(共32张PPT)
4 二次函数的应用
第1课时
【知识再现】
对于二次函数y=-2x2+4x-5，当x=______时，y有最
_______值，最_______值是_______.?
1
大
大
-3
【新知预习】
阅读教材P46，完成下列问题
(1)设AB=x m，则BE=_________m，
∵BC∥AD，?
∴△EBC∽△EAF.∴BC=__________m.?
40-x
(2)设矩形的面积为y m2，可得
____________=________________.?
所以当x=_______时，y的值最大，最大值是______ m2.?
即当边长AB为_______ m时，矩形ABCD的面积最大，是
________ m2.?
20
300
20
300
你会发现：
利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法
(1)引入自变量.
(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量.
(3)根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并
且用_________表示这个面积.?
(4)根据函数表达式，求出最大值及取得最大值时自变
量的值.
函数
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园
的最大面积为 ( )
A.400 m2 B.300 m2
C.200 m2 D.100 m2
D
2.在一块长为30 m，宽为20 m的矩形地面上修建一个
正方形花台.设正方形的边长为x m，除去花台后，矩
形地面的剩余面积为y m2，则y与x之间的函数表达式是
_____________，自变量x的取值范围是____________.
y有最_______值，是________ m2.?
y=-x2+600
0小
200
3.已知两个数的和为8，若设其中一个数为x，两数之积
为y，则y与x的函数表达式为____________；则这两个
数的积最大可以为_______.?
y=-x2+8x
16
知识点 几何图形中面积的最值问题(P46引例拓展)
【典例】如图，窗户边框的上部分是
由4个全等扇形组成的半圆，下部分
是矩形，现在制作一个窗户边框的
材料总长度为6米.( π取3)
若设扇形半径为x米.当x为何值时，窗户透光面积最大？最大面积为多少？(窗框厚度不予考虑)
【规范解答】∵扇形半径为x米，∴2AB+7x+πx=2AB+10x=6，整理得：AB=(3-5x)(米)
………… 用未知数表示AB的长
设窗户透光面积为S平方米， …………设因变量
则S=2x(3-5x)+ x2
=- x2+6x …………根据面积和列函数
= ， …………化为顶点式
当x= 时，最大面积为 平方米.
【学霸提醒】
应用二次函数解决面积最值问题的步骤
1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.
2.找出等量关系，建立函数模型.
3.结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，常采用配方法求出，或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.
【题组训练】
1.(2019·深圳宝安区二模)如图，
小明想用长为12米的栅栏(虚线
部分)，借助围墙围成一个矩形花
园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是_____平方米( )?
A.16 B.18 C.20 D.24
B
★2.如图，△ABC是直角三角形，
∠A=90°，AB=8 cm，AC=6 cm.
点P从点A出发，沿AB方向以
2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方
向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点
时则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是 ( )
A.0 cm2 B.8 cm2
C.16 cm2 D.24 cm2
C
★3.(生活情境题)用12 m长的木材做窗框(如图所示)，
要使透过窗户的光线最多，窗框的长应为______ m，
宽应为______ m.?
3
2
★★4.(2019·温州模拟)为了节省材
料，某农场主利用围墙(围墙足够长)
为一边，用总长为80 m的篱笆围成了
如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域
的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是
________ m2.
300
★★5.(教材变形题·P48习题T3)某工
厂大门是抛物线水泥建筑，大门地面
宽为4 m，顶部距离地面的高度为
4.4 m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货
宽度为2.4 m，该车要想过此门，装货后的最大高度应
是__________ m. ?
2.816
【火眼金睛】正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，当点M在什么位置时，△ADN的面积最大或最小？并求出最大或最小面积.
正解：设MC=x，则BM=4-x，由题意可知△CMN∽△BAM，
∴ ，即 ，∴CN= ，
∴S△ADN= ×4× x2-2x+8
= (x-2)2+6，
∵M在BC上运动，∴0≤x≤4，
∴当x=4或0时，即M在B或C点，S最大值是8，当x=2时，即M为BC中点，S最小值是6.
【一题多变】
如图，利用一面墙(墙EF最长
可利用24米)，围成一个矩形苗
圃园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口
(如图MN所示，不用砌墙)，用46米长的墙的材料做围
墙，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数表达式及其自变量x的取值范围.
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值.
解：(1)由题意可得，y=46-2x+3=49-2x，
∵ ，解得，12.5≤x<23，
即y与x的函数表达式是y=49-2x(12.5≤x<23).
(2)设苗圃园的面积为S，S=x·(49-2x)=-2x2+49x=
，
∵-2<0，对称轴为直线x= =12.25，12.25<12.5，
∴在12.5≤x<23时，S随x的增大而减小，
∴当x=12.5时，S取得最大值，此时S=300，
即垂直于墙的一边的长为12.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为300平方米.
【母题变式】某建筑公司让张
师傅建造养鸡场，建造时按养鸡
场的建造面积收费，每平方米80
元.若张师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧
靠墙且位置相邻的矩形养鸡场(如图)，已知墙的长为9
米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？
略
(共35张PPT)
4 二次函数的应用
第2课时
【知识再现】
总利润=_____________×销售数量?
单件利润
【新知预习】
1.求解最大利润问题的基本步骤
(1)引入___________.?
