(共40张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
【知识再现】
圆周角定理：圆周角的度数等于
___________________________的一半.?
它所对弧上的圆心角度数
【新知预习】
阅读教材P81-82，解决以下问题：
1.直径与90°的圆周角的关系
(1)直径所对的圆周角是_________.?
(2)90°的圆周角所对的弦是_________.?
直角
直径
2.圆内接四边形的相关概念
如果一个多边形的_____________都在同一个圆上，这
个多边形叫做_________________，这个圆叫做这个多
边形的___________.如图中的四边形ABCD叫做☉O的
______________，而☉O叫做四边形ABCD的___________.?
所有顶点
圆内接多边形
外接圆
内接四边形
外接圆
3.圆内接四边形的性质
圆内接四边形对角_________，并且它的任意一个
外角都等于_______________.?
互补
它的内对角
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.如图，AB是☉O的直径，若∠BAC=35°，
则∠ADC= ( )
A.35° B.55°
C.70° D.110°
B
2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长
线上.若∠A=50°，则∠BCE=_________.?
50°
3.如图，AB是☉O的直径，点C是☉O上的一点，若
BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______.?
4
知识点一 圆周角定理的推论2
(P82“推论”拓展)
【典例1】如图，AB是☉O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数.
【尝试解答】∵∠ACD=25°，
∴∠ABD= 25° ，…………同圆中等弧对等角?
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB= 90° .?
…………………………直径所对的圆周角为直角
在△ABD中，∠BAD= 180° -∠ABD-∠ADB=
180° -25°-90°=65°.?
…………………………三角形内角和定理的应用
【学霸提醒】
圆周角定理的推论的应用
1.见到直径想直角：
即直径所对的圆周角是直角.
2.圆中90°的圆周角所对的弦是直径：
即在圆中90°的圆周角所对的弦是直径.
【题组训练】
1.(2019·丹江口市期末)如图，AB是☉O的直径，
点C，D在☉O上.若∠ABD=50°，则∠BCD的度数
为 ( )
A.30° B.35°
C.40° D.45°
C
★2.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上AB两侧的
点，若∠D=30°，则tan∠ABC的值为 ( )
C
★3.(2019·聊城中考)如图，BC是半圆O的直径，D，
E是 上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，
OE.如果∠A=70°，那么∠DOE的度数为( )
A.35° B.38°
C.40° D.42°
C
★★4.(2019·菏泽中考)如图，AB是☉O的直径，C，D
是☉O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相
交于点E，F，则下列结论不一定成立的是 ( )
A.OC∥BD B.AD⊥OC
C.△CEF≌△BED D.AF=FD
C
知识点二 圆内接四边形
(P82“想一想”补充)
【典例2】如图，四边形ABCD内接于☉O，AC与BD为对角线，∠BCA=∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E.
求证：EC=AC.
【规范解答】∵BC∥AE，
∴∠ACB=∠EAC， ……………………平行线性质
∵∠ACB=∠BAD，
∴∠EAC=∠BAD，……………………等量代换
∴∠EAD=∠CAB，
∵∠ADE+∠ADC=180°，………………平角定义
∠ADC+∠ABC=180°，……………圆内接四边形性质
∴∠ADE=∠ABC，……………………………等式性质
∵∠EAD+∠ADE+∠E=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°………三角形内角和定理
∴∠E=∠ACB=∠EAC，……………………等式性质
∴CE=CA.………………………………等腰三角形判定
【学霸提醒】
圆内接四边形的角的“两种”关系
1.对角互补，若四边形ABCD为☉O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
2.四个角的和是360°，若四边形ABCD为☉O的内接四边形，则∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
【题组训练】
1.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A∶∠C=5∶7，
则∠C= ( )
A.210° B.150°
C.105° D.75°
C
★2.(2019·天水中考)如图，四边形ABCD是菱形，
☉O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.
若∠D=80°，则∠EAC的度数为 ( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
C
★3.如图，四边形ABCD内接于☉O，E为BC延长线上
一点，若∠A=n°，则∠DCE=______°.
