苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：03任意角的三角函数(基础)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：03任意角的三角函数(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 357.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-12 11:30:55 | ||
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文档简介
任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
(2)叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等
，其中
，其中
，其中
要点诠释：
该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.
要点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；
余弦线在轴上；
正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】，，或，，
【解析】 。
若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则
，
，
，
若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则
，，。
【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【答案】或
【解析】因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
类型二：三角函数的符号
例2．判断下列各三角函数值的符号
（1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。
∴tan120°·sin269°＞0。
（3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。
举一反三：
【变式1】确定下列各三角函数值的符号.
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角.
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
【变式2】（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（2）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（3）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
【答案】（1）＜（2）＜（3）四
【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（2）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（3）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）
（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）4
【解析】（1）原式。
（2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1）（2）3
【解析】
（1）原式。
（2）原式= sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°) +cos(0°+2×360°)
=sin90°+tan45°+cos0°=3。
类型四：三角函数线的应用
例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。
①；②；③tan=2；
（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小。
【答案】（1）略（2）>
【解析】（1）①作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图①。
②作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图②。
③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图③。
（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数。
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）。
因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）。
【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。
举一反三：
【变式1】求证：当时，sin＜＜tan。
【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域。
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义。（2）不可忽略正切函数自身的定义域。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域：
【答案】
【解析】 要使函数有意义，需tan x≠0，
∴（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）
∴（k∈Z）。
∴函数的定义域为。
【巩固练习】
1．角的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若角的终边上有一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
4．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．sin＞cos＞tan B．cos＞tan＞sin
C．sin＞tan＞cos D．tan＞sin＞cos
6．设角属于第二象限，且，则角属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若为锐角且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若cos＞0，且sin2＜0，则角的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。
10．若为第二象限角，则________。
11．已知角的终边经过点，则 。
12．已知角的终边在直线上，则 。
13．已知角终边上一点，且。求和的值。
14．判断下列三角函数式的符号：
（1）sin320°·cos385°·tan155°；
（2）
15．角的顶点为坐标原点，终边在直线上，且。若是终边上的一点，且，求的值。
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由。
2. 【答案】B
【解析】
3．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴。
4. 【答案】A
【解析】
5．【答案】D
【解析】 结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短，且都为正，故tan＞sin＞cos。
6. 【答案】C
【解析】
当时，在第一象限；当时，在第三象限；
而，在第三象限；
7. 【答案】A
【解析】
8．【答案】D
【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。
∵cos＞0，sin2＜0，
∴（k∈Z）
即（k∈Z）。L
当k为奇数时，无公共部分；当k为偶数时，公共部分是第四象限。
9．【答案】0
【解析】 原式=5×1+2×1－3×(－1)+10×(－1)=0。
10．【答案】2
【解析】 为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0。
11．【答案】
【解析】利用三角函数的定义去解。
12．【答案】
【解析】可以在直线上任意一个点的坐标，利用三角函数的定义去解。
13．【解析】由已知，解得，则有。
14．【解析】（1）由于320°，385°=360°+25°，155°分别在第四象限、第一象限、第二象限，则sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0，∴sin320°·cos385°·tan155°＞0。
（2）由于，，，∴4，2，，分别在第三象限、第二象限、第一象限、第三象限，∴tan4＞0，cos2＜0，，，∴。
15．【解析】由已知，并且。又，。
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
(2)叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等
，其中
，其中
，其中
要点诠释：
该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.
要点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；
余弦线在轴上；
正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】，，或，，
【解析】 。
若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则
，
，
，
若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则
，，。
【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【答案】或
【解析】因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
类型二：三角函数的符号
例2．判断下列各三角函数值的符号
（1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。
∴tan120°·sin269°＞0。
（3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。
举一反三：
【变式1】确定下列各三角函数值的符号.
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角.
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
【变式2】（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（2）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（3）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
【答案】（1）＜（2）＜（3）四
【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（2）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（3）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）
（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）4
【解析】（1）原式。
（2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1）（2）3
【解析】
（1）原式。
（2）原式= sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°) +cos(0°+2×360°)
=sin90°+tan45°+cos0°=3。
类型四：三角函数线的应用
例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。
①；②；③tan=2；
（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小。
【答案】（1）略（2）>
【解析】（1）①作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图①。
②作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图②。
③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图③。
（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数。
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）。
因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）。
【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。
举一反三：
【变式1】求证：当时，sin＜＜tan。
【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域。
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义。（2）不可忽略正切函数自身的定义域。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域：
【答案】
【解析】 要使函数有意义，需tan x≠0，
∴（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）
∴（k∈Z）。
∴函数的定义域为。
【巩固练习】
1．角的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若角的终边上有一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
4．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．sin＞cos＞tan B．cos＞tan＞sin
C．sin＞tan＞cos D．tan＞sin＞cos
6．设角属于第二象限，且，则角属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若为锐角且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若cos＞0，且sin2＜0，则角的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。
10．若为第二象限角，则________。
11．已知角的终边经过点，则 。
12．已知角的终边在直线上，则 。
13．已知角终边上一点，且。求和的值。
14．判断下列三角函数式的符号：
（1）sin320°·cos385°·tan155°；
（2）
15．角的顶点为坐标原点，终边在直线上，且。若是终边上的一点，且，求的值。
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由。
2. 【答案】B
【解析】
3．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴。
4. 【答案】A
【解析】
5．【答案】D
【解析】 结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短，且都为正，故tan＞sin＞cos。
6. 【答案】C
【解析】
当时，在第一象限；当时，在第三象限；
而，在第三象限；
7. 【答案】A
【解析】
8．【答案】D
【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。
∵cos＞0，sin2＜0，
∴（k∈Z）
即（k∈Z）。L
当k为奇数时，无公共部分；当k为偶数时，公共部分是第四象限。
9．【答案】0
【解析】 原式=5×1+2×1－3×(－1)+10×(－1)=0。
10．【答案】2
【解析】 为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0。
11．【答案】
【解析】利用三角函数的定义去解。
12．【答案】
【解析】可以在直线上任意一个点的坐标，利用三角函数的定义去解。
13．【解析】由已知，解得，则有。
14．【解析】（1）由于320°，385°=360°+25°，155°分别在第四象限、第一象限、第二象限，则sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0，∴sin320°·cos385°·tan155°＞0。
（2）由于，，，∴4，2，，分别在第三象限、第二象限、第一象限、第三象限，∴tan4＞0，cos2＜0，，，∴。
15．【解析】由已知，并且。又，。