，则点 C到 AB的距离的最大值是_________
36．如图，已知以 BC 为直径的⊙O，A 为弧 BC 中点，P 为弧 AC 上任意一点，AD⊥AP 交 BP 于 D，连
CD．若 BC＝8，则 CD的最小值为___________。
A
B C
O
P
D
A B
C
D
E
A B
C
O
P
D
A
B C
D
O
E
y
x
C
D
F
M BO A
E
第 14 页 共 16 页
三、动点轨迹为其他曲线，构造三角形
37．如图，∠MON=90°，矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边 OM，ON上，当 B在边 ON上运动时，A随之
在边 OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，求运动过程中，点 D到点 O的最大距
离.
38．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，tan∠BAC=
1
2
，点 D在边 AC的三等分点处，将线段 AD绕
点 A旋转，连接 BD，F为 BD中点，求线段 CF长度的最大值．
39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点 A、C分别在 x轴、y轴上，当点 A在 x轴运动时，
点 C随之在 y轴上运动，在运动过程中，点 B到原点 O的最大距离为___________。
40．如图，∠MON=90°，线段 AB 两端点分别在边 OM，ON上，当 A 在边 OM 上运动时，B 随之在边 ON
上运动，AB=2 保持不变，以 AB 为边向外作等边△ABC，在运动过程中，四边形 AOBC 的面积的最大值是
___________.
A
B
C
D
O N
M
A
BC
D
F
A
B
C
O
M
N
y
xO
C
A
B
第 15 页 共 16 页
41．如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C落在第二象限．其斜边两端点 A、B分别落
在 x轴、y轴上，且 AB=12cm.
（1）若 OB=6cm．
①求点 C的坐标；
②若点 A向右滑动的距离与点 B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点 C与点 O的距离的最大值=___________cm．
四、双动点型
I．利用等量代换实现转化
42．△ABC是以 AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P是 AB上一动点，且 PE⊥AC于 E，PF⊥BF于
F，求 EF的最小值.
II．利用和差关系实现转化
43．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C且与边 AB相切的动圆与 CA，CB分别相交于点
P，Q，则线段 PQ长度的最小值是___________．
III．利用勾股定理实现转化
44．如图，在 Rt△AOB中，OA=OB=3 2 ，圆 O的半径为 1，点 P是 AB边上的动点，过点 P作圆 O的一
条切线 PQ(点 Q为切点)，则切线 PQ的最小值为______．
A
BO
Q
P
B
AC P
Q
A
B
C
E
F
P
y
x
C
B
A O
第 16 页 共 16 页
IV．利用三角形边角关系实现转化
45．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径画 O分
别交于 AB、AC于 E、F，连接 EF，则线段 EF长度的最小值为__________．
A
B CD
O
E
F
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