(共34张PPT)
1 锐角三角函数
第2课时
【知识再现】
∠A的正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的_______
_________之比，记作__________.?
对边
与邻边
tan A
【新知预习】
阅读教材P5上部分，解决下列问题
如图，请思考：
你的发现是：当直角三角形的一个锐角的大小确定
时，它的对边与邻边的比值_________.?
你的猜想：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它
的对边与斜边的比值_________，邻边与斜边的比值也
_______.?
不变
不变
不变
1.正弦、余弦的概念
(1)正弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的
_________与_________的比也随之确定，这个比叫做
∠A的正弦，记作sin A；即sin A=_________.?
对边
斜边
(2)余弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的
_________与_________的比也随之确定，这个比叫做
∠A的余弦，记作cos A，即cos A= _________.?
邻边
斜边
2.锐角三角函数的定义
锐角A的_________、_________和_________都是∠A的
三角函数.?
正弦
余弦
正切
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大
100倍，sin A的值 ( )
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
C
2.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点
C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错
误的是 ( )
C
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=5，则sin B
=________.?
知识点一 求一个角的正弦或余弦(P6“做一做”拓展)
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果AD=9，DC=5，E为AC的中点，求sin∠EDC和cos∠EDC的值.
【规范解答】∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°， …………垂直的定义
∵AD=9，DC=5，
……………………勾股定理
∵E为AC的中点，
∴DE=AE=EC= AC …………斜边中线定理
∴∠EDC=∠C，∴sin∠EDC=sin C=
……………………正弦的定义
cos∠EDC=cos C=
……………………余弦的定义
【学霸提醒】
利用定义求锐角三角函数值的“三点注意”
1.必须在直角三角形中求解.
2.并不是只有直角三角形中的角才有三角函数值，任何一个锐角都有其对应的三角函数值，若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先构造直角三角形，再求出相应角的三角函数值.
3.锐角三角函数值是两条边的比，没有单位.
【题组训练】
1.(2019·成都简阳模拟)在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=4，AC=1，则cos A的值为 ( )
A
★2.(2019·罗平模拟)在Rt△ABC中，∠C=90°，
cos A= BC=6 cm，则AC的长度为 ( )
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
B
★3.在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐
角A的正弦值 ( )
A.扩大2倍 B.缩小
C.不变 D.无法确定
C
★4.(2019·宜昌中考)如图，在5×4的正方形网格
中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这
些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为 ( )
D
知识点二 三角函数的简单应用(P5例2的补充)
【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=
AB=10，求AC的长.
【规范解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=
∴sin A= …………正弦的定义
∵AB=10，∴BC=6， …………比例的求解
∴AC= =8. …………勾股定理
【学霸提醒】
锐角三角函数的“两个应用”
(1)已知一个锐角的三角函数值，求直角三角形的边长或两条边的比.
(2)已知一个锐角的某一个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值.
【题组训练】
1.(2019·锦江模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=5，若cos A= 则BC的长为 ( )
A.8 B.12
C.13 D.18
B
★2.(2019·嘉定模拟)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC=5，那么AB的长为( )
A.5sin A B.5cos A
C. D.
C
★3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A
的值是 ( )
D
★★4.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，
sin B= AD=1.求BC的长.
解：在Rt△ABD中，∵sin B=
又∵AD=1，∴AB=3，
∵BD2=AB2-AD2，∴BD=
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1.
∴BC=BD+DC=2 +1.
【火眼金睛】如图，小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin C=_________.?
正解：过B作BD⊥AC，则BD= ，BC=
∴sin C=
答案：
【一题多变】
如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值.
解：设AE=x，则BE=3x，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=4x，
∵M是AD的中点，∴AM=2x，
∴在Rt△BCE中，EC= =5x，
同理：EM= CM=
∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM=
【母题变式】
如图，在正方形ABCD中，ME⊥MC，AM=2AE，试求sin∠MCD的值.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，
∠MCD+∠DMC=90°，
∵ME⊥MC，∴∠AME+∠DMC=90°，∴∠AME=∠DCM，
在Rt△AME中，令AE=1，则AM=2，EM= ，
所以sin∠AME=
(共30张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
【知识再现】
直角三角形的三边满足勾股定理：直角三角形的两条
直角边的___________等于斜边的平方；用字母表示：
______________(a，b是直角边，c是斜边)?
平方和
a2+b2=c2
【新知预习】
阅读教材P2【想一想】，解决下列问题
1.Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系：
∵∠B2AC2=∠B1AC1，∠B2C2A=∠B1C1A=_________，?
