人教版（五四学制）2018-2019学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期中数学试卷解析版

2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记分）
1．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
2．（3分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列等式正确的是（　　）
A． B． C．（﹣）2＝2 D．
4．（3分）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　）
A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝1
5．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，用输出的结果是（　　）

A．7 B．6+4 C．2 D．6﹣4
7．（3分）下列说法中错误的有（　　）个
①一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形；
②两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形；
③依次连接菱形各边中点得到的图形是正方形；
④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣ B．a≤﹣ C．a≥﹣且a≠0 D．a＞﹣且a≠0
9．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+3＝0 B．x2+2x＝0
C．（x+1）2＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
10．（3分）若，则x的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
11．（3分）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于（　　）cm．

A．8 B．12 C．16 D．24
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）已知+2＝b+8，则的值是　 　．
14．（3分）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个实数根，则代数式2019﹣a+b的值为　 　．
15．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第　 　象限．
16．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为s＝．已知△ABC的三边长分别为，2，2，则△ABC的面积为　 　．
17．（3分）如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝　 　．

18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，过对角线AC中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接AF、CE．当四边形AECF是菱形时，EF的长为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
20．（6分）化简下列式子：?3．
21．（10分）按要求解下列一元二次方程
（1）x2+4x＝1（公式法）
（2）（x+2）2＝3x+6．（提公因式法）
22．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解．
23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

24．（10分）先阅读，再解答，
由（+）?（﹣＝（）2﹣（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：，根据以上运算请完成下列问题：
（1）　 　（填＞或＜）；
（2）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
25．（12分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：　 　；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．




参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记分）
1．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；
B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；
D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．
故选：C．
2．（3分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【解答】解：A．＝2，此选项不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．＝，此选项不符合题意；
D．＝3，此选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列等式正确的是（　　）
A． B． C．（﹣）2＝2 D．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A错误；
（B）原式＝﹣2，故B错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：C．
4．（3分）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　）
A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝1
【分析】根据题意确定出所求方程即可．
【解答】解：3x2﹣6x+1＝0，
其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1，
故选：A．
5．（3分）一元二次方程x2+2x＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先计算出△＝22﹣4×1×0＝4＞0，然后根据判别式△＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵△＝22﹣4×1×0＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“6”，用输出的结果是（　　）

A．7 B．6+4 C．2 D．6﹣4
【分析】判断出6除以3的商与的差是多少，根据所得的差与1的大小关系，确定出输出结果是多少即可．
【解答】解：6÷3﹣＝2﹣，
∵2﹣＜1，
∴输出结果是：
（2﹣）×（2﹣）＝6﹣4．
故选：D．
7．（3分）下列说法中错误的有（　　）个
①一条对角线平分一内角的平行四边形是菱形；
②两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形；
③依次连接菱形各边中点得到的图形是正方形；
④两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：①有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故①正确；
②两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故②错误，
③依次连接菱形各边中点得到的图形是矩形，故③错误；
④两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④错误；
本题错误的说法有：3个，
故选：C．
8．（3分）已知关于x的方程ax2+2x﹣2＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣ B．a≤﹣ C．a≥﹣且a≠0 D．a＞﹣且a≠0
【分析】当a≠0时，是一元二次方程，根据根的判别式的意义得△＝22﹣4a×（﹣2）＝4（1+2a）≥0，然后解不等式；当a＝0时，是一元一次方程有实数根，由此得出答案即可．
【解答】解：当a≠0时，是一元二次方程，
∵原方程有实数根，
∴△＝22﹣4a×（﹣2）＝4（1+2a）≥0，
∴a≥﹣；
当a＝0时，2x﹣2＝0是一元一次方程，有实数根．
故选：A．
9．（3分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+3＝0 B．x2+2x＝0
C．（x+1）2＝0 D．（x+3）（x﹣1）＝0
【分析】根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断．
【解答】解：A、△＝0﹣4×3＝﹣12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△＝4﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、x2+2x+1＝0，△＝4﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D、x1＝﹣3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选：C．
10．（3分）若，则x的值可以是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的有意义的条件解答即可．
【解答】解：若，
所以，
解得：2≤x＜4，
故选：B．
11．（3分）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于（　　）cm．

