苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：11余弦函数与正切函数的图象与性质(基础)

余弦函数与正切函数的图象和性质

【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解余弦函数的性质.
3.借助正切线画出正切函数的图象，并通过该图象理解正切函数的性质.
【要点梳理】
要点一：余弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出余弦函数图象的方法．
2．几何法
利用三角函数线作出余弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．
3．五点法
先描出余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定余弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记余弦函数图象起关键作用的五点．
（2）若，可先作出余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．
（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．
要点二：余弦曲线
（1）定义：余弦函数的图象分别叫做余弦曲线．
（2）图象
要点诠释：
（1）由余弦曲线可以研究余弦函数的性质．
（2）运用数形结合的思想研究与余弦函数有关的问题．
要点三：余弦函数的性质
函数
余弦函数y=cosx
定义域
R
值域
[-1，1]
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间（k∈Z）
增区间
减区间
最值点（k∈Z）
最大值点
最小值点
对称中心（k∈Z）
对称轴（k∈Z）
要点诠释：
（1）余弦函数的值域为，是指整个余弦函数或一个周期内的余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么余弦函数的值域就可能不是，因而求余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。
（2）求余弦函数的单调区间时，应先将变换为再求解，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。
要点四：余弦型函数的性质。
函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。
（4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。
（5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。
要点诠释：
判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。
若，则函数不一定有对称轴和对称中心。
要点五：正切函数的图象
正切函数，且的图象，称“正切曲线”，利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从到也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.
要点六：正切函数的性质
1．定义域：
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：奇函数，即．
5．单调性：在开区间内，函数单调递增
要点诠释：
1．观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴
2．正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
【典型例题】
类型一：余弦函数与正切函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】（1）描点、作图
x
0
1
1
其图象如下图所示．

（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式】用五点法作出函数，的图象．
【思路点拨】取上五个关键的点．
【解析】 找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u
1
0
－1
0
1
描点作图（如下图）．

【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
例2．作函数的图象．
【思路点拨】函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉．
【解析】当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）．其图象如下图．

【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称．
举一反三：
【变式】利用图象变换作出下列函数的简图：．
【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．

类型二：余弦函数与正切函数的定义域与值域
例3．求下列函数的定义域；
（1）
（2）；
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【解析】（1）为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。

∴定义域为。
（2）要使有意义，必须满足
，即，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】求函数的定义域.
【解析】由(k∈Z).
又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.
故所求定义域为.
【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.
【解析】0≤cosx＜1，且.
∴所求函数的定义域为.
【变式3】求的定义域、周期、单调区间．
【答案】
【解析】由，
所以定义域是，周期．
由，
得．
所以函数在上递增．
例4．求函数的值域：
【解析】∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为。
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。
类型三：余弦函数与正切函数的单调性
例5．求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）。
【思路点拨】（1）要将原函数化为再求.（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。
【解析】（1）.
故由2kπ-≤≤2kπ.
2kπ-≤x≤2kπ+ (k∈Z)，为单调增区间；
∴递增区间为［2kπ-，2kπ+］(k∈Z).
（2）由cosx＞0，得2k-＜x＜2k+（k∈Z）。
∵，∴函数的递增区间即为u=cos x的递减区间，
∴（k∈Z）。
故函数的递增区间为（k∈Z）。
【总结升华】（1）求函数()的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。
（2）求单调区间应在定义域内求解。
举一反三：
【变式】三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
例6．比较与的大小．
【解析】∵，，
又∵，y=tan x在内单调递增，
∴，即；
【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小．
举一反三：
【变式】求函数的单调区间．
【解析】，
由．
得，k∈Z．
∴函数的单调递减区间为，k∈Z．

