第七章 机械能守恒定律计算题专题训练

第七章 机械能守恒定律
计算题专题训练
1.某课外探究小组的同学们用学校实验室内的细特质材料自制了如图所示的导轨，其中，导轨的所有半圆形部分均光滑，水平部分均粗糙．圆半径分别为R、2R、3R和4R，R＝0.5 m，水平部分长度L＝2 m，将导轨竖直放置，轨道最低点离水平地面高h＝1 m．将一个质量为m＝0.5 kg、中心有孔的钢球(孔径略大于细导轨直径)，套在导轨端点P处，钢球与导轨水平部分的动摩擦因数均为μ＝0.4.给钢球一初速度v0＝13 m/s.取g＝10 m/s2.求：

(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力；
(2)钢球落地点到抛出点的水平距离．








2.人骑自行车上坡，坡长l＝200 m、坡高h＝10 m，人和车的总质量为100 kg，人蹬车的牵引力为F＝100 N，若在坡底时车的速度为10 m/s，到坡顶时车的速度为4 m/s，(g取10 m/s2)求：
(1)上坡过程中人克服摩擦力做多少功；
(2)人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，最远能在坡上行驶多远．(设自行力所受阻力恒定)


3.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计．












4.如图所示，一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，试求两小球总的最小重力势能和最大动能．











5.如图所示，皮带传动装置与水平面的夹角为30°，两轮轴心相距L＝3.8 m，A、B分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑，质量为0.1 kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝.当传送带沿逆时针方向以v1＝3 m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它会运动至B点．(g取10 m/s2)

(1)求物体刚放在A点的加速度？
(2)物体从A到B约需多长时间？
(3)整个过程中摩擦产生的热量？
(4)小物块相对于传送带运动时，会在传送带上留下痕迹．求小物块在传送带上留下的痕迹长度？(不要过程，只说结果)







6.如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角为θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB＝4 m．当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD＝3 m．挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
7.如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取10 m/s2，求：

(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？
(3)以上计算结果说明了什么？









8.如图所示，质量相等的A、B两物体之间连接一轻弹簧，竖直放在水平地面上，今用力F缓慢向上拉A，直到B刚要离开地面．设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时弹簧的弹性势能为Ep2，则Ep1________Ep2.(填“＞”“＜”或“＝”)




9.如图所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2 m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝10 kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2 m的高处．已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝，g取10 m/s2.

(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？
(2)工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？







10.滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来．如图是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m．某运动员从轨道上的A点以3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回．已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2.求：

(1)运动员从A运动到达B点时的速度大小vB；
(2)轨道CD段的动摩擦因数μ；
(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？
答案解析
1.【答案】(1)178 N，方向竖直向下　(2)7 m
【解析】(1)钢球从P运动到A点的过程，由动能定理得
mg·2R－μmg·L＝mv－mv
由牛顿第二定律有FN－mg＝m
由牛顿第三定律有FN＝－FN′，解得FN′＝－178 N．故对轨道的压力大小为178 N，方向竖直向下．
(2)设钢球到达轨道末端时速度为v2，对全程由动能定理得－μmg·5L－4mgR＝mv－mv
解得v2＝7 m/s
由平抛运动规律得
h＋8R＝gt2
s＝v2t
解得s＝7 m
2.【答案】(1)1.42×104J　(2)41.3 m
【解析】(1)由动能定理得
Fl－mgh－Wf＝mv－mv
解得Wf＝1.42×104J.
(2)由Wf＝Ffl知，Ff＝＝71 N①
设当自行车减速为0时，其在坡上行驶的最大距离为s，则有
－Ffs－mgsinθ·s＝0－mv②
其中sinθ＝＝③
联立①②③解得s≈41.3 m.
3.【答案】Fh(－)
【解析】设绳的拉力FT对物体做的功为WT，
由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为Δl＝l1－l2＝h(－)
由W＝Fl可知WT＝WF＝FΔl＝Fh(－)
4.【答案】－2(－1)mgl　2(－1)mgl
【解析】系统重力势能的减少量为
ΔEp＝mg×2l×sinθ－2mgl(1－cosθ)＝2mgl(sinθ＋cosθ－1)＝2mgl×(cos (θ－45°)－1)

