第1讲 三角函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 三角函数的诱导公式及三角函数的性质·T15 三角函数的图象与性质，函数的极值点·T8 三角函数的零点·T5
2018 三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6
2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6
三角函数的最值·T13
(1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.
(2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第3～11或14～15题位置上.
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[例1] (1)(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则tanθ＝( )
A.－ B.
C.－ D.
(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B.
C.0 D.－
[解析] (1)因为角θ的终边经过点P(4，y)，sinθ＝－＜0，所以角θ为第四象限角，所以cosθ＝＝，所以tanθ＝＝－，故选C.
(2)由已知，得f＝f＋sin
＝f＋sin＋sin
＝f＋sin＋sin＋sin
＝f＋sin＋sin＋sin
＝0＋＋＋＝.
[答案] (1)C (2)A
[解题方略]
1.同角三角函数基本关系式的应用技巧
知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
知弦求切 常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用
知切求弦 通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解
和积转换法 如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化
巧用“1” 的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ
2.利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”.
[跟踪训练]
1.(2019·福建适应性练习)已知α∈(0，π)，sin＝－，则tan(α＋π)＝( )
A. B.－
C.2 D.－2
解析：选D 由sin＝－，得cosα＝－，又由α∈(0，π)，得sinα＝，tanα＝－2，所以tan(α＋π)＝tanα＝－2.故选D.
2.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin2α－2cos2α＝( )
A. B.－
C.－ D.－
解析：选A 法一：(直接法)由已知得tanα＝2，即sinα＝2cosα.
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，cos2α＝.
而sin2α－2cos2α＝2sinαcosα－2cos2α＝2×2cosαcosα－2cos2α＝2cos2α＝.故选A.
法二：(转化法)由已知得tanα＝2，
所以sin2α－2cos2α＝＝＝＝.
三角函数的图象与解析式
?题型一 由“图”定“式”
[例2] (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝2sin
B.f(x)＝2sin
C.f(x)＝2sin
D.f(x)＝2sin
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为( )
A. B.－
C.－ D.－
[解析] (1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，
所以函数的最大值为2，即A＝2.
由图象可得，x＝－，x＝为相邻的两条对称轴，
所以函数的周期T＝2×＝4π，
故＝4π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，
即sin＝1，
所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z).
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝2sin，故选B.
(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.
因为点在函数f(x)的图象上，
所以Asin＝0，
解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.
因为f＝，所以Asin＝，
解得A＝，所以f(x)＝sin.
当x∈时，2x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)的最小值为－.
[答案] (1)B (2)C
[解题方略] 由“图”定“式”找“对应”的方法
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图.
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
?题型二 三角函数的图象变换
[例3] (1)(2019·福建省质量检查)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g＝，则f＝( )
A.－2 B.－
C. D.2
[解析] (1)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故所得图象的一个对称中心为，选A.
(2)∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.
又f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，解得ω＝2.∴f(x)＝Asin2x.
由题意可得g(x)＝Asinx，g＝，
即Asin＝，解得A＝2.
故f(x)＝2sin 2x.
∴f＝2sin＝.
故选C.
[答案] (1)A (2)C
[解题方略] 关于三角函数的图象变换的方法
沿x轴 沿y轴
平移 变换 由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移
伸缩 变换 由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍
[跟踪训练]
1.(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝( )
A.sin B.sin
C.sin D.sin
解析：选B 法一：由题设知，f＝sin.设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故选B.
法二：由题设知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.故选B.
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2019)的值为________.
解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0，1)代入，可得Asinφ＝1，所以f(2019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asinφ＝－1.
答案：－1
3.(2019·西安师大附中模拟改编)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)＝4，且x1，x2∈[－2π，2π]，则g(x)＝____________，x1－2x2的最大值为________.
解析：将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)＝sin＋1＝－cos2x＋1的图象，故g(x)的最大值为2，最小值为0.若g(x1)g(x2)＝4，则g(x1)＝g(x2)＝2，即cos2x1＝cos2x2＝－1.又x1，x2∈[－2π，2π]，∴2x1，2x2∈[－4π，4π]，要使x1－2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝－3π，此时x1－2x2的最大值为＋3π＝.
