高中数学人教新课标A版选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念2.2 多项式的对称变换(共26张PPT)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标A版选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念2.2 多项式的对称变换(共26张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 327.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-10 22:29:20 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
上几节中，我们主要学习了几何图形的对称性，和它们的对称变换的各种表达方式、组合和运算. 除了几何图形以外，还有没其他的东西也具有对称呢？
在初中，我们学过各种各样的多项式，几个数字与字母的积的和就构成了多项式.例如下面的代数式都是多项式：
类似于平面图形的对称性，多项式也有对称性.
例如，在多项式x+y中，用字母x代替y，同时用字母y代替x，我们得到一个新的多项式 : y+x.
虽然这个多项式与原来的多项式形式不同，但根据数的加法交换律，我们有 x+y=y+x.
2.1 n元对称群Sn
感知图形对称变换的特点.
掌握n元对称群的概念.
掌握两个置换的合成运算.
通过观察、操作,了解变换的过程.
进一步掌握对称变换.
通过实例,学习置换的合成运算.
让学生从前后对比中掌握所学知识.
从实例中掌握解题思路.
培养合作交流意识.
置换的表达形式.
置换的合成运算.
n元对称群的概念.
类似于前面的例子，调换x2+3xy+y2中的字母x，y，可以得到一个新的多项式：y2+3yx+x2，
显然x2+3xy+y2= y2+3yx+x2.
对于多项式xyz，怎样替换字母x，y，z，才能得到与原来的多项式相等的多项式？
类比数字1，2，3的置换或正三角形的对称变换，我们可以这样来替换上述多项式中的字母x，y，z：
（1）x，y，z保持不变，此时xyz→xyz;
（2）用x代替y，y代替x，z代替z，此时xyz→yxz;
（3）用x代替z，z代替x，y代替y，此时xyz→zyx;
（4）用y代替z，z代替y，x代替x，此时xyz→xzy;
（5）用x代替y，y代替z，z代替x，此时xyz→zxy;
（6）用x代替z，z代替y，y代替x，此时xyz→yzx;
这样，我们就得到了6个相等的多项式，即
xyz yxz zyx xzy zxy yzx
还有其他的替换方式，使得到的多项式与多项式xyz相等吗？从上面的方框中任选一个多项式，用同样的方法替换它的字母，你能得到什么结果？
①
对于多项式xyz2,用x代替y,用y代替x,用z代替z,得到yxz2=xyz2.而任何涉及到字母z的替换都会使原来的多项式改变,如用x代替z,用z代替x,用y代替y,得到zyx2,zyx2≠xyz2.所以用字母替换的办法，我们得到连个相等的多项式
②
xyz2 yxz2
最后,在多项式x+y2+z3中,任何字母的替换都会使原多项式改变,因而我们得到唯一的一个多项式
③
x+y2+z3
与正多边形的对称变换定义类似，我们可以利用对多项式的这种字母替换来定义多项式的对称变换.
如果一个多项式F经过字母的替换仍与原来的多项式相等，我们就称多项式F具有对称性,上述对多项式中字母的替换叫做多项式的对称变换.
由上面的例子可以看到,有些多项式（如x+y，x2+3xy+y2）在字母的任意替换下保持不变（我们认为这样的多项式的对称性很好）;有些多项式（如xyz2）在字母的某些替换下保持不变；而有些多项式（如x+y2+z3）仅在字母不动是才保持不变.
对于较复杂的多项式（如xyz+zyw+xzw+yzw）,用替换字母、比较替换后的多项式与原来的多项式是否相等的方法研究它的对称性事比较困难的.有没有更简便的方法呢？
我们看到，用数学的置换来表示平面图形的对称变换是一种很好的方法.能否也用置换来表示多项式的对称变换呢？
为了研究的方便，我们用同一个字母，不同的脚标来区分多项式中的不同字母.例如，我们可以把x+y，xyz分别表示成
x1+x2，x1x2x3.
