(共47张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第2课时
【知识再现】
直线与圆相切：直线与圆有_______________时，直线与圆相切.?
唯一公共点
【新知预习】
阅读教材P92解决以下问题：
判断对错：
(1)与圆有公共点的直线是圆的切线. ( )
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ( )
×
√
(3)垂直于圆的半径的直线是圆的切线. ( )
(4)过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线是圆
的切线. ( )
×
√
总结：
1.切线的判定定理
(1)过半径外端且_________于半径的直线是圆的切线.?
垂直
(2)数学语言：如图：
若OA是☉O的半径，直线l经过点A，l_______OA，
则直线l是☉O的切线.?
⊥
2.三角形的内切圆
(1)定义：和三角形的_______边都相切的圆.?
(2)三角形的内心：内切圆的_________，即三角形
的三条角平分线的交点.?
(3)三角形的内心的性质：到三角形_________的距离
相等.?
三
圆心
三边
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.已知☉O的半径为5，直线EF经过☉O上一点P(点E，
F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与☉O相切
的是 ( )
D
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直线EF的距离是4
D.OP⊥EF
2.如图，A是☉O上一点，且PA=12，PB=8，OB=5，
则PA与☉O的位置关系是_________.?
相切
3.如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，
若∠BOC=124°，则∠A=_________.?
68°
知识点一 切线的判定(P92“定理”拓展)
【典例1】如图所示，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC.BC平分∠ABD.
求证：CD为☉O的切线.
【尝试解答】∵BC平分∠ABD，
∴ ∠OBC = ∠DBC ，…………角平分线的定义?
∵OB=OC，∴ ∠OBC = ∠OCB ，?
…………………………………………等边对等角
∴∠OCB= ∠DBC ，……………………等量代换?
∴OC∥BD，∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，∴ CD为☉O的切线 .?
…………………………………………切线的判定
【学霸提醒】
切线的判定的两种思路
1.连半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直.
2.作垂直，证等径：若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.
【题组训练】
1.如图，AB是☉O的直径，点P是☉O外一点，PO交
☉O于点C，连接BC，PA.若∠P=40°，当∠B等于
_______时，PA与☉O相切. ( )?
A.20° B.25°
C.30° D.40°
B
★2.(易错警示题)如图，在平面直角坐标系中，
半径为2的圆P的圆心P的坐标为(-3，0)，将圆P沿
x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的
距离为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.1或5
D
★3.(易错警示题)如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一
点，以点O为圆心，OB长的一半为半径作☉O，要使射
线BA与☉O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转( )
A.40°或80° B.50°或110°
C.50°或100° D.60°或120°
B
★★4.如图所示，直线y=x-2与x轴、y轴分别交于M，N
两点，☉O的半径为1，将☉O以每秒1个单位的速度向
右作平移运动，当移动_____________秒时，直线MN恰
好与圆O相切.
★★5.(2019·枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，
∠ABC=90°，以AB为直径作☉O，点D为☉O上一点，
且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由.
(2)若BE=2，DE=4，求圆的半径及AC的长.
解：(1)连接OC.
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD(SSS)，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，∴DC是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为r.
在Rt△OBE中，
∵OE2=EB2+OB2，
∴(4-r)2=22+r2，∴r=1.5，
∵tan∠E= ，∴CD=BC=3，
在Rt△ABC中，AC=
∴圆的半径为1.5，AC的长为3 .
知识点二 三角形的内切圆(P93“习题T2”补充)
【典例2】(2019·宜兴期中)已知：△ABC内接于☉O，I是△ABC的内心，AD交BC于点E.求证：DB=DI.
【尝试解答】∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD= ∠CAD ，∠ABI= ∠CBI ，?
……………………内心为三角形内角平分线的交点
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD= ∠CBD ，?
………………………………………………等量代换
∵∠BID= ∠ABI +∠BAD，∠IBD= ∠CBI +∠CBD，∴∠BID=∠IBD，………………等量代换?
∴ID= BD .…………………………等角对等边?
【学霸提醒】
三角形内切圆的性质
1.三角形内切圆的圆心是三角形内角角平分线的交点.
2.三角形内切圆的圆心到三边的距离相等.