当θ＝45°时，重力势能的减少量最大，根据机械能守恒定律ΔEk＝ΔEp可知，系统的动能最大：Ek max＝2(－1)mgl.
若取OA边水平位置为零势面，则最小的重力势能为：Epmin＝－2(－1)mgl.
5.【答案】(1)7.5 m/s2　(2)1.2 s　(3)0.35 J　(4)0.8 m
【解析】(1)开始时小物块速度小于3 m/s，小物块受到竖直向下的重力、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a1，根据牛顿第二定律
mgsin 30°＋μmgcos 30°＝ma1
解得a1＝7.5 m/s2
(2)当小物块速度等于3 m/s时，设小物块对地位移为L1，用时为t1，根据匀加速直线运动规律
t1＝
L1＝
解得t1＝0.4 s，L1＝0.6 m
由于L1mgsin 30°－μmgcos 30°＝ma2
解得a2＝2.5 m/s2
L－L1＝v1t2＋a2t
解得t2＝0.8 s
故小物块由静止出发从A到B所用时间为t＝t1＋t2＝1.2 s
(3)由(2)可知，物块分二段运动：
第一段物块加速时间t1＝0.4 s，L1＝0.6 m
传送带s1＝v1t1＝1.2 m
Δs1＝0.6 m
当物块与传送带速度相等后，物块运动时间t2＝0.8 s，L2＝L－L1＝3.2 m
传送带s2＝v1t2＝2.4 m
Δs2＝0.8 m
所以Q＝Ff(Δs1＋Δs2)＝0.35 J.
(4)0.8 m.
6.【答案】(1)0.52　(2)24.5 J
【解析】(1)物体从开始位置A点运动到最后D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为
ΔE＝ΔEk＋ΔEp＝mv＋mglADsin 37°①
物体克服摩擦力产生的热量为Q＝Ffx②
其中x为物体的路程，即x＝5.4 m③
Ff＝μmgcos 37°④
由能量守恒定律可得ΔE＝Q⑤
由①②③④⑤式解得μ＝0.52.
(2)物体由A到C的过程中，
动能减少ΔEk′＝mv⑥
重力势能减少ΔEp′＝mglACsin 37° ⑦
摩擦生热Q′＝FflAC＝μmgcos 37°lAC⑧
由能量守恒定律得弹簧的最大弹性势能为
Epm＝ΔEk′＋Ep′－Q′⑨
联立⑥⑦⑧⑨解得Epm＝24.5 J
7.【答案】(1)8 J　24 J　 (2)24 J　24 J　(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关
【解析】(1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能为：
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J.
物体落至地面时，物体重力势能
Ep2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J.
因此物体在此过程中重力势能减小量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J.
(2)以地面为零势能参考平面，物体的高度h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m．因而物体具有的重力势能Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J.
物体落至地面时重力势能Ep2′＝0.
在此过程中物体重力势能减小量ΔE′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J.
(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关．
8.【答案】＝
【解析】对于同一弹簧，其弹性势能的大小取决于它的形变量．开始时，弹簧处于压缩状态，与原长相比，它的压缩量为Δl1＝.当B刚要离开地面时，弹簧处于拉伸状态，与原长相比，它的伸长量为Δl2＝.因为mA＝mB，所以Δl1＝Δl2.故Ep1＝Ep2.
9.【答案】(1)工件以2.5 m/s2的加速度先匀加速，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动　(2)220 J
【解析】(1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力：
F＝μmgcosθ，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律：
F－mgsinθ＝ma可得：
a＝－gsinθ
＝g(μcosθ－sinθ)＝10×m/s2
＝2.5 m/s2.
设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x＝＝＝0.8 m<＝4 m
故工件先以2.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m与传送带达到共同速度2 m/s后做匀速直线运动．
(2)在工件从传送带底端运动至h＝2 m高处的过程中，设摩擦力对工件做功WF，由动能定理得WF－mgh＝mv，
可得：WF＝mgh＋mv＝10×10×2 J＋×10×22J＝220 J.
10.【答案】(1)6 m/s　(2)0.125　(3)最后停在D点左侧6.4 m处，或C点右侧1.6 m处
【解析】(1)由题意可知：vB＝①
解得：vB＝2v0＝6 m/s
(2)由B点到E点，由动能定理可得：
mgh－μmgsCD－mgH＝0－mv②
由①②带入数据可得：μ＝0.125
(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h′，从B到第一次返回左侧最高处，根据动能定理mgh－mgh′－μmg·2sCD＝0－mv
解得h′＝1.8 m所以第一次返回时，运动员不能回到B点．
设运动员从B点运动到停止，在CD段的总路程为s，由动能定理可得：mgh－μmgs＝0－mv④
解得：s＝30.4 m
因为s＝3sCD＋6.4 m，所以运动员最后停在D点左侧6.4 m处，或C点右侧1.6 m处．