学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：九年级（下） 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：
授课主题 第12讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质 （二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有： = ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个。 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方. （八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高：根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高 （九）图形的位似 1、位似图形的定义：位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 *位似图形对应线段的比等于相似比； *位似图形的对应角都相等； *位似图形对应点连线的交点是位似中心； *位似图形面积的比等于相似比的平方； *位似图形高、周长的比都等于相似比； *位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 考点一：成比例线段与平行线分线段成比例 例1、已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=． 考点二：三角形相似的条件 例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 考点三： 利用三角形相似测高 例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 考点四：相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（ ） A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击 1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 4、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 5、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上， ∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 6、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 7、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2， 求BC的长． 8、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当，求的值； （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 课后反击 1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ） A．= B．= C．+=1 D．= 3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ） A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示， 若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（ ） A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当BC=2，cos∠ABC=时，求⊙O的半径． 8、在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 1、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定 2、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3、如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积． 4、如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）． （1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？ （2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值． （3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
*成比例线段 * 平行线分线段成比例 *三角形相似的条件 * 利用三角形相似测高 *相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提；对于中考当中的综合题，三角形相似是求解未知线段长度的一种重要方法。 本节课我学到 我需要努力的地方是
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学员编号： 年 级：九年级（下） 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师：
授课主题 第12讲-----图形的相似
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练利用成比例线段计算线段的长度； 掌握平行线分线段成比例的常见模型，并准确计算线段长度； 掌握判定三角形相似的三个条件，熟练进行相关证明； 熟练运用三角形相似解决测高等实际问题； 理解三角形相似的性质及图形的位似，并能进行简单计算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理 知识概念 （一）比例的性质 1.比例中项； 2.合分比性质； 3.等比性质 （二）平行线分线段成比例定理 1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。 2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有： = ，，等等。 3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。 4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示： （三）平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错 2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有 （四）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． （五）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC （2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC 3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC， 右图为常见的基本图形． 4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD． 5、斜交型： 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） （六）黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC＝AB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个。 （七）相似三角形的性质 1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 3、相似三角形周长的比等于相似比. 4、相似三角形面积的比等于相似比的平方. （八）利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高：根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形. 在同一时刻， 2、利用标杆测量物高 3、利用镜子原理测量物高 （九）图形的位似 1、位似图形的定义：位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2、图形位似的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 *位似图形对应线段的比等于相似比； *位似图形的对应角都相等； *位似图形对应点连线的交点是位似中心； *位似图形面积的比等于相似比的平方； *位似图形高、周长的比都等于相似比； *位似图形对应边互相平行或在同一直线上。 考点一：成比例线段与平行线分线段成比例 例1、已知， （1）求的值； （2）如果，求x的值． 【解析】（1）∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴原式的值是﹣1； （2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，解得k=﹣1或k=3（舍去），∴x=﹣2． 例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=． 【解析】∵AC∥BD，EF∥BD，∴，， ∴==1，∴+=． 考点二：三角形相似的条件 例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF， Rt△EBF∽Rt△DEF． 故选C． 例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由． 【解析】设AP=2tcm，DQ=tcm，∵AB=12cm，AD=6cm，∴AQ=（6﹣t）cm， ∵∠A=∠A， ∴①当 =时，△APQ∽△ABD，∴=，解得：t=3； ②当 =时，△APQ∽△ADB，∴=，解得：t=1.2． ∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似 考点三： 利用三角形相似测高 例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x， 根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56， 再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得 ，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C． 例2、如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴=，=， ∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=， ∴=，解得BD=52， ∴=，解得AB=54．答：建筑物的高为54米． 考点四：相似三角形的性质与位似 例1、一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长． 【解析】如图所示∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC， ∴，由于矩形长与宽的比为3：2，∴分两种情况： ①若PQ为长，PN为宽，设PQ=3k，PN=2k，则，解得：k=2， ∴PQ=6cm，PN=4cm； ②PN为6，PQ为宽，设PN=3k，PQ=2k，则，解得：k=， ∴PN=cm，PQ=cm； 综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为cm，宽为cm． 例2、△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（ ） A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6） 【解析】△A1B1C1是由△ABC通过平移得到的， 其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位， 所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）． △A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的， 所以在△A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2． ∴点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）．故选C．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击 1、已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【解析】D． 2、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x， 当△PDA∽△CPB时，=，即=，解得：x=1或x=6， 当△PDA∽△PCB时，=，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C． 3、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25 【解析】B． 