第1讲 中考闯关必刷易错题（一）
课堂导入
先解决几个最值得关注的问题
中考题型和难度比例
12道选择题，4道填空题，7道解答题（其中第17、18题是计算题，第19题是统计图，第20题是三角函数的实际应用，第21、22、23题分别为应用题、圆的综合、二次函数压轴题）
从今年的考题可以看出，初一、初二和初三的考点分布相对平均，基础题占了六成比重，这也体现了中考回归基础的趋势，需要强调的是，压轴题全部来自初三，难度比例6: 3：1，逐渐向6:2:2过渡，试卷区分度较去年有所提升。这体现了一个新的趋势：学生从初一开始，就要重视夯实基础，不能像以前一样，初一初二无所谓，初三临时抱佛脚。初三的学习，要侧重于综合题的训练。
易错精讲
典例分析
易错点1：有理数、无理数以及数轴的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆.以及绝对值与数的分类
例1.（2019?临沂）四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】﹣3小于零，是负数，0既不是正数也不是负数，1和2是正数．
例2．2．（2019?丹东）﹣2019的绝对值是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
举一反三
1．（2019?常州）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
2．（2019?烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是 ．
【分析】首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．
典例分析
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误；分母有理化注意最后的符号
例1．（2009?深圳）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则|x﹣|+=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据对称的性质：对称点到对称中心的距离相等，得到x的值后代入代数式化简求值．
例2．（2019春?深圳校级月考）计算：|﹣3|+?tan30°﹣﹣（2019﹣π）0+（）﹣3．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
举一反三
1．（2019?永州模拟）设m=+1，那么的整数部分是 ．
【分析】计算出的结果后，估算出其大小，从而求出其整数部分．
2.（2019?深圳模拟）计算：+（）﹣1﹣（﹣）0﹣2tan45°
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
典例分析
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别
例1．（2019?微山县模拟）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】先化简=4，然后求4的平方根．
例2．（2019秋?福田区期末）下列计算正确的是（ ）
A．=﹣4 B．=±4 C．=﹣4 D．=﹣4
【分析】利用算术平方根及立方根定义计算各项，即可做出判断．
举一反三
1．（2019?龙岗区二模）16的平方根是（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．±16
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
2．（2019?深圳模拟）如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ）
A．±1 B．0 C．1 D．0和1
【分析】根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0．
典例分析
易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零.
例1．（2019春?通川区期末）若分式的值为零，则x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
举一反三
1．（2019?天水）如果分式的值等于0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
2．（2019?宁波）使式子有意义的取值为（ ）
A．x＞0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x≠±1
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
典例分析
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化.当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题必考。
例1．（2019?广西）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应将m2﹣4=（m+2）（m﹣2）分解，然后再通分，最后要注意将结果化为最简分式．
例2．（2019?黄冈）分解因式：4ax2﹣ay2= ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
举一反三
1．（2019?长沙）分解因式：x2y﹣4y= ．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
2．（2019?深圳）分解因式：a2b+2ab2+b3= ．
【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．
3．（2009?深圳）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后再约分即可．
易错点6：科学记数法,精确度，有效数字。
典例分析
例1．（2019?深圳）据统计，从2019年到2019年中国累积节能1570000000吨标准煤，1570000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1010 B．1.57×108 C．1.57×109 D．15.7×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
例2．（2019?潍坊）我国以2018年11月1日零时为标准时点进行了笫六次全国人口普查，普查得到全国总人口为1370536875人，该数用科学记数法表示为（ ）
A．13.7亿 B．13.7×108 C．1.37×109 D．1.4×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1370536875有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
举一反三
1．（2019?安顺）已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米 D．38.4×104千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于383900有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
2．（2018?深圳）为保护水资源，某社区新建了雨水再生水工程，再生水利用量达58600立方米/年．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．58×103 B．5.8×104 C．5.9×104 D．6.0×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
易错点7：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错.
典例分析
例1.（2019秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的个数有（ ）
（1）x2+2x+1=0
（2）++2=0
（3）x2﹣2x+1=0
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0
（5）x2+x=4﹣x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
例2．（2019秋?孟津县期中）关于x的方程：（m2﹣1）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）?
A．m≠0 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m≠±1?
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，可知：m2﹣1≠0，继而可求出答案．
举一反三
1．（2019秋?南郑县校级期中）关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠ D．a≠﹣3
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
2．（2019秋?宝安区校级期末）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m=0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
【分析】先根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
典例分析
易错点8：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错.
