第03讲 中考数学满分冲刺（三）
典例分析
静态几何之三角形问题：
例1、已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ）
A. 6条 B. 7条
C. 8条 D. 9条
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60o，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 （ ）
A. B.
C. D.
例3、如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
二、静态几何之四边形问题：
例1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
例2、在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
三、静态几何之圆的问题：
例1、如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是 ( )
A. 米2 B. 米2
C. 米2 D. 米2
例2、如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
例3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF.
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）.
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线.
1、△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）
A．4 B．4或5
C．5或6 D．6
2、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 （ ）
A. B.
C. D.
4、如图□ABCD的对角线ACBD交于点O，平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=600，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°，②S□ABCD=AB?AC，③OB=AB，④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则S阴影=（ ）
A. B.
C. D.
6、如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .
1、在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
2、矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP=DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE= ．
3、【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
4、如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G。
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2=AF·AB；
（3）求若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积.
第03讲 中考数学满分冲刺（三）
典例分析
静态几何之三角形问题：
例1、已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 （ ）
A. 6条 B. 7条
C. 8条 D. 9条
【答案】B．
【考点】1.作图（应用与设计作图）；
2.等腰三角形的判定和性质；3.分类思想的应用.
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60o，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A．
【考点】1. 等边三角形的判定和性质；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.比例的性质；6.方程思想的应用.
【分析】如答图，连接AC，BD，MN，过点M作MH⊥CN于点H，
∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=BN=4.
∵∠BAD=60o，∴△ABD和△AMN都是等边三角形.
∴MN=2，∠BAC=30o.∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴.
∴.设，则.
∵，∴，解得.
∴.
∴.故选A．
例3、如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．
【答案】.
【考点】1. 角平分线的性质；2. 全等三角形的判定和性质；3.相似三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质．
【分析】∵AD为角平分线，∴点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵4AB=5AC，∴. ∴BD=CD．
如答图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，∵，
∴△ABD≌△AMD（SAS）.∴MD=BD=5m．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，∴，∴CK=CD，∴KD=CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形. ∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2.
∵MN∥AD，∴∠3=∠4=∠1=∠2.
又∵∠DKM=∠3（对顶角），∴∠DMK=∠4. ∴DM∥GN. ∴四边形DMNG为平行四边形.
∴MN=DG=2FD．∵点H为AC中点，AC=4CM，∴．
∵MN∥AD，∴△AGH∽△MNH. ∴，即. ∴．
二、静态几何之四边形问题：
例1、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是 （ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C.
【考点】1. 矩形的性质；2.菱形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质； 4.锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.
【分析】如答图，连接OD，∵四边形ABCD是矩形，O为AC中点，
∴B，O，D三点共线. ∴OB=OC，又∵∠COB=60°∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，又∵FO=FC，BF=BF. ∴△OBF≌△CBF（SSS）.
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称.
∴FB⊥OC，OM=CM. ∴①正确.
∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°.
∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°.∴∠ABO=∠OBF.
∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴易证△AOE≌△COF.
∴OE=OF. ∴OB⊥EF. ∴四边形EBFD是菱形. ∴③正确.
∴△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB不成立．∴②错误.
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=.
∵OE=OF，∴MB：OE=3：2. ∴④正确.综上所述，正确结论的个数是3，故选C．
例2、在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【答案】解：（2）如答图1，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形，∴GF∥BC∥AD．
∴∠EDP=∠GFP．在△DPE和△FPG中，
∵∠EDP=∠GFP，DP=FP，∠DPE=∠FPG，
∴△DPE≌△FPG（ASA）．∴PE=PG，DE=FG=BG．
∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，∵CD=CB，∠CDE=∠CBG=60°，DE=BG，
∴△CDE≌△CBG（SAS）．∴CE=CG，∠DCE=∠BCG．∴∠ECG=∠DCB=120°．
∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°．∴PG=PC．
（3）猜想：PG=PC．
【考点】1.四边形综合题；2.菱形的性质；3.等边三角形的性质；4.全等三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．
三、静态几何之圆的问题：
例1、如图，是某公园的一角，∠AOB=90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是 ( )
A. 米2 B. 米2
C. 米2 D. 米2
【答案】A．
【考点】1．三角形和扇形面积的计算；2．平行的性质；
3．含30度直角三角形的性质；4．转换思想的应用．
【分析】如答图，连接OD，∵∠AOB=90°，CD∥OB，
∴∠OCD=180°﹣∠AOB=180°﹣90°=90°．
∵点C是OA的中点，∴OC=OA=OD=×6=3．
∴∠CDO=30°，∴∠COD=90°﹣30°=60°．
∴CD=OC=．
∵CD∥OB，∴∠BOD=∠CDO=30°．
∴S阴影= S扇形OBD +S△COD =（米2）．
故选A．
例2、如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
【答案】50°．
【解析】试题分析：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴，∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，∠GFD=∠AFC，∠EFG=∠EGF=65°，∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案为：50°．
考点：切线的性质．
例3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF.
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）.
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线.
【答案】解：（1）∵AC=12，∴ CO=6.
∴劣弧PC的长=2π.
（2）证明：∵ OD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADO=∠PEO=90°.
在△ADO和△PEO中，∵，∴ △ADO≌△PEO（AAS）.∴ OD=OE.
（3）证明：如答图，连接PC，∵AC是直径，∴BC⊥AB.
又∵ OD⊥AB，∴ PD∥BF.∴∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE.
由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED.
又∵∠OED=∠FEC，∴∠FEC=∠CFE. ∴EC=FC.