【题组训练】
1.(2019·昆明官渡区期末)如图，☉O是△ABC的内
切圆，D，E是切点，∠A=50°，∠C=60°，则
∠DOE= ( )
A.70° B.110°
C.120° D.130°
B
2.如图，四边形ABCD内接于☉O，点I是△ABC的内心，
∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数
为 ( )
A.56° B.62°
C.68° D.78°
C
★3.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，周长为12，
那么△ABC内切圆半径为 ( )
A.3 B.2.5 C.2 D.1
D
★★4.(2019·武汉硚口区模拟)如图，☉O的直径AB为10 cm，点E是圆内接△ABC的内心，CE的延长线交☉O于点D. (1)求AD的长.
(2)求DE的长.
解：(1)连接BD，如图，
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵点E是圆内接△ABC的内心，
∴CE平分∠ACB，∴∠1=45°，
∴∠DBA=∠1=45°，∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD= AB= ×10=5 (cm).
(2)连接AE，如图，
∵点E是圆内接△ABC的内心，∴∠2=∠4，
∵∠1=∠5，∴∠3=∠1+∠2=∠5+∠4，
即∠3=∠DAE，∴DE=DA=5 (cm).
【火眼金睛】
已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，☉D与OA相切于点E，求证：OB与☉D相切.
正解：连接DE，作DF⊥OB ，
∵☉D与OA相切于点E，
∴DE⊥OA，
∵OC平分∠AOB，
∴DE=DF，
即d=r，∴OB与☉D相切.
【一题多变】
△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，如图，若∠B=60°，∠C=70°，求∠EDF的度数.
解：∠A=180°-(∠B+∠C)=50°，
∵内切圆I和边CA，AB分别相切于点E，F，∴∠AFI=∠AEI=90°，
∴∠FIE=360°-90°-90°-50°=130°，
由圆周角定理得，∠EDF= ∠FIE=65°.
【母题变式】
【变式一】(变换条件)如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.
求证：∠BAD=∠CBD.
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.
【变式二】(变换条件和问法)△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，如图，若BC=3，CA=4，AB=5，求△ABC内切圆的半径.
解：连接ID，IE，
BC2+AC2=32+42=25，AB2=25，∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴四边形DCEI为正方形，
∴ID=CD=CE=IE，
∴CD+CE=BC+AC-AB=2，
∴△ABC内切圆的半径为1.
(共43张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第1课时
【知识再现】
点与圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
(1)点P在圆外?________.?
(2)______________?d=r.?
(3)点P在圆内?________.?
d>r
点P在圆上
d【新知预习】
阅读教材P89-P90，解决以下问题：
设圆O的半径为r，圆心到直线l的距离为d
相交 ?
2 ?
相切 ?
1 ?
相离 ?
0 ?
r d 直线l与圆的位置关系 直线l与圆的交点个数
5 3 _________ ______
5 5 _________ ______
5 7 _________ ______
归纳：
1.直线和圆的位置关系
<
=
>
三种位置关系 相交 相切 相离
图示
d与r的大小关系 d____r? d____r? d____r?
2.圆的切线
(1)定义：和圆有_________公共点(即直线和圆
_________)的直线.?
(2)性质：圆的切线_________于过切点的半径.?
唯一
相切
垂直
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.已知☉O的半径为8 cm，若一条直线和圆心O的距离
为8 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.不能确定
B
2.已知☉O的半径为5，直线l和点O的距离为d cm，
若直线l与☉O有公共点，则 ( )
A.d>5 B.d=5
C.d<5 D.0≤d≤5
D
3.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB
是小圆的切线，点P为切点，大圆、小圆的半径分别
为10 cm和6 cm，则AB=_______cm.?
16
知识点一 直线和圆的位置关系(P90例1拓展)
【典例1】如图，已知∠APB=30°，OP=3 cm，☉O的
半径为1 cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动.
(1)当圆心O移动的距离为1 cm时，则☉O与直线PA的位置关系是什么？
(2)若圆心O移动的距离是d，当☉O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？
【思路点拨】(1)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得解.
(2)根据圆心的移动，求出直线与圆相切的临界值.
【自主解答】
(1)如图，当点O向左移动1 cm时，
PO′=PO-O′O=3-1=2(cm)，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30°，∴O′C= PO′=1 cm，∵圆的半径
为1 cm，∴☉O与直线PA的位置关系是相切.
