高中数学人教新课标A版选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念2.1 n元对称群Sn(共31张PPT)

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在上一讲，我们通过画图或操作模型的方法，研究了正三角形的对称群（D3， ）以及正方形的对称群（D4， ）.回想一下群的定义和它的性质.
在上一节，我们用群的方法来表示正n边形的对称变换，那么除了它自身的对称群以外，还有没有其他的对称变换？这一讲我们将考察代数学中的对称.
2.1 n元对称群Sn
感知图形对称变换的特点.
掌握n元对称群的概念.
掌握两个置换的合成运算.
通过观察、操作，了解变换的过程.
进一步掌握对称变换.
通过实例，学习置换的合成运算.
让学生从前后对比中掌握所学知识.
从实例中掌握解题思路.
培养合作交流意识.
置换的表达形式.
置换的合成运算.
n元对称群的概念.
前面我们曾经讨论过，正n边形的对称变换保持它的对称中心不动，而把它的n个顶点仍然映成顶点.所以，正n边形的对称变换可以用在对称变换的作用下相应顶点的变换来表示.
例如，下表列出了正三角形的对称变换、相应图形的变换和相应顶点的变换.
1
1
2
2
3
3
1
1
2
3
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1
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3
对称变换 图形的变换 顶点的变换
恒等变换I
反射变换r1
反射变换r2
1
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1
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1
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1
3
反射变换r3
旋转变换ρ1
旋转变换ρ2
类似地，正方形的对称变换也可以用数字1，2，3，4的相应置换来表示：
置换这种表示不仅仅是一种符号，实际上定义了集合{1，2，3，...，n}（n∈N*）到自身的一个一一对应.1，2，...,n这n个数的每一个置换都确定了集合{1，2，3，...，n}到其自身的一个一一对应.
例如，正三角形的对称变换所对应的置换是集合T3={1，2，3}到其自身的一一对应，它们共有2 3=6个，这是T3的全部置换.T3的全部置换组成的集合记作S3.
正方形的对称变换所对应的置换是集合T4={1，2，3，4}到其自身的一一对应，它们共有2×4=8个，但这只是T4的部分置换.容易知道，T4共有4!=24个置换.T4的全部置换组成的集合记作S4.
例：写出集合T4={1，2，3，4}的所有置换.
解：我们先用排序的方法写出T4所有的排列：
当置换第一行的顺序固定为1，2，3，4的时候，每一个排列就对应了一个置换.所以这24个置换是：
与对称变换的合成相对应，我们可以定义置换的合成.通常两个置换的合成也是按照从右到左的顺序，先做一个置换，再做一个置换.
例如，
与
的合
成记作
?
，由于
表示的对应是
1 2 3 4
1 4 3 2
表示的对应是
1 2 3 4
2 1 4 3
我们规定，
?
表示的对应是
1 2 3 4
1 4 3 2
2 3 4 1
所以，
?
可见，两个置换的合成也是一个替换，而且等于两个相应对称变换的合成所对应的置换.
像
这样，
把各数字都对应到它本身的置换称为恒等置换.若两个置换a，b的合成等于恒等置换，即有 ，那么我们称a，b互为逆置换.
例： 求下列两个置换的合成.
解：
由本例题可以知道，置换的合成不满足交换律.
有了上面的准备，我们就能用置换来表示二面体群（Dn，?）了.
以正三角形为例，把正三角形的6个置换组成的集合仍然记作D3，把置换之间的合成“?”看作D3上的一种运算，那么通过计算可以得到下述D3的乘法表.
?






由上表容易验证下述4条是成立的：
Ⅰ.对任意的m1，m2∈D3，m1?m2∈D3；
Ⅱ.D3中存在恒等置换，满足对任意的m∈D3，I?m=m?I=m；
Ⅲ.对任意的m∈D3，存在置换m?∈D3，使得m?m?=I=m??m；
Ⅳ.对任意的m1，m2，m3∈D3，m3?(m2?m1)=(m3?m2) ?m1.
我们把置换集合D3连同它上面的运算“?”也称为对称群（D3，?），这是正三角形的对称群的另外一种表达方式.
类似地，可以用置换表示正方形，正五边形，正六边形......正n边形的对称群，从而得到二面体群（Dn，?）（n≥3）的另外一种表示方式.
一般地，Tn={1，2，...，n}共有n！个置换，它们组成的集合记作Sn.如果把置换之间的合成“?”看作Tn上的一种运算，可以证明，下述4条是成立的.
Ⅰ.Sn中任意两个置换合成的结果仍然在Sn中；
Ⅱ.Sn中存在恒等置换；
Ⅲ.Sn中任意一个置换的逆置换仍然在Sn中；
Ⅳ.Sn中置换的合成满足结合律.
因此，（Sn,?）是Tn的对称群，称为n元对称群.
1. n元对称群Sn的定义
2. 对称变换的置换表示
3. 置换的合成运算