?
n
★4.(2019·盐城中考)如图，点A，B，C，D，
E在☉O上，且 所对圆心角为50°，则∠E+∠C=
________°.?
155
★★5.(2019·朝阳区期中)如图，四边形ABCD内接于☉O，∠ABC=135°，AC=4，求☉O的半径长.
解：∵四边形ABCD内接于☉O，∠ABC=135°，
∴∠D=180°-∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠D=90°，
∵OA=OC，且AC=4，
∴OA=OC= AC=2 ，
即☉O的半径长为2 .
【火眼金睛】如图，已知A，B两点的坐标分别为
(2 ，0)，(0，2)，P是△AOB外接圆上的任意一
点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为_______.?
正解：∵OB=2，OA=2 ，
∴AB= =4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P(a，a)，
∵∠AOB=90°，∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，C点坐标为
( ，1)，∵P点在圆上，∴P点到圆心的距离为
圆的半径2，过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于
点E，交CF于点F，∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a- ，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：(a- )2+
(a-1)2=22，舍去不合适的根，可得：a=1+ ，
则P点坐标为( +1， +1).
∵P与P′关于圆心( ，1)对称，
∴P′( -1，1- ).
答案：( +1， +1)或( -1，1- )
【一题多变】
(2019·武昌区模拟)如图，BC是☉O的直径，
AB是☉O的弦，半径OF∥AC交AB于点E.
求证： ，
证明：∵BC是直径，∴∠A=90°，
∵OF∥AC，∴∠OEB=∠A=90°，
∴OF⊥AB，∴ .
【母题变式】
【变式一】如图，在☉O中，AB是☉O的直径，OD⊥AC
于点D.延长DO交☉O于点E，连接EC，EB.若AC=6，
OD= ，求☉O的直径.
解：∵OD⊥AC，AC=6，∴AD=3，
∵OD= ，∴OA=4，∴☉O的直径为8.
【变式二】如图，在☉O中，AB是☉O的直径，OD⊥AC于点D.延长DO交☉O于点E，连接EC，EB.
证明：S△ABC=2S△BEC.
证明：作EF垂直于CB的延长线于点F，∵AB为直径，
∴∠ACB=∠CDE=∠CFE=90°，
∴四边形CDEF为矩形，∴EF=CD= AC，
∴S△ABC= BC·AC= BC·2EF=2S△BEC.
(共40张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
【知识再现】
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
【新知预习】
阅读课本P78-80，解决以下问题：
判断对错：
(1)点在圆周上的角是圆周角. ( )
(2)圆周角的度数是圆心角的一半. ( )
(3)两边都和圆相交的角是圆周角. ( )
×
×
×
(4)在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角度数的一半. ( )
√
归纳：
1.圆周角
顶点在_________，两边分别与圆___________________
的角.
圆上
还有另一个交点
2.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的
_________.?
3.圆周角定理的推论
_________或_________所对的圆周角相等.?
一半
同弧
等弧
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.如图，在☉O中，AD=DC，则图中相等的圆周角的
对数是 ( )
A.5对 B.6对
C.7对 D.8对
D
2.如图，在☉O中，∠AOB=46°，则∠ACB=_________.?
23°
3.如图所示，圆周角有_______________________.?
∠A、∠B、∠C、∠D
知识点一 圆周角及圆周角定理(P79“圆周角定理”
拓展)
【典例1】(2019·株洲中考)如图所示，AB为☉O的直
径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB
相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=
_______度.?
20
【思路点拨】连接OD，由直角三角形的性质得出∠OCE=25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC=∠OCE=25°，求出∠DOC=130°，得出∠BOD=∠DOC-∠COE=40°，再由圆周角定理即可得出答案.