答案：－cos2x＋1
三角函数的性质
[例4] (1)(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2 B.
C.1 D.
(2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A.f(x)＝|cos2x| B.f(x)＝|sin2x|
C.f(x)＝cos|x| D.f(x)＝sin|x|
(3)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
[解析] (1)由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
(2)作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图.
由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增.
同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B、C、D.
故选A.
(3)法一：∵f(x)＝cosx－sinx＝－sin，∴当x－∈，即x∈时，
y＝sin单调递增，
f(x)＝－sin单调递减，
∴是f(x)在原点附近的单调减区间，
结合条件得[0，a]?，
∴a≤，即amax＝.故选C.
法二：f′(x)＝－sinx－cosx＝－sin.
于是，由题设得f′(x)≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立.
当x∈[0，a]时，x＋∈，
所以a＋≤π，即a≤，
故所求a的最大值是.故选C.
[答案] (1)A (2)A (3)C
[解题方略]
1.求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得.
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间.
2.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断.
3.求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
[跟踪训练]
1.(2019·沈阳市质量监测一)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A.函数y＝f(x)的递减区间为
B.函数y＝f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到
C.函数y＝f(x)的图象的一条对称轴的方程为x＝
D.若x∈，则y＝f(x)的取值范围是
解析：选D 对于A，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，A错；对于B，y＝sin2x的图象向左平移个单位长度后是y＝sin＝sin的图象，B错；对于C，令2x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，当k＝－1时，x＝－，当k＝0时，x＝，C错；对于D，若x∈，则∈，故f(x)∈，D正确.
2.(2019·武汉市调研测试)已知函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________.
解析：法一：因为函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以2sin＝±2，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z).又－＜φ＜，所以φ＝.
法二：因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，即2sinφ＝2sin，sinφ＝cosφ－sinφ，则tanφ＝.因为－＜φ＜，所以φ＝.
答案：
三角函数图象与性质的综合应用
[例5] (2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域.
[解] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，
故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，所求函数的值域是.
[解题方略]
解决三角函数图象与性质综合问题的思路
(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角一函数)的形式；
(2)把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.
[跟踪训练]
(2019·合肥市第一次质检)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x).
(1)求函数h(x)的单调递增区间；
(2)若g＝，求h(α)的值.
解：(1)由已知可得g(x)＝sin，则h(x)＝sin2x－sin＝sin.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由g＝得sin＝sin＝，
∴sin＝－，即h(α)＝－.
直观想象——数形结合法在三角函数图象问题中的应用
[典例] 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了
得到g(x)＝cos的图象，则只需将f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
[解析] 根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象知，＝－＝，∴T＝π，即＝π，解得ω＝2.根据“五点作图法”并结合|φ|<，可知2×＋φ＝π，解得φ＝，∴f(x)＝sin.∴g(x)＝cos＝sin＝sin.故为了得到g(x)的图象，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度即可.
[答案] A
[素养通路]
本题利用图形描述数学问题，通过对图形的理解，由图象建立形与数的联系，确定函数的周期，根据“五点作图法”代入数据求参数.考查了直观想象这一核心素养.
[专题过关检测]
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1.(2019·合肥市第一次质检)已知cosα－sinα＝，则cos＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析：选C 由cosα－sinα＝，得1－sin2α＝，所以sin2α＝，所以cos＝sin2α＝，故选C.
2.(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋2＝2sin＋2，则f(x)的最小正周期为＝π，最大值为2＋2＝4.故选B.
3.(2019·四川攀枝花模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，现将此图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝2sin 2x
B.g(x)＝2sin
C.g(x)＝2sin
D.g(x)＝2sin
解析：选D 根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2.
再根据五点法作图可得2×＋φ＝，∴φ＝－，
∴函数f(x)＝2sin＝2sin2.
把f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝2sin2＝2sin的图象，故选D.
4.(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝cos，由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以当k＝0时函数的一个单调递增区间是，所以m的最大值为.故选A.
5.(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④
C.①④ D.①③
解析：选C ①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确.
②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误.
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误.
④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确.
综上，①④正确.
故选C.
