苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：09正弦函数的图象与性质及三角函数的周期性(基础)

正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性

【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解正弦函数的性质.
【要点梳理】
要点一：正弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。
3．五点法
先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象。
要点二：正弦曲线
（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线。
（2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数。
要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
要点四：周期函数
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点五：正弦函数性质
函数
正弦函数y＝sinx
定义域
R
值域
[-1，1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间（k∈Z）
增区间
减区间
最值点（k∈Z）
最大值点；最小值点
对称中心（k∈Z）
对称轴（k∈Z）
要点诠释：
（1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
要点六：正弦型函数的性质．
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数．
要点诠释：
判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．
【典型例题】
类型一：“五点法”作正弦函数的图象
例1．用五点法作出函数，的图象.
【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）。（2）取上五个关键的点。
【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x
0
0
1
0
－1
0
y=2－u
2
1
2
3
2
描点作图（如下图）。

【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。
举一反三：
【变式1】用“五点法”作出函数的简图：y=－sin x（0≤x≤2π）；
【解析】（1）列表：
x
0
sin x
0
1
0
－1
0
－sin x
0
－1
0
1
0
描点作图，如图（1）：

类型二：正弦函数定义域与值域
例2．求函数的定义域
【答案】
【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），
∴函数的定义域为．
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
例3．求下列函数的值域：
（1）y=3―2sin x
（2），；
【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]
【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵，∴．
∴．∴，
∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．
【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式】 求y=cos2x+4sin x―2的值域．
【解析】y=cos2x+4sin x―2
=―sin2x+4sin x―1
=―(sin x―2)2+3．
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x=―1时，ymin=―6；当sin x=1时，ymax=2．
∴函数的值域为[－6，2]．
类型三：正弦函数单调性
例4．求的单调区间．
【思路点拨】要将原函数化为再求之.
【解析】∵，
∴函数的递增区间就是函数的递减区间．
∴（k∈Z），
得（k∈Z）．
∴函数的递增区间为（k∈Z）．
【总结升华】函数的单调区间的确定，基本思想是把 看作一个整体．
举一反三：
【变式】求函数的递减区间．
【解析】已知函数．欲求该函数的单调递减区间，只需求的单调递增区间．
由（k∈Z），解得（k∈Z）．
所以原函数的单调递减区间为（k∈Z）．
类型四：正弦函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立．
∴函数为偶函数．
（2）由2sin x－1＞0，即，得函数定义域为（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：
①对任意的，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使是奇函数；
④对任意的，都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.
当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.
当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，
当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
类型五：正弦函数的对称性
例6．求函数的对称轴方程．
【解析】 令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：

【变式】指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为．
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）．
类型六：正弦函数的周期
例7．求下列函数的周期：
（1）；（2）；
【解析】（1）令，而，即．
．∴T=2π．
（2）令，则，
∴T=4π
举一反三：

【变式】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）是 （2）不是 （3）
类型七：利用函数图象解简单的三角不等式
例8．画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出：
（1）时x的集合；
（2）时x的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。
【解析】

（1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。
（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为
或
。
【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：
【变式】已知，解不等式。
【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是。

类型八：三角函数图象的综合应用
例9．（1）方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若，则与3的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【思路点拨】（1）作出的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出与的函数图象，利用数形结合可得。
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1） 作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解。
（2）作图（如下图），观察函数，在内的图象可知与的大小关系与的取值有关。
举一反三：

【变式1】下列各式中正确的为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
例10．已知函数．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；
（4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成．
【解析】 （1）由，得，∴x≠kπ，k∈Z．
∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵，∴，
∴函数的值域为{y|y≥0}．
（2）∵，
∴函数是偶函数．
（3）∵，
∴函数是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证）
（4）设t=|sin x|，
当时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数；
当时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数．
又∵函数为减函数，
∴函数的单调增区间为，k∈Z；单调减区间为，k∈Z．
【巩固练习】
1．以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是（ ）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y=1与直线y=－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=－sin x C．y=sin |x| D．y=sin x+1
3．用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
4.已知函数的图象关于直线对称，则可能是( )
A. B. C. D.
5．函数在区间的简图是（ ）
6．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．下列区间中，使函数y=sin x为增函数的是（ ）
A．[0，π] B． C． D．[π，2π]
8．为得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）.
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
9．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．
根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知a∈R，函数，x∈R，为奇函数，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
11．函数的值域是 ( )
A. B. 　　C. D.
12．方程的解的个数是________．
13．求函数，上的值域.
14．利用“五点法”作出的图象．
15．作函数的图象．
16．设是以1为一个周期的函数，且当x∈（－1，0）时，，求的值。
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由三角函数y=sin x的图象知，它不关于x轴对称．
2．【答案】C
【解析】 当时，成立。
3．【答案】B
【解析】 2x分别取0，，π，，2π．
4. 【答案】C
【解析】对称轴过最高点或最低点，
.
5．【答案】A
6．【答案】A
【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．
7．【答案】C
【解析】y=sin x在（k∈Z）的每一个区间上递增。
8．【答案】D
9．【答案】C
【解析】 作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．

10．【答案】A
【解析】由可知a=0。
11. 【答案】B
【解析】数形结合：法一：利用单位圆中的三角函数线；法二：利用正弦函数曲线.
12．【答案】7
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
13．【答案】
【解析】=.
14．【解析】列表如下：
x
0
0
1
0
－1
0
描点连线，如下图，便得到的图象．

15．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：
16．【解析】是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z也是的周期。
∴，故，从而。
又当x∈（－1，0）时，，
所以。