例1．（2007?牡丹江）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
例2．（2019?盐田区二模）关于x的方程有增根，那么a=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
举一反三
1．（2019?德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
典例分析
易错点9：中位数、众数、平均数，方差的有关概念理解不透彻，错求中位数、方差、众数、平均数.
例1．（2019?株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
队员
平均成绩
方差
甲
9.7
2.12
乙
9.6
0.56
丙
9.7
0.56
丁
9.6
1.34
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．
例2．（2019?深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（ ）
A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90
【分析】首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可．
举一反三
1．（2019?广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
2．（2019?眉山）王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%）
20
25
30
32
小区个数
2
4
3
1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（ ）
A．极差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
【分析】根据极差、众数、中位数、平均数的定义求解即可．
3．（2019?鞍山）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.2
9.2
9.2
9.2
方差（环2）
0.035
0.015
0.025
0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
典例分析
易错点10：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，求概率的方法造成错误.
例1．（2019?内江）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．32000名学生是总体
B．1600名学生的体重是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调査是普查
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
例2．（2019?河池）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【分析】根据频率=计算仰卧起坐次数在25～30次的频率．
举一反三
1．（2019?泰安）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法测试．现抽取部分测试成绩（得分取整数）作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．样本容量是48
B．估计本次测试全校在90分以上的学生约有225人
C．样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内
D．样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.25
【分析】根据直方图的意义，依次分析ABCD的选项，A中根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，易得A正确，BD中，有频率的计算公式易得B正确，而D错误；由中位数的求法，可得C正确；进而可得答案．
2．（2008?宜昌）在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是普查
B．本地区只有85个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人
D．本地区约有15%的成年人吸烟
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
自我挑战
建议用时：30分钟
初出茅庐
建议用时：10分钟
1．（2019?临沂）四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】﹣3小于零，是负数，0既不是正数也不是负数，1和2是正数．
2．（2019?丹东）﹣2019的绝对值是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
3．（2019?常州）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
4．（2019秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= ；÷= ；±= ．
【分析】利用平方差公式计算（+）（﹣）；根据二次根式的除法法则计算÷；根据平方根的定义计算±．
5．（2019秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= 1 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出即可．
6．（2019?泰安）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法测试．现抽取部分测试成绩（得分取整数）作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．样本容量是48
B．估计本次测试全校在90分以上的学生约有225人
C．样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内
D．样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.25
【分析】根据直方图的意义，依次分析ABCD的选项，A中根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，易得A正确，BD中，有频率的计算公式易得B正确，而D错误；由中位数的求法，可得C正确；进而可得答案．
7．（2019?深圳）从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.8，1.3，1.4（单位：kg），依此估计这240尾草鱼的总质量大约是（ ）
A．300kg B．360kg C．36kg D．30kg
【分析】先计算出9条鱼的平均质量，然后乘以240即可．
优学学霸
建议用时：15分钟
8．（2019?烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是 ．
【分析】首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．
9．（2019?德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
10．（2019春?深圳校级期中）若解分式方程产生增根，则x= ，m= ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+2=0，得到x=﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
11．（2019?深圳）计算．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
12．（2019?深圳一模）计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．
第1讲 中考闯关必刷易错题（一）
课堂导入
先解决几个最值得关注的问题
中考题型和难度比例
12道选择题，4道填空题，7道解答题（其中第17、18题是计算题，第19题是统计图，第20题是三角函数的实际应用，第21、22、23题分别为应用题、圆的综合、二次函数压轴题）
从今年的考题可以看出，初一、初二和初三的考点分布相对平均，基础题占了六成比重，这也体现了中考回归基础的趋势，需要强调的是，压轴题全部来自初三，难度比例6: 3：1，逐渐向5:3:2过渡，试卷区分度较去年有所提升。这体现了一个新的趋势：学生从初一开始，就要重视夯实基础，不能像以前一样，初一初二无所谓，初三临时抱佛脚。初三的学习，要侧重于综合题的训练。
易错精讲
典例分析
易错点1：有理数、无理数以及数轴的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆.以及绝对值与数的分类
例1.（2019?临沂）四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】﹣3小于零，是负数，0既不是正数也不是负数，1和2是正数．
【解答】解：∵﹣3＜0，
且小于零的数为负数，