6.(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝，则( )
A.f(x)在上是减函数
B.f(x)在上是增函数
C.f(x)在上是减函数
D.f(x)在上是增函数
解析：选B 由题图可知A＝2，则f(x)＝2sin(2x＋θ).
因为f(a)＝f(b)＝0，所以f＝2，
则sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝＋2kπ，k∈Z.
由f(a＋b)＝得sin[2(a＋b)＋θ]＝，
2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，或2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，
所以θ＝＋2kπ或θ＝＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜，所以θ＝，
f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，
所以f(x)在上是增函数.当x∈时，2x＋∈(π，2π)，
所以f(x)在上先减后增.故选B.
二、填空题
7.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________.
解析：∵f(x)＝sin－3cosx
＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，
令t＝cosx，则t∈[－1，1]，
∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.
答案：－4
8.(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是________.
解析：由三角函数的定义知cosα＝a，sinα＝b，∴cosα＋sinα＝a＋b＝，∴(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝，
∴sin2α＝－1＝，∴cos＝－sin2α＝－.
答案：－
9.已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2，4]上单调，且f(2)＝1，f(4)＝－1，则ω＝________，f(x)在区间上的值域是________.
解析：由题意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝，
∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1，
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由x∈，得x－∈，
∴sin∈，
即f(x)在区间上的值域为.
答案：
三、解答题
10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin2x－cos2x的图象经过怎样的平移变换得到.
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，
∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z，
即φ＝－＋kπ，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin 2x－cos 2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象.
11.已知m＝，n＝(cos x，1).
(1)若m∥n，求tan x的值；
(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间.
解：(1)由m∥n得，sin－cosx＝0，展开变形可得，sinx＝cosx，即tanx＝.
(2)f(x)＝m·n＝sincosx＋1
＝sinxcosx－cos2x＋1
＝sin2x－＋1
＝＋
＝sin＋，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.
12.已知函数f(x)＝cosx(2sinx＋cosx)－sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围.
解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2
＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，
即m≤f(x)max，
因为x∈，所以2x＋∈，
故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，
且最大值为f＝2.
从而可得m≤2.
所以实数m的取值范围为(－∞，2].
B组——大题专攻强化练
1.已知函数f(x)＝sin24x＋sin4xcos4x.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最值.
解：(1)f(x)＝sin24x＋sin4xcos4x
＝×＋sin8x
＝sin8x－cos8x＋
＝sin＋.
令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)由(1)得f(x)＝sin＋.
因为x∈，所以∈.故sin∈.
所以－1＋≤sin＋≤，
所以函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1＋.
2.已知向量m＝(2sinωx，sinωx)，n＝(cosωx，－2sinωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解：(1)因为向量m＝(2sinωx，sinωx)，n＝(cosωx，－2sinωx)(ω>0)，所以函数f(x)＝m·n＋＝2sinωxcosωx＋sinωx(－2sinωx)＋＝sin2ωx－2sin2ωx＋＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.
因为直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为×2＝π，即＝π，得ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
3.已知函数f(x)＝sin2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心.
(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象.
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1
＝2sin＋1.
∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，
∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.
∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.
由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：
x＋ － － 0 π
x －π － － π
f(x) 0 －1 1 3 1 0
则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示.
4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围.
解：(1)由题意，T＝2×＝π，故ω＝＝2，
所以sin＝sin＝1，
所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z.
因为0≤φ≤，所以φ＝，
所以f(x)＝sin.
(2)画出该函数的图象如图，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x＝对称，所以x1＋x2＝，π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<，
故x1＋x2＋x3的取值范围为.
1
(共42张PPT)
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 三角函数的诱导公式及三角函数的性质·T15 三角函数的图象与性质，函数的极值点·T8 三角函数的零点·T5
2018 三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8 三角函数单调性的应用·T10 正切函数的周期·T6
2017 三角函数的周期·T3 三角函数的最值·T6
三角函数的最值·T13
[第二层级] DIERCENG II
重点热点,精析精研
重点板块
提升素养,全力攻坚
每课一悟}“素养”落地·功在平时
第2讲 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 诱导公式及两角和的正切公式·T7 二倍角公式的应用·T11 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18
正、余弦定理的应用·T11 正弦定理的应用·T15
2018 三角函数的定义及恒等变换·T11 二倍角公式及余弦定理·T7 二倍角公式·T4
正、余弦定理及三角形面积公式·T16 诱导公式及三角恒等变换·T15 三角形的面积公式及余弦定理·T11
2017 三角恒等变换、正弦定理解三角形·T11 利用正、余弦定理解三角形·T16 三角恒等变换求值问题·T4
三角恒等变换求值问题·T15 利用正弦定理解三角形·T15
(1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.
