第二讲 因动点产生的四边形
例1：（两点固定求满足要求的四边形问题）如图，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
（2）求△的面积；
（3）求过，，三点的抛物线的解析式；
（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
例2：如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．
(1) 求此地物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
例3：如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求点的坐标．
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．
例4：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例5： 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？，若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.
1．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
① 当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
② 又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
2.如图，在平面直角坐标系中，已知R△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第二讲 因动点产生的四边形
例1：（两点固定求满足要求的四边形问题）如图，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
（2）求△的面积；
（3）求过，，三点的抛物线的解析式；
（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
【解答】解：（1）如图，作CG⊥AO与x轴交于点G，则CB=AG，
∵OA=2CB，
∴OA=2AG，
∵AO=4，
∴OG=2，
由于AB为4，CB∥OA，则C点纵坐标为4，
∴C（2，4）．
（2）∵AO=2CB，
∴2S△CBO=S△AOB，
∵S梯形ABCO=（CB+AO）?AB=×（2+4）×4=12，
∴S△CBO=12×=4，
∵CB∥AO，
∴△CMB∽△AMO，
∴=，
=，
则=，
∴S△COM=S△COB=×4=；
（3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4），
∴设解析式为y=a（x﹣0）（x﹣4），
将（2，4）代入解析式得，4=a（2﹣0）（2﹣4），
解得a=﹣1．
则解析式为y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x．
由图可知F点横坐标为2+4=6，
将x=6代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得，
y=﹣36+4×6=﹣12，
故F（6，﹣12）．
由图可知F1点横坐标为2﹣4=﹣2，
将x=﹣2代入y=﹣（x﹣0）（x﹣4）=﹣x2+4x得，
y=﹣36+4×6=﹣12，
故F1（﹣2，﹣12）．
当F与C重合时，F2（2，4）．
故F点的坐标为：（6，﹣12），F1（﹣2，﹣12），F2（2，4）．
【点评】此题考查了二次函数的性质和梯形及平行四边形的性质，将坐标与图形相结合，使得这道题充分体现了数形结合的重要性，同时要注意分类讨论．
例2：如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．
(1) 求此地物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【解答】
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH， ∴m2-2m+1=n2-2n+1， ∴（m+n-2）（m-n）=0； ∵由题意知m≠n， ∴m+n=2（m≠1）； 因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．
例3：如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点．
（1）求点的坐标．
（2）当为等腰三角形时，求点的坐标．
（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】
例4：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】
解：（1）∵x2-18x+72=0 ∴x1=6，x2=12． ∵OA＞OC， ∴OA=12，OC=6． ∴A（12，0），C（-6，0）；
∵tan∠ABO=， ∴=， ∴， ∴OB=16． 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB==20． ∵BE=5， ∴AE=15． 如图1，作EM⊥x轴于点M， ∴EM∥OB． ∴△AEM∽△ABO， ∴， ∴， ∴EM=12，AM=9， ∴OM=12-9=3， ∴E（3，12）， ∴12=， ∴k=36
例5： 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？，若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】
解：（1）在Rt△BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD2=OB?OC； 则OB=OD2÷OC=1； ∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有： a（0+1）（0-4）=4，a=-1； ∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4； （2）因为A（-2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立抛物线的解析式可求得F（1- ，3- ），G（1+ ，3+ ）； 设P点坐标为（x，x+2）（1- ＜x＜1+ ），则Q（x，-x2+3x+4）； ∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2； 易知M（ ， ）， 若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xM-xP|，即： -x2+2x+2=2（ -x）， 解得x=2- ，x=2+ （不合题意舍去） ∴P（2- ，4- ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xM-xQ|， 即：-x2+2x+2= -x， 解得x= ，x= （不合题意舍去） ∴P（ ， ） 故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）或（ ， ）；
（3）易知N（ ， ），M（ ， ）； 设P点坐标为（m，m+2），
则Q（m，-m2+3m+4）；（1- ＜m＜1+ ） ∴PQ=-m2+2m+2，NM= ； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ， 即：-m2+2m+2= ， 解得m= ，m= （舍去）； 当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ） 此时PM= ≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形， 所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN； 依题意，则有： （yN+yM）= （yP+yQ）， 即 + =-m2+3m+4+m+2， 解得m= ，m= （舍去）； 当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ），此时NQ与MP不平行， ∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（ ， ）．
1．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
① 当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
② 又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
解：（1）∵OC2=OA·OB， ∴OA·OB=4， 又∵OA+OB=5，且OA＜OB， 解得，OA=1，OB=4， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2）， 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）， 把C点坐标代入得，? ∴；
（2）①当△BDE为等腰三角形时，点E的坐标分别为， ②存在，过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M， 可求得直线CP的解析式为：y=；
（i）当点P在直线DM右侧时，如图（1）所示， 此时2＜m＜4， 把x=2代人直线CP的解析式， 得 又P（m，n）在抛物线上， 所以 S?△CDP= S△PDM?+S△CDM? DM·2=·DM=m+n-2， 即 当时，△CDP的面积最大，最大面积为； （ii）当点P在直线DM左侧时，如图（2）所示，此时0＜m≤2，? S△CDP= S△CDM?- S△DPM ， 当m=2时，S△CDP=3，综上所述，当时△CDP的面积最大，其最大面积为，此时。
2.如图，在平面直角坐标系中，已知R△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