∴﹣3为负数．
故选：A．
例2．2．（2019?丹东）﹣2019的绝对值是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣2019的绝对值等于其相反数，
∴﹣2019的绝对值是2019；
故答案为：2019．选B
举一反三
1．（2019?常州）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
2．（2019?烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是 1 ．
【分析】首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．
【解答】解：解：从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2，
则﹣3+2=﹣1，
|﹣1|=1，
故答案为：1．
典例分析
易错点2：实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误；分母有理化注意最后的符号
例1．（2019?深圳）如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则|x﹣|+=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据对称的性质：对称点到对称中心的距离相等，得到x的值后代入代数式化简求值．
【解答】解：由题意得：x=1﹣（﹣1）=2﹣，
∴原式=﹣x+
=﹣2++
=2﹣2+
=2﹣2+
=2﹣2+
=2﹣2+2+
=3．
故选C．
例2．（2019春?深圳校级月考）计算：|﹣3|+?tan30°﹣﹣（2019﹣π）0+（）﹣3．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3+×﹣2﹣1+27=3+1﹣3+27=28．
举一反三
1．（2019?永州模拟）设m=+1，那么的整数部分是 3 ．
【分析】计算出的结果后，估算出其大小，从而求出其整数部分．
【解答】解：∵m=+1，
∴==，
∴=+1+=
∵2＜＜2.5
∴10＜5＜12.5
∴13＜5+3＜15.5
∴3＜＜＜15.5÷4＜4
∴的整数部分为3．
故答案为：3．
2.（2019?深圳模拟）计算：+（）﹣1﹣（﹣）0﹣2tan45°
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=2+3﹣1﹣2×1=2．
典例分析
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别
例1．（2019?微山县模拟）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】先化简=4，然后求4的平方根．
【解答】解：=4，
4的平方根是±2．
故选：D．
例2．（2019秋?福田区期末）下列计算正确的是（ ）
A．=﹣4 B．=±4 C．=﹣4 D．=﹣4
【分析】利用算术平方根及立方根定义计算各项，即可做出判断．
【解答】解：A、原式没有意义，错误；
B、原式=4，错误；
C、原式=|﹣4|=4，错误；
D、原式=﹣4，正确，
故选D
举一反三
1．（2019?龙岗区二模）16的平方根是（ ）
A．4 B．16 C．±4 D．±16
【分析】根据平方根的定义，即可解答．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4，
故选：C．
2．（2019?深圳模拟）如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（ ）
A．±1 B．0 C．1 D．0和1
【分析】根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是0．
【解答】解：0的平方根和立方根相同．
故选：B．
典例分析
易错点4：求分式值为零时学生易忽略分母不能为零.
例1．（2019春?通川区期末）若分式的值为零，则x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x2﹣4=0，
∴x=±2，
当x=2时，2x﹣4=0，∴x=2不满足条件．
当x=﹣2时，2x﹣4≠0，∴当x=﹣2时分式的值是0．
故选：B．
举一反三
1．（2019?天水）如果分式的值等于0，那么x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或2
【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵|x|﹣1=0，
∴x=±1，
当x=1时，x2+3x+2≠0，
当x=﹣1时，x2+3x+2=0，
∴当x=1时分式的值是0．
故选B．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
2．（2019?宁波）使式子有意义的取值为（ ）
A．x＞0 B．x≠1 C．x≠﹣1 D．x≠±1
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
【解答】解：∵|x|﹣1≠0，即|x|≠1，
∴x≠±1．
故选D．
典例分析
易错点5：分式运算时要注意运算法则和符号的变化.当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。填空题必考。
例1．（2019?广西）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应将m2﹣4=（m+2）（m﹣2）分解，然后再通分，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解：
=﹣
=﹣
=
=﹣．
故选A
例2．（2019?黄冈）分解因式：4ax2﹣ay2= a（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
举一反三
1．（2019?长沙）分解因式：x2y﹣4y= y（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
=y（x2﹣4），
=y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．
2．（2019?深圳）分解因式：a2b+2ab2+b3= b（a+b）2 ．
【分析】先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．
【解答】解：原式=b（a+b）2．
故答案为：b（a+b）2．
3．（2019?深圳）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先对分子分母进行因式分解，然后再约分即可．
【解答】解：原式==；
故选D．
易错点6：科学记数法,精确度，有效数字。
典例分析
例1．（2019?深圳）据统计，从2018年到2019年中国累积节能1570000000吨标准煤，1570000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.157×1010 B．1.57×108 C．1.57×109 D．15.7×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1570000000这个数用科学记数法表示为1.57×109，
故选：C．
例2．（2019?潍坊）我国以2019年11月1日零时为标准时点进行了笫六次全国人口普查，普查得到全国总人口为1370536875人，该数用科学记数法表示为（ ）
A．13.7亿 B．13.7×108 C．1.37×109 D．1.4×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1370536875有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：1370536875=1.370536875×109≈1.37×109．
故选：C．
举一反三
1．（2019?安顺）已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104千米 B．3.84×105千米 C．3.84×106千米 D．38.4×104千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于383900有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：383900=3.839×105≈3.84×105．故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
2．（2019?深圳）为保护水资源，某社区新建了雨水再生水工程，再生水利用量达58600立方米/年．这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．58×103 B．5.8×104 C．5.9×104 D．6.0×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：58 600用科学记数法表示为5.86×104≈5.9×104．
故选C．
典例分析
易错点7：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错.
