高中数学人教新课标A版选修3-4第二讲代数学中的对称与抽象群的概念2.3 抽象群的概念(共27张PPT)

(共27张PPT)
在前文中，我们已经定义了正n边形的对称群（Dn，?）和n元对称群（Sn，?）.虽然它们有着背景完全不同的集合，并且他们的运算的含义也不同，但它们却有如下共同特点：
（1）有一个非空集合；
（2）在这个集合上定义了一个运算；
（3）运算满足性质Ⅰ～Ⅳ.
这样的结构在数学、物理学、化学和生命科学中大量存在.数学家把它们概括成一个抽象的概念——群.前面学习的对称群就是群的一个具体例子.
2.1 n元对称群Sn
感知群的一般概念.
掌握群的验证方法.
掌握群的直和运算.
通过实例来学习群的一般概念.
进一步掌握抽象群的意义.
通过实例，掌握群的判定方法.
让学生从前后对比中掌握所学知识.
从实例中掌握解题思路.
培养合作交流意识.
群的一般概念.
群的直和运算.
群的验证方法.
为了介绍群的一般概念，我们先来定义集合上的运算.
设G是一个非空集合，G上的一个二元运算是指一个映射“?”，它把G中的任意一个有序对（a，b）都对应到G中的一个元素，我们把这个元素记作a?b.
例如：
Dn中对称变换的合成时Dn上的二元运算；
Sn中置换的合成时Sn上的二元运算；
整数的加法（+）、减法（-）和乘法（×）都是整数集Z上的二元运算，这是因为两个整数的和、差与积都仍然是整数.
定义
设非空集合G满足下述4个条件：
Ⅰ.G上有一个二元运算“?”，即对任意的a，b∈G，有a?b ∈G;
Ⅱ.G中有单位元I，对任意的a∈G,I?a=a=a?I;
Ⅲ.G中的每个元素都有逆元，即对任意的a∈G，存在a?∈G，使得a?a?=I=a??a；
Ⅳ.G的乘法满足结合律，即对任意的a，b，c∈G，(a?b)?c=a?(b?c)；
则（G，?）称为一个群.
换句话说，群就是一个非空集合.这个集合有一个满足结合律的二元运算，集合中有一个单位元，集合中每一个元素都有一个逆元.
群的例子是大量存在的.例如，正有理数集Q+连同正有理数的乘法构成一个群，记作（Ｑ+，?）.下面的表格说明了Q+满足群的4个条件.
二元运算 对任意的a，b∈Q+，a?b∈Q+
单位元 I∈Q+
逆元 对任意的a∈Q+，存在a的逆元Q+
结合律 对任意的a，b，c∈Q+，(a?b)?c=a?(b?c)
又如整数集Z连同整数的加法构成一个群,记作（Z，+）.下面的表格说明Z满足群的4个条件.
二元运算 对任意的a，b∈Z，a+b∈Z
单位元 0∈Z
逆元 对任意的a∈Z，存在a的逆元
-a∈Z
结合律 对任意的a，b，c∈Z，(a+b)+c=a+(b+c)
这些例子告诉我们，群的定义中的乘法的含义很广，它可以是平面图形的对称变换的合成、置换的合成.也可以是数的乘法或加法.
下面，我们来看一个有限群（元素个数是有限的）的例子.我们知道，所有整数除以3得到的余数只有3个，即0，1和2.
记
Z3={0，1，2}.
在集合Z3上定义一个运算，用⊕表示，即对任意的a，b∈Z3，使
a⊕b=(a+b) 除以3得到的余数.
按照这个运算，我们可以得到Z3的乘法表：
⊕ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
例 验证Z3和运算⊕构成一个群.
分析： 只要验证Z3连同运算⊕满足群的4个条件Ⅰ～Ⅳ即可.
解：Ⅰ.由Z3的加法表可知，Z3中任意两个元素的和仍然在Z3中；
Ⅱ.因为
0⊕1=1,1⊕0=1, 0⊕2=2,2⊕0=2,
所以0是Z3的单位元；
Ⅲ.由1⊕2=2⊕1=0, 0⊕0=0，知1的逆元是2，2的逆元是1，0的逆元是0；
Ⅳ.容易验证，对任意的a，b∈Z3， ，即运算⊕满足结合律.
综上所述，Z3和运算⊕构成一个群（Z3，⊕）.
用Z4表示所有的整数除以4得到的余数，即
Z4={0，1，2，3}.
在这个集合上定义一个运算⊕，即对任意的a，b∈Z4，使
a⊕b=（a+b）除以4得到的余数.
完成下列Z4的乘法表
并说明（Z4，⊕）也是一个群.
⊕ 0 1 2 3
0
1
2
3
从两个或多个已知群出发，可以构造新的群.设{G1，*}和{G2，*}是两个群，有各自的乘法*，?和单位元e，I.分别从集合G1和G2中任取一个元素，组成所有可能的有序对
（a1，B1）,（a2，B2），... （an，Bn），...
把所有这样的有序对组成的集合记作G1×G2，在G1×G2上定义一个运算⊙；对于G1×G2中任意两个元素（a1，B1），（a2，B2），规定（a1，B1）⊙（a2，B2）= (a1 *a2，B1 ?B2)
也就是说，对有序对的第一个分量作G1的运算*，对第二个分量G2的运算?.可以证明，G1×G2和运算⊙构成一个群，称为G1和G2的直积，记作{G1×G2，⊙}，它的单位元是（e，I）.
现在，我们就来看看（Z2，⊕）与（Z3，⊕）的直积作成的群（Z2×Z3，⊕）是什么样子.显然Z2×Z3中有6个元素，即
{（0，0），（0，1），（0，2），
（1，0），（1，1），（1，2）}.
用⊙表示Z2×Z3上的运算，那么我们有
（0，0）⊙（0，1）=(0⊕0,0⊕1)=(0,1);
（1，0）⊙（0，2）=(1⊕0,0⊕2)=(1,2);
（1，2）⊙（1，1）=(1⊕1,2⊕1)=(0,0);
...
由此可得Z2×Z3的乘法表，请同学们把它计算好.
⊙ (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)
(0,0) (0,0)
(0,1)
(0,2) (1,2)
(1,0)
(1,1) (0,0)
(1,2)
1、群的一般概念.
2、群的直和运算.
3、对群的验证方法.