【变式2】求函数的单调增区间.
【答案】
类型四：余弦函数和正切函数的对称性、周期性
例7．指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）。
举一反三：
【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】 D
【解析】由题意知的图象关于对称，∴。
∴a=－b，。
∴。
∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。
例8．求函数的周期。
【思路点拨】应借助函数的周期及函数图象得到周期。
【答案】
【解析】∵函数的周期为π，而函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。
【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。
类型五：余弦函数与正切函数图象的综合应用
例9．求y=lg(sinx-cosx)的定义域；
【思路点拨】本小题实际就是求使sinx>cosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；
【解析】要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0
方法一：利用图象。在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：
在[0，2π]内，满足sinx=cosx的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为
方法二：利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx>cosx,即MN>OM，则。
∴定义域为
方法三：sinx-cosx=sin(x-)>0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ< x-<π+2kπ,解得2kπ+∴定义域为
举一反三：
【变式】已知函数=，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
【解析】由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，
所以的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，
因为的定义域关于原点对称，
且==.
所以是偶函数.
又当x≠(k∈Z)时，
=.
所以的值域为{y|-1≤y<或【巩固练习】
1．若,则（ ）.
A． B．
C． D．
2.函数是上的偶函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3．直线y=3与函数y=tanωx（ω＞0）的图象相交，则相邻两交点的距离是（ ）
A．π B． C． D．
4．函数（x∈R）的最小值等于（ ）
A．―3 B．―2 C．―1 D．
5.在内，使成立的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．若函数y=2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．2π D．4π
7．函数的图象是下图中的（ ）
8.函数y=2tan（3x－）的一个对称中心是( )
A.（，0） B.（，0） C.（－，0） D.（－，0）
9．函数的单调区间为（ ）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
10．当x在区间[0，2π]内时，使不等式成立的x的集合是________．
11．函数的最大值为________．
12．关于x的函数有以下说法：
（1）对任意的，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的，都不是偶函数．
其中不正确的说法的序号是________，因为当=________，该说法不成立．
13．若f（x）具有性质：①为偶函数；②对于任意x∈R，都有；③．则的解析式可以是________（写出一个即可）．
14．已知函数
(1)求的单调递增区间；(2)若，求f(x)的最大值和最小值.
15．，，若该函数是单调函数，求实数a的最大值．
16．已知，满足，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由图象可知C正确．
2.【答案】C
【解析】为偶函数，使用诱导公式.
3．【答案】C
【解析】直线y=3与y=tanωx图象的相邻交点的距离为y=tanωx的最小正周期，∵，故选C．
4．【答案】C
【解析】 ，
∵x∈R，∴ymin=－1．
5.【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：刚刚开始即时，；到了中间即时，；最后阶段即时，.
6．【答案】D
【解析】 由右图可知，图S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1=S2，S3=S4，因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|=2，|OC|=2π，∴S矩形=2×2π=4π，故选D．
7．【答案】A
【解析】当时，cos x递增，也递增；当时，cos x递减，也递减，又为偶函数．
8．【答案】C
【解析】因为正切型函数的对称中心为，所以，解得：，当时，对称中心为．
9．【答案】D
【解析】先作出的图象，再将x轴下方的图象对称对x轴上方，即可得到的图象，如图．由图可知，的单调递增区间是，k∈Z；单调递减区间是，k∈Z．对比选项可得D符合要求．
10．【答案】
【解析】 在同一坐标系中作出y=tan x和的图象，求其交点横坐标，并观察图象便得．
11．【答案】2
【解析】∵，∴当tan x=－1时，有最大值2．
12．【答案】（1）π（或kπ，k∈Z）
【解析】对于（1），显然当，k∈Z时，，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确．
（2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的，都不可能恒为零，从而不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（4）是正确的，不存在这样的，使是偶函数．
因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当（或kπ，k∈Z）时，该说法不成立．
13．【答案】
【解析】根据性质①②可知，关于直线x=0和都对称，而余弦函数中相邻的两对轴之间的距离为半个周期，于是可令周期为，令是函数的最小值，于是可以写出满足条件的一个解析式为，当然答案不止一个．
14．【解析】(1)单增区间为
(2).
15．【解析】由，得（k∈Z）．
∴函数的单调递增区间是（k∈Z）．
同理函数的单调减区间是（k∈Z）．
令，即，又k∈Z，∴k不存在．
令，得k=1．
∴，
这表明在上是减函数，
∴a的最大值为．
16．【解析】∵，∴．
∴，∴，
∴，
∴
．