例1.（2019秋?深圳校级月考）下列方程中，是一元二次方程的个数有（ ）
（1）x2+2x+1=0
（2）++2=0
（3）x2﹣2x+1=0
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0
（5）x2+x=4﹣x2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：（1）x2+2x+1=0是一元二次方程；
（2）++2=0不是一元二次方程；
（3）x2﹣2x+1=0是一元二次方程；
（4）（a﹣1）x2+bx+c=0不是一元二次方程；
（5）x2+x=4﹣x2是一元二次方程，
共3个，
故选：B．
例2．（2019秋?孟津县期中）关于x的方程：（m2﹣1）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）?
A．m≠0 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m≠±1?
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，可知：m2﹣1≠0，继而可求出答案．
【解答】解：根据一元二次方程的定义，可知：m2﹣1≠0，
∴m≠±1．
故选D．
举一反三
1．（2019秋?南郑县校级期中）关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1=0是一元二次方程的条件是（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠ D．a≠﹣3
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：由关于x的方程（a﹣3）x2+x+2a﹣1=0是一元二次方程，得
a﹣3≠0．
解得a≠3，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，注意：二次项的系数不能等于零．
2．（2019秋?宝安区校级期末）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m=0 B．m≠1 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
【分析】先根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵此方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得m≥0且m≠1．
故选C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程
典例分析
易错点8：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错.
例1．（2019?牡丹江）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1且m≠1
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：去分母得，m﹣1=2x﹣2，
解得，x=，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解这个不等式得，m＞﹣1，
∵m=1时不符合题意，
∴m≠1，
则m的取值范围是m＞﹣1且m≠1．
故选D．
例2．（2019?盐田区二模）关于x的方程有增根，那么a=（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）=a，
由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣2或x=1，
把x=﹣2代入整式方程得：a=0，经检验不合题意，舍去；
把x=1代入整式方程得：a=3，
故选D
举一反三
1．（2019?德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
典例分析
易错点9：中位数、众数、平均数，方差的有关概念理解不透彻，错求中位数、方差、众数、平均数.
例1．（2019?株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
队员
平均成绩
方差
甲
9.7
2.12
乙
9.6
0.56
丙
9.7
0.56
丁
9.6
1.34
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．
【解答】解：∵==9.7，S2甲＞S2乙，
∴选择丙．
故选C．
例2．（2019?深圳）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（ ）
A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90
【分析】首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可．
【解答】解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，
∴这组数据的众数是80；
把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得
75，80，80，85，90，
所以这组数据的中位数是80．
故选：B．
举一反三
1．（2019?广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选：C．
2．（2019?眉山）王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表：
小区绿化率（%）
20
25
30
32
小区个数
2
4
3
1
则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（ ）
A．极差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
【分析】根据极差、众数、中位数、平均数的定义求解即可．
【解答】解：由表格可知，极差为：32%﹣20%=12%，
众数为：25%，
中位数为：25%，
平均数为：=26.2%，
故选A．
3．（2019?鞍山）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.2
9.2
9.2
9.2
方差（环2）
0.035
0.015
0.025
0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故选B．
典例分析
易错点10：对普查与抽样调查的概念及它们的适用范围不清楚，求概率的方法造成错误.
