数学人教A版必修五2．2．2等差数列的性质课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
或an+1=an+d
等差数列
【说明】
①数列{ an }为等差数列?
an+1-an=d
d
=an+1-an
②公差是 唯一 的，是一个常数。
等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
知识回顾
an=a1+(n-1)d
等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了
解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)
an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
等差数列的性质(一)
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,公差为p .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.
常数列的等差数列通项公式为常值函数。
an=3n+5
a1=8，d=3
an=12-2n
a1=10，d=-2
y=3x+5
y=12-2x
等差数列的性质(一)
解：（1）依题意得
a1+4d=10
a1+11d=31
解得 a1= - 2 , d = 3
∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
例2.在等差数列{an}中， a5=10，
（1）若a12=31，求a25 ；
（2）若d=2，求a10；
an=am+(n-m)d
例.a10=a5+ d， a32=a99+ d.
5
（－67）
设 {an}是公差为d的等差数列，那么
(1) an=am+(n-m)d
－7
等差数列的性质(二)
思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数.
设数技巧
已知三个数成等差 数列，且和为已知时常利用对称性设三数为：a-d , a ,a+d
四个数怎么设？
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；
(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
等差数列的设法及求解
如何判断一个数列为等差数列
在等差数列
中，
为公差，若
且
则：
等差数列的性质(三)
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。
判断：
可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多
等差数列的性质(三)
√
×
√
√
×
×
例3 .在等差数列{an}中

(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
例题分析
(2)已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，
求a14及公差d.
分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
　　又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
或
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d
a1，a2，a3，……an
（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
am+1，am+2，……an是等差数列
首项为am+1，公差为d，项数为n-m
等差数列的性质(四)
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，
a1，a2，a3，……an
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？
a1，a3，a5，……是等差数列
首项为a1，公差为2d
取出的是所有偶数项呢？
a2，a4，a6，……是等差数列
首项为a2，公差为2d
等差数列的性质(四)
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，
a1，a2，a3，……an
a7，a14，a21，……是等差数列
首项为a7，公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢？
ak，a2k，a3k，……是等差数列
首项为ak，公差为kd
（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？
等差数列的性质(四)
已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，
a1，a2，a3，……an
（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差
数列吗？公差是多少？
a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是
等差数列吗？公差是多少？
a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，
公差为3d。
等差数列的性质(四)
1、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为等差数列，公差为 ____ 。
4、若数列{an}与{bn}分别是公差为d1、d2等差数列，则{an+bn}也为等差数列，{an-bn}也为等差数列，{pan+qbn}也为等差数列。
kd
2、{c＋an}(c为任一常数)是公差为__的等差数列；
3、{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列．
d
cd
等差数列的性质(四)
例题分析
例题分析
例题分析
3．等差数列的常见设法
(1)若三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d；
(2)若五个数成等差数列，可设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d；
(3)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.