(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.
(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).
三角恒等变换
[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )
A.－ B.
C.－ D.
(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)法一：由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，则tan2θ＝＝＝，故选B.
法二：由sinθ＝cos(2π－θ)，得sinθ＝cosθ，所以tan2θ＝＝＝＝，故选B.
(2)∵0<α<，0<β<，
∴－<α－β<.
∵sin(α－β)＝－，sinα＝，
∴cos(α－β)＝，cosα＝，
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
∴β＝.
[答案] (1)B (2)C
[解题方略] 三角函数求值的类型及方法
给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形
给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用.同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的
给值求角 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围
[跟踪训练]
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝( )
A.－2－ B.－2＋
C.2－ D.2＋
解析：选D tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.
2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为( )
A.－7 B.－
C.7 D.－7或－
解析：选A 由复数z为纯虚数，得
即又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝－，
所以tanθ＝－，于是tan＝＝＝－7.
3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin2θ＝－，则tan＝________.
解析：由2sin2θ＋sin2θ＝－，得1－cos2θ＋sin2θ＝－，得cos2θ－sin2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.
答案：
利用正、余弦定理解三角形
?题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算
[例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝tanA＋tan B.
(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c.
[解] (1)∵在△ABC中，＝tanA＋tanB，
∴＝＋，
即＝，
∴＝，则tanA＝，
又0
(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，
得cos∠BDC＝＝－，
又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝.
又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5.
[变式1] 若本例(2)变为：a＝，求b＋c的取值范围.
解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
可得b2＋c2－3＝bc，
即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号，
∴b＋c≤2，
又由两边之和大于第三边可得b＋c>，
∴b＋c∈(，2].
[变式2] 若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝，求AD的取值范围.
解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsinA，
∴AD＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝≥，
∴0∴0
[解题方略] 正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.
[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.
?题型二 利用正、余弦定理进行面积计算
[例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
[解] (1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.
因为sinA≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以因此，△ABC面积的取值范围是.
[解题方略] 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
三角形面积公式还可用其它几何量表示S＝(a＋b＋c)r，其中a＋b＋c为三角形的周长，r为三角形内切圆的半径.
?题型三 正、余弦定理的实际应用
[例4] 甲船从位于海岛B正南10海里的A处，以4海里/时的速度向海岛B行驶，同时乙船从海岛B以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时.
[解析] 如图，设经过x小时后，甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，则AD＝4x，BC＝6x，则BD＝10－4x，由余弦定理得，CD2＝(10－4x)2＋(6x)2－2×(10－4x)×6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28＋.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B，因而若x<2.5，则当x＝时距离最小，且最小距离为＝，若x≥2.5，则BC≥6×2.5＝15>，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为小时.
[答案]
[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤
[跟踪训练]
1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析：选A ∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.
2.(2019·河南期末改编)在△ABC中，B＝，AC＝，且cos2C－cos2A－sin2B＝－sinBsinC，则C＝________，BC＝________.
解析：由cos2C－cos2A－sin2B＝－sinBsinC，可得1－sin2C－(1－sin2A)－sin2B＝－sinBsinC，即sin2A－sin2C－sin2B＝－sinBsinC.结合正弦定理得BC2－AB2－AC2＝－·AC·AB，所以cosA＝，A＝，则C＝π－A－B＝.由＝，解得BC＝.
答案：
3.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB).
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
解：(1)由a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，
即a2＋b2－c2＝ab.
所以cosC＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absinC＝ab＝，
所以ab＝6，
所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
解三角形与三角函数的交汇问题
[例5] 如图，在△ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，且AC＝10，BC＝15.
(1)求△ABC的面积；
(2)已知平面直角坐标系xOy中点D(10，0)，若函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)的图象经过A，C，D三点，且A，D为f(x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f(x)的解析式.