【题组训练】
1.如图，∠APB是圆周角的是 ( )
D
★2.如图，点A，B，C在☉O上，∠ACB=35°，
则∠AOB的度数是 ( )
A.75° B.70°
C.65° D.35°
B
★3.如图，在☉O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，
若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是 ( )
A.30° B.45°
C.55° D.60°
D
★4.(2019·甘肃中考)如图，AB是☉O的直径，点C，
D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=( )
A.54° B.64°
C.27° D.37°
C
★★5.(2019·亭湖期末)如图，AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交☉O于点D，点E在☉O上.
(1)若∠AOD=50°，求∠DEB的度数.
(2)若OC=6，OA=10，求AB的长.
解：(1)∵AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，
∴
∴∠DEB= ∠AOD= ×50°=25°.
(2)根据勾股定理得，AC=8，
∵AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB=2AC=2×8=16.
【我要做学霸】
圆周角定理的应用方法
1.由弧找角：从某一弧出发来确定其所对的
___________和___________，从而确定它们的关系.?
2.由角找弧：由所求圆周角或圆心角确定弧，
再找对应的___________或___________的关系. ?
圆周角
圆心角
圆心角
圆周角
知识点二 圆周角定理的推论1
(P80“推论”补充)
【典例2】如图，边长为1的小正方形构成的网格中，
半径为1的☉O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值
等于 ( )
D
【思路点拨】根据同弧或等弧所对的圆周角相等把∠BED的正切值转化到直角三角形中求解.
【学霸提醒】
圆周角定理的推论的应用
1.常作的辅助线是构造同弧所对的圆周角.
2.圆周角定理的推论是证明弧相等、角相等，常用的方法.
【题组训练】
1.如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，∠A=60°，
∠B=24°，则∠C的度数为 ( )
A.84° B.60°
C.36° D.24°
D
★2.如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB=AC，
∠BCA=65°，作CD∥AB，并与☉O相交于点D，
连接BD，则∠DBC的大小为 ( )
A.15° B.35°
C.25° D.45°
A
★3.如图，已知☉O的两条弦AC，BD相交于点E，
∠D=70°，∠B=50°，那么sin∠AEB的值为_____.?
★★4.如图，AB为☉O的直径，点C在☉O上，AC⊥BC，连接BC并延长至点D，使DC=CB.连接DA并延长，交☉O于另一点E，连接AC，CE.
(1)求证：∠E=∠D.
(2)若AB=4，BC-AC=2，求CE的长.
解：(1)∵ AC⊥BC，DC=CB，∴AD=AB.
∴∠B=∠D，∵∠E=∠B，∴∠E=∠D.
(2)∵∠E=∠D，∴DC=CE，
∵DC=CB，∴CB=CE，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(BC-2)2+BC2=42
解得，BC=1+ 或BC=1- (舍去)，
∴CE=1+ ，即CE的长为1+ .
【火眼金睛】
已知A，B，C三点都在☉O上，若☉O的半径为4 cm，弦BC为4 cm，求∠A的度数.
正解：∵在☉O中，半径为4 cm，弦BC=4 cm，
∴OC=OB=BC，∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，若点A在优弧上，则∠A= ∠COB=30°，
若点A在劣弧上，则∠A=150°，∴∠A的度数为30°
或150°.
【一题多变】
已知四边形ABCD内接于☉O，BC=CD，连接AC，BD.如图，若∠CBD=36°，求∠BAD的大小.
解：∵BC=CD，∴
∴∠DBC=∠BAC=∠CAD，
∵∠CBD=36°，∴∠BAC=∠CAD=36°，
∴∠BAD=36°+36°=72°.
【母题变式】
【变式一】如图，点A，B，C，D在☉O上，∠ADC=60°，
请判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是等边三角形，
理由：∵ ，∴AC=BC，
∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
【变式二】(变换问法)已知四边形ABCD内接于☉O，BC=CD，连接AC，BD.如图，若点E在对角线AC上，且EC=BC，∠EBD=24°，求∠ABE的大小.
解：∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，
∴∠DBE+∠CBD=∠BAE+∠ABE，
∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABE=∠DBE=24°.
