高中数学人教新课标A版选修3-4第三讲对称与群的故事3.1 带饰和面饰(共32张PPT)

(共32张PPT)
“群”这个词是在1831年由天才的法国数学家伽罗瓦提出来的.在这之前，人们已经对各种几何图形的对称性、多项式的对称性等进行过系统的研究.
在这之后，某种事物的全体对称的集合被提升到一个优美的数学结构——群，开始了现代数学对事物对称性的深层次探讨.
现在，我们从易到难地介绍一些对称与群在日常生活、化学、物理学中具有典型的应用，最后介绍伽罗瓦其人以及伽罗瓦理论对数学，特别是代数学的划时代贡献.
同学们都见过手工艺人剪得窗花吧，你留心观察过自己穿的衣服上的图案、建筑物的各种装饰、广告中的图案设计吗？有没有想过它们是怎么被设计出来的？
感知图案的对称特点.
掌握带饰和面饰的概念.
简单了解Escher和他的作品.
通过观察了解带饰和面饰的设计过程.
进一步掌握对称变换.
通过图片感受对称带来的艺术性.
让学生从前后对比中掌握所学知识.
从实例中掌握抽象的概念.
培养合作交流意识.
带饰和面饰的概念.
现实中带饰和面饰所带来的艺术特点.
带饰和面饰的实际意义.
首先，我们研究两类在日常生活和艺术领域中常常见到的对称图形.
在服装中，我们常常可以看到类似的图案.
在壁画中，也可以见到类似的图案.
建筑物的装饰设计中
数学上，把这种平面上夹在两条平行直线中的部分叫做带，带中的图案叫做带饰，与两条平行直线平行且到它们的距离相等的直线叫作中轴.
我们仍然用平面刚体运动来描述带的对称性.带饰可以看做由带饰单元（带饰的一部分）沿中轴方向平移生成的；若用向量v表示平移的方向和大小，nv(n∈Z)就表示所有的平移.
在每个带饰单元中，包含了选择、反射或平移变换.人们经过研究发现，尽管带饰图案千变万化，但这些图案所可能的对称群的个数却是有限的，仅有7种.
下面我们就以7个简单的带饰为例说明.
1.带在沿着中轴方向的平移变换下保持不变.
2.带在平移变换和关于中轴的反射变换下保持不变.
3.带在平移变换和关于纵轴（即垂直于横轴的直线，如图中虚线所示）的反射变换下保持不变.
4.带在平移变换和绕中轴上的某些点（如图中所示）旋转180°的变换下保持不变.
5.在上述4个带的对称变换下都保持不变.
6.带在平移变换和滑动反射（先关于中轴反射再沿中轴方向平移1/2|v|）下保持不变.
7.带仔3、4、5中带的对称变换下都保持不变.
另一类在我们身边大量存在的图案，如下图是蜜蜂筑造的蜂巢的截面图.
下图是人们用来装饰墙壁的壁纸.
下图是窗户的窗格.
下图是建筑材料中的图案.
下面的是Escher图案.
这里简单介绍一下Escher.
M.C.Escher（1898—1972）荷兰艺术家.在他的雕刻和绘画作品中融入了许多种数学思想，例如螺旋线、五面体、17种面饰群等.
像上面的这样的二维图案在数学上称为面饰.面饰是由面饰单元（面饰的一部分）经过两组不同方向的平移nv和mu（n，m∈Z，v与u不平行）生成的.数学家已经发现面饰群共有17种.这一发现具有重要的实际意义.例如，在进行壁纸设计师，只用17个计算机程序，就可以设计出各种可能的壁纸图案.
有趣的是，对称群这一数学概念一直到19世纪才出现，但在古代的装饰图案中，尤其是在古埃及的饰物中，我们可以找到面饰，它们的面饰群穷尽了所有17中面饰群.
这个事实说明，尽管对称群这个概念非常抽象，但它与我们人类的生产.生活却有着千丝万缕的联系.数学的概念是从现实世界中经过不断抽象而来的.
这一节中，我们主要介绍了群在日常生活中的应用——带饰和面饰.也简单了解到群这个抽象概念产生的艰难.