这样，在多项式x1+x2中调换x1与x2的位置，可以看做调换脚标1，2的位置，得到x2+x1.
x1+x2的对称变换有两个，用图示表示为：
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
结合集合T2={1，2}的置换，可以发现，这两个对称变换对x的脚标的作用恰好是集合T2={1，2}的两个置换，即S2中的两个元素：
反过来看，对x1+x2的脚标分别施行置换 ， .可以得到与原多项式相等的两个多项式x1+x2，x2+x1.
我们把置换 ， 称为多项式x1+x2的对称变换.
类似地，由方框①知，多项式x1x2x3通过字母替换，可以得到下列6个相等的多项式
x1x2x3 x2x1x3 x3x2x1 x1x3x2
x3x1x2 x2x3x1
另一方面，x1x2x3的脚标组成的集合为T3={1，2，3}，其全部置换为S3中的6个元素：
对x1x2x3的脚标分别施行这6个置换，恰好得到上面方框中的6个多项式.
同样地，我们称置换 ， ， ， ， ， 为多项式x1x2x3的对称变换.
一般地，设一个多项式的脚标组成的集合为{1，2，...，n}， 是n元对称群Sn中的一个置换，若对多项式中字母的脚标施行置换 后，得到的多项式仍与原来的多项式相等，我们就称置换 为这个多项式的对称变换.
按照这个定义，S2中的任意置换都是多项式x1+x2的对称变换；S3中的任意置换都是多项式x1x2x3的对称变换.方框②说明多项式 的对称变换只有恒等置
换 和置换 ；方框③说明
多项式 的对称变换只有恒等置换
.如果一个n次多项式的对称变
换是Sn中的全部变换，这样的多项式就称为对称多项式.
我们来看两个例子.设x1，x2是给定的一元二次方程
x2-c1x+c2=0
的两个根，那么它们与系数有下列关系
显然，S2中的任意置换也都是x1?x2的对称变换.因此这里的x1+x2，x1?x2是对称多项式.
类似地，设x1，x2，x3是一元三次方程x3-c1x2+c2x-c3=0的根，那么有下列关系
请同学们自己验证，S3中的任意置换都是x1+x2 +x3， x1x2+ x1x3+ x2x3 和 x1?x2?x3 的对称变换.因此这几个多项式也都是对称多项式.
上几节中，我们主要学习了几何图形的对称性，和它们的对称变换的各种表达方式、组合和运算. 除了几何图形以外，还有没其他的东西也具有对称呢？
在初中，我们学过各种各样的多项式，几个数字与字母的积的和就构成了多项式.例如下面的代数式都是多项式：
类似于平面图形的对称性，多项式也有对称性.
例如，在多项式x+y中，用字母x代替y，同时用字母y代替x，我们得到一个新的多项式 : y+x.
虽然这个多项式与原来的多项式形式不同，但根据数的加法交换律，我们有 x+y=y+x.
2.1 n元对称群Sn
感知图形对称变换的特点.
掌握n元对称群的概念.
掌握两个置换的合成运算.
通过观察、操作,了解变换的过程.
进一步掌握对称变换.
通过实例,学习置换的合成运算.
让学生从前后对比中掌握所学知识.
从实例中掌握解题思路.
培养合作交流意识.
置换的表达形式.
置换的合成运算.
n元对称群的概念.
类似于前面的例子，调换x2+3xy+y2中的字母x，y，可以得到一个新的多项式：y2+3yx+x2，
显然x2+3xy+y2= y2+3yx+x2.