(2)如图：当点O由O′向左继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，此时C″P=PO′=2，
∵OP=3，∴OO′=1，OC″=OP+C″P=3+2=5 cm，
∴点O移动的距离d的范围满足1 cm【学霸提醒】
由数量关系判断直线和圆的位置关系的步骤
【题组训练】
1.(2019·杭州萧山区月考)点P是半径为10的圆O所在
平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直
线l与圆O的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交、相切、相离都有可能
A
★2.(2019·松江区二模)在直角坐标平面内，已知点
M(4，3)，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与
y轴相离，那么r的取值范围为 ( )
A.0C.4D
★★3.(易错警示题)如图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=3，BC=4，☉B的半径为1，已知☉A与直线BC相交，
且与☉B没有公共点，那么☉A的半径可以是
( )
A.4 B.5
C.6 D.7
D
★★4.(2019·泰州高港区月考)以坐标原点O为圆心，
作半径为3的圆，若直线y=x-b与☉O相交，则b的取值
范围是____________. ?
知识点二 切线的性质及应用(P90“议一议”拓展)
【典例2】(2019·济南一模)如图，已知☉O的直径CD=8，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，直线EF切☉O于点A，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点.
(1)求证：EF∥BD.
(2)求AE的长.
【尝试解答】(1)∵CD为直径，
∴ ∠DBC=90° ，……………………圆周角定理?
∴BD⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴ AO∥BC ，……………………平行四边形的性质?
∴BD⊥OA，∵直线EF切☉O于点A，
∴ OA⊥EF ，……………………切线的性质?
∴EF∥BD.
(2)连接OB，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴ OA=BC ，?
……………………………………平行四边形的性质
而OB=OC=OA，∴ OB=OC=BC ，?
∴△OBC为 等边三角形 ，?
∴∠C= 60° ，∴∠AOE=∠C=60°，?
在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=_____，?
∴AE= 4tan 60°=_____.…………正切的定义?
【题组训练】
1.(2019·重庆中考A卷)如图，AB是☉O的直径，AC是
☉O的切线，A为切点，BC与☉O交于点D，连接OD.若
∠C=50°，则∠AOD的度数为 ( )
A.40° B.50°
C.80° D.100°
C
★2.(2019·嘉兴、舟山中考)如图，已知☉O上三点
A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长
线于点P，则PA的长为 ( )
B
★3.(2019·泰安中考)如图，△ABC是☉O的内接三角
形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点
P，则∠P的度数为 ( )
A.32° B.31°
C.29° D.61°
A
★4.(2019·台州路桥区一模)如图，点B，C，F在☉O
上，∠C=18°，BE是☉O的切线，B为切点，OF的延长
线交BE于点E，则∠BEO=_______度.?
54
★★5.(2019·北京通州区一模)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，过点A作☉O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF=AE，连接AF并延长交☉O于点D.
(1)求证：∠B=∠CAD.
(2)若CE=2，∠B=30°，求AD的长.
解：(1)∵AE是☉O的切线，∴∠BAE=90°，
∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠CAE=90°，∠BAC+∠B=90°，
∴∠B=∠CAE，
∵AF=AE，∠ACB=90°，∴∠CAD=∠CAE.
∴∠B=∠CAD.
(2)连接BD.
∵∠ABC=∠CAD=∠CAE=30°，∴∠DAE=60°，
∵∠BAE=90°，∴∠BAD=30°，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴cos∠BAD=
∵∠ACE=90°，∠CAE=30°，CE=2，
∴AE=2CE=4，
∵∠BAE=90°，∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=
∴ ，∴AD=6.
【我要做学霸】
切线的三条性质
1.切线和圆只有_________公共点.?
2.圆心到切线的距离等于_____________.?
3.圆的切线垂直于_________________.?
一个
圆的半径
过切点的半径
【火眼金睛】
已知☉O的半径是3 cm，点A为直线l上一点，
若OA=5 cm，判断直线l与圆的位置关系.
正解：若圆心到直线l的距离为d，
若d=3，直线l与☉O相切，
若d<3，直线l与☉O相交，
若d>3，直线l与☉O相离.
【一题多变】
如图，AD是☉O的直径，AB为☉O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.
求证：∠CBP=∠ADB.
证明：连接OB，如图，
∵AD是☉O的直径，∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和结论)如图，在☉O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE=CE.
求证：∠ABC=∠ACE.
证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，
∴ ，∴∠CAE=∠ABC，
∵AE=CE，∴∠CAE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE.
【变式二】(变换问法)如图，AD是☉O的直径，AB为☉O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.若OA=4，AB=2，求线段BP的长.
解：∵OP⊥AD，∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，∴
即 ，∴BP=14.