[解] (1)在△ABC中，由角B，A，C成等差数列，得B＋C＝2A，
又A＋B＋C＝π，所以A＝.
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos，
所以c2－10c－125＝0，解得c＝AB＝5＋5.
因为CO＝10×sin＝5，
所以S△ABC＝×(5＋5)×5＝(3＋).
(2)因为AO＝10×cos＝5，
所以函数f(x)的最小正周期T＝2×(10＋5)＝30，
故ω＝.
因为f(－5)＝Msin＝0，
所以sin＝0，所以－＋φ＝kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝.
因为f(0)＝Msin＝5，所以M＝10，
所以f(x)＝10sin.
[解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤
[跟踪训练]
(2019·湖南省五市十校联考)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，cosx)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值.
解：(1)由题意知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＋＝sin＋1.
令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(A)＝sin＋1＝2，
∴sin＝1.
∵0＜A＜π，∴＜2A＋＜，
∴2A＋＝，即A＝.
由△ABC的面积S＝bcsinA＝，得bc＝2，
又b＋c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)＝(2)2－4＝4－2＝(－1)2，
解得a＝－1.
数学建模——解三角形的实际应用
[典例] 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚s，在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.
(1)求A，C两地间的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340m/s)
[解] (1)设BC＝xm，由条件可知AC＝x＋×340＝(x＋40)m.
在△ABC中，由余弦定理，可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，
即x2＝1002＋(x＋40)2－2×100×(x＋40)×，
解得x＝380.
所以AC＝380＋40＝420(m)，
故A，C两地间的距离为420m.
(2)在Rt△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，
所以HC＝ACtan30°＝420×＝140，
故这种仪器的垂直弹射高度为140m.
[素养通路]
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.
本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC中，通过解三角形求AC的长，把求高度HC建立数学模型，在Rt△ACH中，通过解三角形求HC的长.考查了数学建模这一核心素养.
[专题过关检测]
A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1.(2019·开封市定位考试)已知cos＝－，则cos2α的值为( )
A.－ B.
C.－ D.
解析：选B 因为cos＝－，所以sinα＝，所以cos2α＝1－2×＝，故选B.
2.(2019·长春市质量监测一)函数f(x)＝sin＋sinx的最大值为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析：选A 法一：由已知得f(x)＝sinx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，所以函数的最大值为，故选A.
法二：由已知得f(x)＝sinx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx，故函数的最大值为＝，故选A.
3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝acosC＋c，则角A等于( )
A.60° B.120°
C.45° D.135°
解析：选A 由b＝acosC＋c及余弦定理，可得b＝a·＋c，即2b2＝b2＋a2－c2＋bc，整理得b2＋c2－a2＝bc，于是cosA＝＝，又0＜A＜π，所以A＝60°，故选A.
4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由b＝a，得sinB＝sinA·.因为sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinAsinC(sinC≠0)，cosA＝sinA，所以tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sinC＝.因为0＜C＜，所以C＝.故选D.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
解析：选A 根据正弦定理得＝即sinC∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)整理得sin Acos B<0.
又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴△ABC为钝角三角形.
6.(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝( )
A.60 B.80
C.100 D.125
解析：选C 如图，台风中心为B，2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝cosβ，∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴(2.5v)2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.
二、填空题
7.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
又∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsinB＝×4×2×＝6.
答案：6
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sinAsinB，且b＝6，则c＝________.
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sinAsinB，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去).
答案：4
9.(2019·洛阳市统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且tanB＝，则＋的值是________.
解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴＋＝＋＝＝＝＝，∵tanB＝，∴sinB＝，∴＋＝.
答案：
三、解答题
10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
11.(2019·重庆市学业质量调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accosB，且sinA＝3sinC.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长.
解：(1)∵S△ABC＝acsinB＝accosB，
∴tanB＝.
又0＜B＜π，∴B＝60°.
(2)sinA＝3sinC，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.
由余弦定理得b2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28，
∴b＝2.
∴cosA＝＝＝－.
∵D是AC的中点，∴AD＝.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋()2－2×2××＝13.
∴BD＝.
12.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sinC.
解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cosA＝＝.