对于多项式xyz，怎样替换字母x，y，z，才能得到与原来的多项式相等的多项式？
类比数字1，2，3的置换或正三角形的对称变换，我们可以这样来替换上述多项式中的字母x，y，z：
（1）x，y，z保持不变，此时xyz→xyz;
（2）用x代替y，y代替x，z代替z，此时xyz→yxz;
（3）用x代替z，z代替x，y代替y，此时xyz→zyx;
（4）用y代替z，z代替y，x代替x，此时xyz→xzy;
（5）用x代替y，y代替z，z代替x，此时xyz→zxy;
（6）用x代替z，z代替y，y代替x，此时xyz→yzx;
这样，我们就得到了6个相等的多项式，即
xyz yxz zyx xzy zxy yzx
还有其他的替换方式，使得到的多项式与多项式xyz相等吗？从上面的方框中任选一个多项式，用同样的方法替换它的字母，你能得到什么结果？
①
对于多项式xyz2,用x代替y,用y代替x,用z代替z,得到yxz2=xyz2.而任何涉及到字母z的替换都会使原来的多项式改变,如用x代替z,用z代替x,用y代替y,得到zyx2,zyx2≠xyz2.所以用字母替换的办法，我们得到连个相等的多项式
②
xyz2 yxz2
最后,在多项式x+y2+z3中,任何字母的替换都会使原多项式改变,因而我们得到唯一的一个多项式
③
x+y2+z3
与正多边形的对称变换定义类似，我们可以利用对多项式的这种字母替换来定义多项式的对称变换.
如果一个多项式F经过字母的替换仍与原来的多项式相等，我们就称多项式F具有对称性,上述对多项式中字母的替换叫做多项式的对称变换.
由上面的例子可以看到,有些多项式（如x+y，x2+3xy+y2）在字母的任意替换下保持不变（我们认为这样的多项式的对称性很好）;有些多项式（如xyz2）在字母的某些替换下保持不变；而有些多项式（如x+y2+z3）仅在字母不动是才保持不变.
对于较复杂的多项式（如xyz+zyw+xzw+yzw）,用替换字母、比较替换后的多项式与原来的多项式是否相等的方法研究它的对称性事比较困难的.有没有更简便的方法呢？
我们看到，用数学的置换来表示平面图形的对称变换是一种很好的方法.能否也用置换来表示多项式的对称变换呢？
为了研究的方便，我们用同一个字母，不同的脚标来区分多项式中的不同字母.例如，我们可以把x+y，xyz分别表示成
x1+x2，x1x2x3.
这样，在多项式x1+x2中调换x1与x2的位置，可以看做调换脚标1，2的位置，得到x2+x1.
x1+x2的对称变换有两个，用图示表示为：
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
结合集合T2={1，2}的置换，可以发现，这两个对称变换对x的脚标的作用恰好是集合T2={1，2}的两个置换，即S2中的两个元素：
反过来看，对x1+x2的脚标分别施行置换 ， .可以得到与原多项式相等的两个多项式x1+x2，x2+x1.
我们把置换 ， 称为多项式x1+x2的对称变换.
类似地，由方框①知，多项式x1x2x3通过字母替换，可以得到下列6个相等的多项式
x1x2x3 x2x1x3 x3x2x1 x1x3x2
x3x1x2 x2x3x1
另一方面，x1x2x3的脚标组成的集合为T3={1，2，3}，其全部置换为S3中的6个元素：
对x1x2x3的脚标分别施行这6个置换，恰好得到上面方框中的6个多项式.
同样地，我们称置换 ， ， ， ， ， 为多项式x1x2x3的对称变换.
一般地，设一个多项式的脚标组成的集合为{1，2，...，n}， 是n元对称群Sn中的一个置换，若对多项式中字母的脚标施行置换 后，得到的多项式仍与原来的多项式相等，我们就称置换 为这个多项式的对称变换.
按照这个定义，S2中的任意置换都是多项式x1+x2的对称变换；S3中的任意置换都是多项式x1x2x3的对称变换.方框②说明多项式 的对称变换只有恒等置
换 和置换 ；方框③说明
多项式 的对称变换只有恒等置换
.如果一个n次多项式的对称变
换是Sn中的全部变换，这样的多项式就称为对称多项式.
我们来看两个例子.设x1，x2是给定的一元二次方程
x2-c1x+c2=0
的两个根，那么它们与系数有下列关系
显然，S2中的任意置换也都是x1?x2的对称变换.因此这里的x1+x2，x1?x2是对称多项式.
类似地，设x1，x2，x3是一元三次方程x3-c1x2+c2x-c3=0的根，那么有下列关系
请同学们自己验证，S3中的任意置换都是x1+x2 +x3， x1x2+ x1x3+ x2x3 和 x1?x2?x3 的对称变换.因此这几个多项式也都是对称多项式.