A．8 B．12 C．16 D．24
【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长，再求出四边形EFGH的周长即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG＝EF＝AC＝4cm，EH＝FG＝BD＝4cm，
∴四边形EFGH的周长等于4cm+4cm+4cm+4cm＝16cm，
故选：C．
12．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，DO＝BO，由勾股定理可得BD＝2，由直角三角形的性质可得EO＝DO＝BO＝1，可证△BEO是等边三角形，可得∠BOE＝60°，即可求∠AOE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，DO＝BO，
∵DE⊥AB，DE＝，BE＝1，
∴BD＝＝2
∴DO＝BO＝1
∵DE⊥BA，DO＝BO，
∴EO＝DO＝BO＝1，
∴BE＝BO＝EO＝1，
∴△BEO是等边三角形
∴∠BOE＝60°
∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）已知+2＝b+8，则的值是　5　．
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
14．（3分）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个实数根，则代数式2019﹣a+b的值为　2018　．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+ax+b＝0得﹣a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+ax+b＝0得1﹣a+b＝0，
所以﹣a+b＝﹣1，
所以2019﹣a+b＝2019﹣1＝2018．
故答案为2018．
15．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过第　一　象限．
【分析】先根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（﹣2）2﹣4m（﹣1）＜0，则m＜﹣1且m≠0，然后根据一次函数的性质求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，
∴m≠0且△＝（﹣2）2﹣4m（﹣1）＜0，
∴m＜﹣1且m≠0，
∴一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
16．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为s＝．已知△ABC的三边长分别为，2，2，则△ABC的面积为　　．
【分析】直接利用公式结合二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为s＝．
∴△ABC的三边长分别为，2，2，则△ABC的面积为：＝．
故答案为：．
17．（3分）如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝　4　．

【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝5＝BO＝DO，由S△DCO＝S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，

∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝5＝BO＝DO，
∴S△DCO＝S矩形ABCD＝10，
∵S△DCO＝S△DPO+S△PCO，
∴10＝+×OC×PE
∴20＝5PF+5PE
∴PE+PF＝4
故答案为：4
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，过对角线AC中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接AF、CE．当四边形AECF是菱形时，EF的长为　7.5　．

【分析】设菱形的边长为x，则DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，利用勾股定理可得x值，根据菱形的面积：对角线乘积的一半和底乘高，利用面积法可求EF长．
【解答】解：设菱形的边长为x，则DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，利用勾股定理可得
62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝．
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
所以AC＝10．
根据菱形的面积可得×AC×EF＝×6，
解得EF＝7.5．
故答案为7.5．
三、解答题（本大题共7小题，满分66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣﹣
＝﹣；
（2）原式＝9+6+5﹣（4﹣5）
＝14+6+1
＝15+6．
20．（6分）化简下列式子：?3．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝2ab×3×（﹣2）
＝﹣12ab?a2
＝﹣12a3b．
21．（10分）按要求解下列一元二次方程
（1）x2+4x＝1（公式法）
（2）（x+2）2＝3x+6．（提公因式法）
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；
（2）先变形为（x+2）2﹣3（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解（1）原方程可化为：x2+4x﹣1＝0，
∵b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0
∴x＝＝﹣2±，
∴x1＝﹣2+； x2＝﹣2﹣；
（2）原方程可变形为：
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣3）＝0
x+2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣2 x2＝1．
22．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（3﹣a）＞0，然后解不等式即可；
（2）确定a的最小整数值为0，此时方程变形为x2﹣4x+3＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（3﹣a）＞0，
解得a＞﹣1；
（2）a的最小整数值为0，
此时方程变形为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝1，x2＝3．
23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．

24．（10分）先阅读，再解答，
由（+）?（﹣＝（）2﹣（）2＝2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积可能不含有二次根式．在进行二次根式计算时，可以利用这种运算规律化去分母中的根号，例如：，根据以上运算请完成下列问题：
（1）　＜　（填＞或＜）；
（2）利用你发现的规律计算下列式子的值：．
【分析】（1）通过比较的倒数和的倒数进行判断；
（2）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）∵＝+，＝+，
∴＞，
∴＜．
故答案为＜；
（2）原式＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝2019﹣1
＝2018．
25．（12分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：　AM＝AD+MC　；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM＝FM，只需证明FB＝DE即可；要证FB＝DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM＝AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM＝DE+BM不成立．
【解答】证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠ENC＝∠MAE．
∴MA＝MN．
在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD＝NC．
∴MA＝MN＝NC+MC
＝AD+MC．
（2）AM＝DE+BM成立．
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°．
∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF＝DE，∠F＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠FAB
＝∠FAM．
∴∠F＝∠FAM．
∴AM＝FM．
∴AM＝FB+BM＝DE+BM．
（3）①结论AM＝AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠EPC＝∠MAE．
∴MA＝MP．
在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD＝PC．
∴MA＝MP＝PC+MC
＝AD+MC．
②结论AM＝DE+BM不成立．
证明：假设AM＝DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE＝90°．
∴∠QAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
∴∠Q＝90°﹣∠QAB
＝90°﹣∠DAE
＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠QAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠QAB
＝∠QAM．
∴∠Q＝∠QAM．
∴AM＝QM．
∴AM＝QB+BM．
∵AM＝DE+BM，
∴QB＝DE．
在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB＝AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM＝DE+BM不成立．