(共36张PPT)
2.1 数列的概念与简单表示法
目标定位 重点难点
1.通过实例，了解数列的概念．
2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．
3．了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项. 重点：数列的表示方法．
难点：递推公式的含义.
1．数列的概念
(1)定义：按照一定______排列着的一列数称为数列．
(2)项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为______)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______．
顺序
每一个数
首项
{an}
2．数列的分类
有限
无限
2
大于
2
小于
各项相等
2
大于
小于
分类标准 名 称 含 义
按项的个数 有穷数列 项数________的数列
无穷数列 项数________的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第____项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第____项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 ________的数列
摆动数列 从第____项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项的数列
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用__________来表示，那么就把这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推关系式
如果已知数列{an}的________(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
序号n
一个式子
第一项
前一项an－1
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③ D．③
【答案】D
2．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
【答案】A
3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )
A．18 B．21
C．25 D．30
【答案】D
探求数列的通项公式
【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据．
【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
(1)负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错；
(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；
(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；
(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
【解析】(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
数列通项公式的应用
【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：
(1)由通项公式写出数列的前几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；
(2)判断一个数是否为该数列中的项．可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项．
【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系．
数列的递推公式
【规律总结】由递推关系式an＝f(n)an－1求数列的通项公式时一般采用累乘法．除此外，还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列．周期数列问题是数列中的一种重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推关系中，解决的关键在于利用递推公式算出若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．
【示例】已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，求该数列中数值最大的项．
忽视了数列中自变量n只能是正整数而致错
【警示】应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．
1．判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．
2．通项公式
如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道．
注意：一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式．
3．递推公式
递推公式是表示数列的一种重要方法，是指已知数列{an}的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项．
注意：并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个．
1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式an为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
【答案】B
【解析】当n＝1时，a1＝1，排除C，D；当n＝2时，a2＝－3，排除A．故选B．
【答案】－1
2.1 数列的概念与简单表示法
【基础练习】
1．下列说法中，正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项是1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可表示为an＝2n(n∈N*)
【答案】C
【解析】A错，{1,3,5,7}是集合；B错，是两个不同的数列，顺序不同；C正确，ak＝＝1＋；D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．
2．已知n∈N＋，给出4个表达式：①an＝
②an＝；③an＝；④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】检验知①②③都是所给数列的通项公式．
3．如下图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
【答案】A
【解析】这四个图形中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式为an＝3n－1.
4．数列{an}中，a1＝，a2＝，an＋an＋2＋an·an＋2＝1(n∈N*)，则a5＋a6等于( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】把n＝1代入an＋an＋2＋an·an＋2＝1可得a1＋a3＋a1·a3＝1，即＋a3＋a3＝1，解得a3＝；同理把n＝2代入可得＋a4＋a4＝1，解得a4＝；同理把n＝3代入可得＋a5＋a5＝1，解得a5＝；同理把n＝4代入可得＋a6＋a6＝1，解得a6＝，故a5＋a6＝＋＝.故选A．
5．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
【答案】A
【解析】∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)＞f(1)，f(3)＞f(2)，f(4)＞f(3)，…，f(n＋1)＞f(n)，…，∴f(n)是递增数列．
6．已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(anan－1)n(n≥2)，则该数列的通项公式an＝________.
【答案】
【解析】∵数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(anan－1)n，∴－＝n.∴＝＋＋…＋＋＝n＋(n－1)＋…＋2＋2＝＋1＝.∴an＝.
7．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，，，；
(2)1＋，1－，1＋，1－；
(3)7,77,777,7 777；
(4)0，，0，.
【解析】(1)∵，，，，
观察每一项的分子是连续的奇数，分母是2n，
∴an＝，n∈N*.
(2)∵1＋，1－，1＋，1－，
观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，
分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，
∴an＝1＋(－1)n＋1·，n∈N*.
(3)∵7,77,777,7 777，
∴该数列可化为×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)．
∴an＝(10n－1)，n∈N*.
(4)∵0，，0，，
∴该数列可化为(1－1)·，(1＋1)·，(1－1)·，(1＋1)·.
∴an＝[1＋(－1)n]·，n∈N*.
8．已知数列{an}满足a1＝4，an＋1－an＝3，试写出这个数列的前6项并猜想该数列的一个通项公式．
【解析】由已知，得a1＝4，an＋1＝an＋3，
∴a2＝a1＋3＝4＋3＝7，
a3＝a2＋3＝7＋3＝10，
a4＝a3＋3＝10＋3＝13，
a5＝a4＋3＝13＋3＝16，
a6＝a5＋3＝16＋3＝19.
由以上各项猜测数列的通项公式是an＝3n＋1.
【能力提升】
9．数列{an}：1，－，，－，…的一个通项公式是( )
A．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) B．an＝(－1)n－1(n∈N＋)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N＋) D．an＝(－1)n－1(n∈N＋)
【答案】D
【解析】观察数列各项，可写成，－，，－.故选D．
10．(2019年河南驻马店期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】C
【解析】∵Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10.a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)．∴5<2k－10<8，得7.511．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A． B．
C．0 D．5
【答案】C
【解析】由题意得，an＝－3n2＋15n－18，则对称轴方程n＝－＝，又n取整数，所以当n＝2或3时，an取最大值为a3＝a2＝－3×22＋15×2－18＝0.故选C．
12．(2019年江苏常州模拟)在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
【答案】28
【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
13．已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
【解析】(1)对任意n∈N*，∵an＋1－an＝－＝
＜0，
∴数列{an}为递减数列．
(2)令an＜0，即＜0，
∴n2＋5n＋4＜0，解得－4＜n＜－1，
而n∈N*，故数列{an}没有负数项．
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