(2)用含___________的代数式分别表示销售单价或销售
收入及销售量.?
自变量
自变量
(3)用含___________的代数式表示销售的商品的单件
盈利.?
(4)用函数及含___________的代数式分别表示销售利
润，即_______________.?
(5)根据_______________求出最大值及取得最大值时的
___________的值.?
自变量
自变量
函数表达式
函数表达式
自变量
2.二次函数的最大(小)值
(1)配方法
用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，
当自变量x=______时，函数y有最大(小)值为______.?
h
k
(2)公式法
直接使用配方法得到的结论，二次函数y=ax2+bx+c，
当自变量x=____时，函数y有最大(小)值为________.?
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧！
1.某商店经营商品，已知所获利润y(元)与销售的单价
x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2 956.则获利最多为
( )
A.3 144元 B.3 100元 C.144元 D.2 956元
B
2.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内
若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出
(30-x)件.若使利润最大，每件的售价应为_______元.?
25
知识点 最大利润问题(P48引例拓展)
【典例】(2019·合肥模拟)某实验器材专营店为迎接
我市理化生实验的到来，购进一批电学实验盒子，一
台电学实验盒的成本是30元，当售价定为每盒50元时，
每天可以卖出20盒.但由于电学实验盒是特殊时期的销
售产品，专营店准备对它进行降价销售.根据以往经验，售价每降低3元，销量增加6盒.设售价降低了x(元)，每天销量为y(盒).
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)总利润用W(元)来表示，请说明售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【规范解答】(1)由题意可得，y=20+ ×6=20+2x，
∴y与x之间的函数表达式是y=2x+20.
………………列一次函数
(2)由题意得，W=(50-30-x)(20+2x)
=(20-x)(20+2x) …………列二次函数
=-2(x-5)2+450， …………化为顶点式
当x=5时，W有最大值450， …………确定最大值
∴当售价为45元时，利润最大为450元.
【学霸提醒】
实际问题中确定最值的方法
1.当二次函数的对称轴x= 在自变量的取值范围x1≤
x≤x2内时，二次函数的最值就是实际问题中的最值.
2.当二次函数的对称轴x= 不在自变量的取值范围x1
≤x≤x2内时：
(1)如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，
y有最大值为a +bx2+c，当x=x1时，y有最小值为
+c.
(2)如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，
y有最大值为 +bx1+c，当x=x2时，y有最小值为a
+c.
【题组训练】
1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利
y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想
获得最大利润，则销售单价为 ( )
A.30元 B.35元 C.40元 D.45元
B
★2.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定
范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取
的最大利润是 ( )
A.600元 B.625元 C.650元 D.675元
B
★3.(2019·沈阳沈河区一模)某网店销售某种商品，
成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售
出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天
销量增加10件，当销售单价为_______元时，每天获取
的利润最大.?
50
★★4.(2019·乐陵一模)我市某特产专卖店销售一种蜜枣，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y(kg)与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y=-x+50.(利润=售价-进价).
(1)写出每天的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.
(2)当销售单价定为多少元时，这种蜜枣每天能够获得最大利润？最大利润是多少元？
解：(1)w=(x-10)y=(x-10)(-x+50)=-x2+60x-500，∴w与x之间的函数表达式为w=-x2+60x-500(x>10).
(2)∵w=-x2+60x-500=-(x-30)2+400，
∴当x=30时，w取得最大值，最大利润为400元.
答：当销售单价为30元时，每天能获得最大利润，最大利润是400元.
【火眼金睛】
某超市购进商品的单价是8元/件，当售价为10元/件时，售出200件，销售单价每提高2元，售出数量就减少10件，现要使售货的金额最大，价格应定为多少元？
正解：设售货的金额是y元，销售单价为x元，
由题意得，y= =-5x2+250x，
当x=25时，售货的金额最大，即售价是25元/件时，
售货的金额最大.
【一题多变】
(变换条件)我市某乡镇实施产业精
准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩
土地种植新品种草莓，已知该草莓
的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售.经市
场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量
y(千克)与销售定价x(元/千克)之间函数关系如图所示.
(1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围.
(2)当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
把A(12，400)，B(14，350)分别代入
得
∴y与x的函数表达式为y=-25x+700，
由题意知 ∴10≤x≤28.
(2)设每天的销售利润为w元，
由题意知w=(x-10)(-25x+700)
=-25x2+950x-7 000=-25(x-19)2+2 025
∵a=-25<0，
∴当x=19时，w取最大值，为2 025.
当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2 025元.
【母题变式】
(变换问法)某超市销售一种商
品，成本价为20元/千克，经市
场调查，每天销售量y(千克)
与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千
克售价不能低于30元，且不高于80元.
(1)直接写出y与x之间的函数表达式.
(2)如果该超市销售这种商品每天获得3 900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
(3)设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将
点(30，150)、(80，100)代入一次函数表达式
得：
故函数的表达式为：y=-x+180.
(2)由题意得：(x-20)(-x+180)=3 900，
解得：x=50或150(舍去150)，
故该商品的销售单价为50元.
(3)由题意得：w=(x-20)(-x+180)=-(x-100)2+6 400，
∵-1<0，故当x<100时，w随x的增大而增大，而30≤x≤80，
∴当x=80时，w有最大值，此时，w=6 000，
故销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润为6 000元.