∴Rt△AB1C1_______Rt△AB2C2.?
2. 的关系是____________.?
90 °
∽
3.如果改变B2在梯子上的位置：
你的发现： 的关系不变，即
你的结论：改变B2在梯子上的位置，___________
与_____________的比始终相等.这个比值与梯子的
_____________有关.?
铅直高度
水平宽度
倾斜角度
4.正切的概念
在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的_______
与_________的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，
记作tan A.即tan A=?
对边
邻边
5.正切的应用
(1)梯子的倾斜程度与正切的关系：如果梯子与地面的
夹角为∠A，那么tan A的值_________，梯子越陡.?
(2)坡度：坡面的_____________与_____________的比
称为坡度(或_________).?
越大
铅直高度
水平宽度
坡比
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=13，AC=12，则tan A
等于 ( )
A
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则
tan B的值是______.?
2
3.已知斜坡的坡度为i=1∶5，如果这一斜坡的高度为
2 m，那么这一斜坡的水平距离为_______m.?
10
知识点一 求一个锐角的正切值 (P3例1拓展)
【典例1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，求tan∠BAC的值.
【规范解答】如图，连接BC.
设小正方形的边长为1，根据勾股定理
可得AC2=22+22=8，BC2=12+12=2，
AB2=12+32=10 …………计算三边的平方
∴AC2+BC2=AB2， …………三边满足a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°(勾股定理逆定理)
又BC= ，AC=2 …………计算两直角边
∴tan∠BAC= …………依定义计算
【学霸提醒】
网格求正切方法
1.构造含所求锐角的直角三角形(格点三角形)：一般注意网格中正方形的对角线的应用.
2.求两条直角边：在网格中以相关线段为斜边构造直角三角形，依据勾股定理求出.
3.求正切：所求角的对边比邻边.
【题组训练】
1.(概念应用题)在正方形网格中，△ABC的位置如图
所示，则tan B的值为 ( )
B
★2.如图，旗杆高AB=8 m，某一时刻，旗杆影子长
BC=16 m，则tan C=_______. ?
★3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的
3倍，则tan B的值是 ( )
A
★★4.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正
方形的边长为1，则tan∠BAC的值为 ( )
B
知识点二 正切的应用——坡度(P4“坡度”补充)
【典例2】(2019·上海虹口区一模)如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡从A点到B点前进了10米，求物体离地面的高度.
【自主解答】作BC⊥地面于点C，设BC=x米，
∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，
∴AC=2x米，由勾股定理得，AC2+BC2=AB2，
即(2x)2+x2=102，解得x=2 ，即BC=
2 米，
所以物体离地面的高度为2 米.
【学霸提醒】
坡度的实际应用中的两点注意
1.坡度就是坡角的正切值，坡度是一个比值，求解时通常会用到设未知数列方程.
2.已知坡度，常求坡面长、水平宽、竖直高等，故求解时要分清.
【题组训练】
1.一斜坡长为 米，高度为1米，那么坡度为( )
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶ D. ∶1
A
★2.(2019·温州一模)如图，一块三角木的侧面是一
个直角三角形，已知直角边h=12 cm，a=20 cm，斜边
与直角边a的夹角为θ，则tan θ的值等于( )
A
★3.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶ ，
堤高BC=4 m，则迎水坡宽度AC的长为 ( )
A. m B.4 m
C.2 m D.4 m
B
【火眼金睛】
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，
tan B= ，则△ABC的面积是多少？
正解：tan B=
又∵BC=6，∴AC=9，∴S△ABC= ×6×9=27.
【一题多变】
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tan A=
则AB=_______.?
17
【母题变式】
【变式一】(变换条件)在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=2 ，tan A= 那么BC=______.?
2
【变式二】(变换结论)如图，在Rt△ABC中，∠C
=90°，BC=4，tan A= 则tan B=________.?