4、已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（ ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【解析】正方形中平行于底边的边是4， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则 =，解得x=5，所以另一段长为25﹣5=20， 因为20÷4=5，所以是第5张．故选：B． 5、如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上， ∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CFB=90°，∴∠ACE=∠CBF， 在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF， ∴CE=BF=3，CF=AE=4， ∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7 ∴AB==5， ∵l2∥l3，∴=∴DG=CE=， ∴BD=BG﹣DG=7﹣=，∴=．故选A． 6、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． 【解析】（1）∠B=∠C=45°．∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE． （2）讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意． ②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE， 于是AB=AC=2，BC=2， AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2 ③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°， 如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的 三线合一可知：AE=CE=AC=1． 7、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2， 求BC的长． 【解析】（1）证明：连接OB， ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°， ∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA， ∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB=2，AC=4， ∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP， 又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴， 即，∴BC=2． 8、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x． （1）当x为何值时，PQ∥BC； （2）当，求的值； （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【解析】（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x；∴=；∴x= （2）∵S△BCQ：S△ABC=1：3；∴CQ：AC=1：3，CQ=10cm；∴时间用了秒，AP=cm， ∵由（1）知，此时PQ平行于BC；∴△APQ∽△ABC，相似比为， ∴S△APQ：S△ABC=4：9；∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S四边形PQCB=S△ABC， 又∵S△BCQ：S△ABC=1：3，即S△BCQ=S△ABC，∴S△BPQ=S四边形PQCB﹣S△BCQ═S△ABC﹣S△ABC=S△ABC， ∴S△BPQ：S△ABC=2：9= （3）假设两三角形可以相似情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ， 即有=解得x=，经检验，x=是原分式方程的解．此时AP=cm， 情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，即有=解得x=5， 经检验，x=5是原分式方程的解．此时AP=20cm．综上所述，AP=cm或AP=20cm． 课后反击 1、如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 【解析】∵相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2， ∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴=， ∴=，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选：A． 2、如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（ ） A．= B．= C．+=1 D．= 【解析】D． 3、为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是（ ） A．3cm B．2.5cm C．2.3cm D．2.1cm 【解析】D． 4、如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ） A．= B．= C．= D．= 【解析】C． 5、2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（ ） A．4cm3 B．5cm3 C．10cm3 D．25cm3 【解析】∵Rt△ABC中，∠C=30°，AB=10cm，∴BC==10cm． ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠C=30°，设EF=x，则AF=x，∴BF=10﹣x， ∴S矩形BDEF=BD?BF=x?（10﹣x）=﹣x2+10x（0＜x＜10）， ∴当x=﹣=5时，S最大==25cm2． 故选D． 6、兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A．9.5米 B．10.75米 C．11.8米 D．9.8米 【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图： 延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF， ∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.5 ∴GF=0.5AG又∵GF=GE+EF，BD=GE ∴GF=4.6 ∴AG=9.2 ∴AB=AG+GB=9.5，即树高为9.5米．故选A． 7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F，EB为⊙O的直径．（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）当BC=2，cos∠ABC=时，求⊙O的半径． 【解析】（1）证明：如图，连结OD．∴OD=OB．∴∠1=∠2． ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3． ∴OD∥BC．∴∠ADO=∠C=90°．∴OD⊥AC． ∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． （2）解：在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC=，∴． 设⊙O的半径为r，则AO=6﹣r．∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC．∴．∴．解得 ．∴⊙O的半径为． 8、在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形， ∴OH=CB=3，∴AH=OA﹣OH=6﹣3=3，在Rt△ABH中，BH===6， ∴点B的坐标为（3，6）； （2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH，∴△OEG∽△OBH，∴，又∵OE=2EB，∴， ∴=，∴OG=2，EG=4，∴点E的坐标为（2，4），又∵点D的坐标为（0，5）， 设直线DE的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=5，∴直线DE的解析式为：y=﹣x+5； （3）答：存在；①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴， ∴△MPD∽△FOD∴，又∵当y=0时， ﹣x+5=0，解得x=10，∴F点的坐标为（10，0）， ∴OF=10，在Rt△ODF中，FD==5， ∴，∴MP=2，PD=， ∴点M坐标为（﹣2，5+），∴点N坐标为（﹣2，）； ②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形． 延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．∵点M在直线y=﹣x+5上， ∴设M点坐标为（a，﹣a+5），在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2， ∴a2+（﹣a+5）2=52，解得：a1=4，a2=0（舍去）， ∴点M的坐标为（4，3），∴点N的坐标为（4，8）； ③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分， ∴yM=yN=OP=，∴﹣xM+5=，∴xM=5，∴xN=﹣xM=﹣5，∴点N的坐标为（﹣5，），综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（﹣2，），N2（4，8），N3（﹣5，）．（其它解法可参照给分） 1、如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（ ） A．：1 B．：1 C．5：3 D．不确定 【解析】连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为 BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°， ∴OD：OE=OA：OB=：1，∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB，∴△DOA∽△EOB， ∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A． 2、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC， 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】D． 3、如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积． 【解析】（1）证明：连接BO （2）∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，∴△ACF∽△BEF ∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°， 在Rt△BFA中，cos∠BFA=， ∴又∵S△BEF=8 ∴S△ACF=18． 4、如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）． （1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？ （2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值． （3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）． 【解析】S△AOB==m2+10m=﹣（m﹣10）2+50；∵a=﹣＜0， ∴抛物线的开口向下，∴m=10时，S最大=50； （2）∵m=10，m+n=20，∴n=10，∴A（10，0），B（0，10）， 设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，y=﹣x+10． ，∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a， ∴S△OBD=S△OAC=a，∴S△AOB=10a，∴10a=50，∴a=5， ∴S△OAC=5，∴OA?y=5， ∴y=1．1=﹣x+10，x=9∴C（9，1），∴1=，∴k=9； （3）移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0）， O′A=10﹣t，O′E=10．∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△O′CD， ∴，∴ S=40?，∴（0＜t＜10）．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
成比例线段 平行线分线段成比例 三角形相似的条件 利用三角形相似测高 5、相似三角形的性质与位似 熟练掌握平行线分线段成比例、三角形相似的常见模型，掌握对应的性质，并多加练习和总结，是解决本章内容的关键；对于动点类的题，以不变的数量关系，列方程解决，克服畏难心理是前提；对于中考当中的综合题，三角形相似是求解未知线段长度的一种重要方法。 本节课我学到 我需要努力的地方是