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，
即＋cosC＋sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
因为0°故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
B组——大题专攻强化练
1.(2019·江西七校第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝bc.
(1)求角A的大小；
(2)若f(x)＝sin(2x＋A)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及单调递减区间.
解：(1)∵a2－(b－c)2＝bc，∴a2－b2－c2＝－bc，
∴cosA＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.
(2)f(x)＝sin，∴g(x)＝sin＋2，
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
2.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC＋csinAcosA－bcosA＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为4，且b，a，c成等差数列，求△ABC的内切圆的半径.
解：(1)由asinAcosC＋csinAcosA－bcosA＝0，可知sinA(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinBcosA，∴sinAsin(A＋C)＝sinBcosA，∵sin(A＋C)＝sinB，∴sinAsinB＝sinBcosA，∵sinB≠0，∴sinA＝cosA，∴tanA＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由题意可知S△ABC＝bcsinA＝bc×＝4，∴bc＝16，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝(b＋c)2－3bc，又∵b，a，c成等差数列，∴a2＝4a2－48，∴a＝4，b＋c＝2a＝8，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝12，设△ABC内切圆的半径为r，则r·(a＋b＋c)＝S△ABC，即r×12＝4，∴r＝.
3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC.
(1)求B的大小；
(2)求sinA＋cosC的取值范围.
解：(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－sinAsinC，
故b2＝a2＋c2－ac，
cosB＝＝，又B∈，
所以B＝.
(2)由(1)知，C＝－A，
故sinA＋cosC＝sinA＋cos＝sinA－cosA＝sin.
又A∈，C＝－A∈，
所以A∈，
A－∈，sin∈，
故sinA＋cosC的取值范围为.
4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.
(1)求CD；(2)求∠ABC.
解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，
∵BC＝2，BD＝3＋，
∴sin∠CBD＝.
∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，
∴CD＝3.
(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin∠BDC＝.
∵BC＜BD，∴∠BDC为锐角，∴cos∠BDC＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝，
∴＝
即＝.①
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝.②
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.
由①②得＝，解得sin∠ABC＝.
∴∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.
[技法指导——迁移搭桥] 1.常用的变角技巧 (1)已知角与特殊角的变换； (2)已知角与目标角的变换； (3)角与其倍角的变换； (4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－. 2.常用的变式技巧 主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有： (1)讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论； (2)涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理； (3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.
[典例] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值.
[快审题]
求什么 想什么 求角B的大小，想到角B的三角函数值. 求三角函数值，想到由已知三角函数值求值.
给什么 用什么 已知边角关系式，用正弦定理统一角. 已知边的大小，用余弦定理求边.
差什么 找什么 求sin(2A－B)的值，缺少2A的三角函数值， 应找A的三角函数值.
[稳解题]
(1)在△ABC中，
由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B.
又因为bsin A＝acos，
所以asin B＝acos，
即sinB＝cos B＋sin B，
所以tan B＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因为a＜c，所以cos A＝.
所以sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
[题后悟道]
1.利用正、余弦定理求解问题的策略
2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”
升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”.
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(共44张PPT)
年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
2019 诱导公式及两角和的正切公式·T7 二倍角公式的应用·T11 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18
正、余弦定理的应用·T11 正弦定理的应用·T15
2018 三角函数的定义及恒等变换·T11 二倍角公式及余弦定理·T7 二倍角公式·T4
正、余弦定理及三角形面积公式·T16 诱导公式及三角恒等变换·T15 三角形的面积公式及余弦定理·T11
2017 三角恒等变换、正弦定理解三角形·T11 利用正、余弦定理解三角形·T16 三角恒等变换求值问题·T4
三角恒等变换求值问题·T15 利用正弦定理解三角形·T15
给角求值 解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形
给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的
给值求角 实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围
“专题过关检测”见“专题检测(七)”
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求什么
想什么 求角B的大小，想到角B的三角函数值．
求三角函数值，想到由已知三角函数值求值．
给什么
用什么 已知边角关系式，用正弦定理统一角．
已知边的大小，用余弦定理求边.
差什么
找什么 求sin(2A－B)的值，缺少2A的三角函数值，
应找A的三角函数值.