例1．（2019?内江）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．32000名学生是总体
B．1600名学生的体重是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调査是普查
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、总体是：某市参加中考的32000名学生的体质情况，故本选项错误，
B、样本是：1600名学生的体重，故本选项正确，
C、每名学生的体重是总体的一个个体，故本选项错误，
D、是抽样调查，故本选项错误，
故选B．
例2．（2019?河池）为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐次数，并给制成如图所示的频数分布直方图，请根据图中信息，计算仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【分析】根据频率=计算仰卧起坐次数在25～30次的频率．
【解答】解：由图可知：仰卧起坐次数在25～30次的频率==0.4．
故选A．
【点评】此题考查了频率、频数的关系：频率=．
举一反三
1．（2019?泰安）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法测试．现抽取部分测试成绩（得分取整数）作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．样本容量是48
B．估计本次测试全校在90分以上的学生约有225人
C．样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内
D．样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.25
【分析】根据直方图的意义，依次分析ABCD的选项，A中根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，易得A正确，BD中，有频率的计算公式易得B正确，而D错误；由中位数的求法，可得C正确；进而可得答案．
【解答】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为3+6+9+12+18=48（人），所以样本容量是48；正确．
选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有1800×=225（人）；正确．
选项C中，易得样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内，故选项C也是正确的，
选项D中，易得样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.3125，故D不正确，
故选D．
2．（2019?宜昌）在2019年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）
A．调查的方式是普查
B．本地区只有85个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人
D．本地区约有15%的成年人吸烟
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：根据题意，随机调查100个成年人，是属于抽样调查，这100个人中85人不吸烟不代表本地区只有85个成年人不吸烟，样本是100个成年人，所以本地区约有15%的成年人吸烟是对的．
故选D．
自我挑战
建议用时：30分钟
初出茅庐
建议用时：10分钟
1．（2019?临沂）四个数﹣3，0，1，2，其中负数是（ ）
A．﹣3 B．0 C．1 D．2
【分析】﹣3小于零，是负数，0既不是正数也不是负数，1和2是正数．
【解答】解：∵﹣3＜0，
且小于零的数为负数，
∴﹣3为负数．
故选：A．
2．（2019?丹东）﹣2019的绝对值是（ ）
A．﹣2019 B．2019 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：∵﹣2019的绝对值等于其相反数，
∴﹣2019的绝对值是2019；
故答案为：2019．
3．（2019?常州）﹣的相反数是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：A．
4．（2019秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= 2 ；÷= 7 ；±= ±3 ．
【分析】利用平方差公式计算（+）（﹣）；根据二次根式的除法法则计算÷；根据平方根的定义计算±．
【解答】解：：（+）（﹣）=5﹣3=2；
÷==7；
±=±3．
故答案为2，7，±3．
5．（2019秋?深圳期末）计算：（+）（﹣）= 1 ．
【分析】直接利用平方差公式计算得出即可．
【解答】解：（+）（﹣）
=（）2﹣（）2
=6﹣5
=1．
故答案为：1．
6．（2019?泰安）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法测试．现抽取部分测试成绩（得分取整数）作为样本，进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图．根据图中提供的信息，下列判断不正确的是（ ）
A．样本容量是48
B．估计本次测试全校在90分以上的学生约有225人
C．样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内
D．样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.25
【分析】根据直方图的意义，依次分析ABCD的选项，A中根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，易得A正确，BD中，有频率的计算公式易得B正确，而D错误；由中位数的求法，可得C正确；进而可得答案．
【解答】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为3+6+9+12+18=48（人），所以样本容量是48；正确．
选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有1800×=225（人）；正确．
选项C中，易得样本的中位数落在70.5～80.5这一分数段内，故选项C也是正确的，
选项D中，易得样本中50.5～70.5这一分数段的频率是0.3125，故D不正确，
故选D．
7．（2019?深圳）从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.8，1.3，1.4（单位：kg），依此估计这240尾草鱼的总质量大约是（ ）
A．300kg B．360kg C．36kg D．30kg
【分析】先计算出9条鱼的平均质量，然后乘以240即可．
【解答】解：∵=（1.5+1.6+1.4+1.6+1.2+1.7+1.8+1.3+1.4）=1.5（千克）
∴1.5×240=360（千克），
∴这120尾鱼的总重量大约是360千克．
故选B．
优学学霸
建议用时：15分钟
8．（2019?烟台）如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是 1 ．
【分析】首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可．
【解答】解：解：从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2，
则﹣3+2=﹣1，
|﹣1|=1，
故答案为：1．
9．（2019?德阳）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 m＞﹣6且m≠﹣4 ．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程得x=m+6，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
10．（2019春?深圳校级期中）若解分式方程产生增根，则x= ﹣2 ，m= ﹣3 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+2=0，得到x=﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+2）
得x﹣1=m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x+2=0，
解得x=﹣2，
当x=﹣2时，m=﹣3，
故m的值可能是﹣3，
故答案为：﹣2；﹣3．
11．（2019?深圳）计算．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=+4×﹣1
=﹣1+4×﹣1
=．
12．（2019?深圳一模）计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．
【解答】解：原式=4﹣4+1﹣
=1﹣2
=﹣1．