∵ OP=OC，∴∠ OPC=∠OCE. ∴∠ PCE =∠PCF.
在△PCE和△PFC中，∵，∴△PCE≌△PFC（SAS）.∴∠ PFC =∠PEC=90°.
∵∠ PDB=∠B=90°，∴四边形DBFP是矩形. ∴∠ DPF=90°即OP⊥PF. ∴PF是⊙O的切线.
【考点】1.弧长的计算；2.圆周角定理；3.平行的判定；4. 三角形全等的判定和性质；
5. 矩形的判定和性质；6. 切线的判定.
1、△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ ）
A．4 B．4或5
C．5或6 D．6
【答案】B．
【解析】 试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴，
即，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故选B．
考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．
2、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，∴△GAE≌△CEF，∴②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误； 即正确的有2个．故选B．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．
3、如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D．
【考点】1.正方形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.转换思想的应用．
【分析】如答图，过点E作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°.
又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°.
∴∠PEM+∠MEQ=90°. ∵△FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°.∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°.∴EP=EN，四边形MCQE是正方形.
在△EPM和△EQN中，∵，∴△EPM≌△EQ（ASA）.∴S△EQN=S△EPM.
∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积.∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC=a.，∵EC=2AE，∴EC=a. ∴EP=PC=a，
∴正方形MCQE的面积=. ∴四边形EMCN的面积=.故选D．
4、如图□ABCD的对角线ACBD交于点O，平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=600，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°，②S□ABCD=AB?AC，③OB=AB，④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C．
【解析】 试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，∴S?ABCD=AB?AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误； ∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．
考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定与性质；4．含30度角的直角三角形；5．综合题．
5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则S阴影=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D．
【考点】1.扇形面积的计算； 2. 垂径定理；
3.含30度角直角三角形的性质； 4.转换思想的应用．
【分析】如答图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，CD=，∴CE=DE=CD=，
又∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，∴S△BED=S△OEC，∴S阴影=S扇形BOC=． 故选D．
6、如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .
【答案】.
【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案：
如答图，作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BA=BC.
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，∵，
∴△BAD≌△CAD′（SAS）.∴BD=CD′．
在Rt△ADD′中，由勾股定理得.
∵∠D′DA＝∠ADC＝45°，∴∠D′DC＝90°.在Rt△CDD′中，由勾股定理得， ∴BD=CD′=.
1、在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为 ．
【答案】，或6.
【考点】1. 含30度直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4. 分类思想的应用．
【分析】根据题意画出图形，分四种情况讨论：
①如答图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，P点在线段AC上，∠ABP不可能等于30°，只能是P点与C点重合，与条件相矛盾.
②如答图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，P点在线段CA的延长上.
∵Rt△ABC中，BC=6，∠C=30°，∴AC=BC=×6=3.
在△ABC和△ABP中，∵∠ABP=∠ABC=30°，AB=AB，∠CAB=∠PAB=90°，
∴△ABC≌△ABP（ASA）.∴AC=AP=3. ∴CP=AC＋AP=3＋3=6.
③如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，P点在线段AC上.
∵Rt△ABC中，BC＝6，∠C=30°，∴AB=BC=×6=3.
∵∠ABP＝30°，∴AP=BP，∠PBC=∠ABC－∠ABP=60°－30°=30°=∠C. ∴PC=PB.
∵在Rt△ABP中， ，∴，解得PB=.
∴PC=PB=.
④如答图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，P点在线段CA的延长线上.
∵∠ABP=30°，∠ABC=60°，∴△PBC是直角三形，∵∠C=30°，∴PB＝PC.
∵在 Rt△PBC中，PC2－PB2=BC2，∴，解得PC=.
综上所述，CP的长为，或6.
2、矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP=DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE= ．
【答案】或．
【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.平行的性质；5.分类思想和数形结合思想的应用．
【分析】∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，∴由勾股定理得：BD=．
如答图所示，以点D为圆心，DA长为半径作圆，交直线BD于点P1、P2，连接AP1、P2A并延长，分别交直线BC于点E1、E2．
∵DA=DP1，∴∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠4=∠3.
又∵∠2=∠3，∴∠3=∠4.
∴BE1=BP1=. ∴CE1=BE1﹣BC=.
∵DA=DP2，∴∠5=∠6.
∵AD∥BC，∴∠5=∠7. ∴∠6=∠7.
∴BE2=BP2=. ∴CE2=BE2+BC=．
综上所述，CE=或．
3、【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【答案】解：（1）证明：如答图1，延长AE、BC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，∵∠DAE=∠CNE，∠AED=∠NEC ，DE=CE，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．证明如下：
如答图2，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE． 在△ABF和△ADE中，∵∠FAB=∠EAD，AB=AD，
∠ABC=∠D=90°， ∴△ABF≌△ADE（ASA）．∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM．∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）AM=AD+MC仍然成立，结论AM=DE+BM不成立．
【考点】1．四边形综合题；2．角平分线的定义；3．正方形的性质；4．矩形的性质；5．平行线的性质；6．全等三角形的判定和性质；7．反证法的应用．
4、如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G。
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG2=AF·AB；
（3）求若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积.
【答案】解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：
如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.
∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.，∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．
（2）证明：如答图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴，∴∠AGF=∠ABG，∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF?AB.
（3）如答图3，连接BD，∵AD是直径，∴∠ABD=90°.
∵AG2=AF?AB，AG=AC=2，AB=4，∴AF=.
∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD. ∴，即，解得：AE=2，
∴.∵，
∴，∴．
【考点】1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.
