苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：13函数y=Asin（ωx φ）的图像(基础)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：13函数y=Asin（ωx φ）的图像(基础) |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 304.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-12 00:00:00 | ||
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文档简介
的图象与性质
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；
2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
要点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
要点三：由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02.周期变换：
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一：三角函数的图象
例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
x
x+
0
sin(x+)
0
1
0
-1
0
描点画图：
法二：(图象变换)
函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.
【解析】(五点法)由，得，列表：
x
2x+
0
3sin(2x+)
0
3
0
-3
0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.
举一反三：
【变式1】已知函数．
（1）作出函数的简图；
（2）指出其振幅、周期、初相、值域．
【解析】（1）
列表：
x
0
y
0
2
0
－2
0
描点画图，如下图所示：
把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
（2）振幅为2，周期为4π，初相是，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．
【变式2】如何由函数y=sin x的图象得到函数的图象？
【解析】 解法一：
．
解法二：
．
【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．
类型二：三角函数的解析式
例3．已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式．
【解析】
由题
又是函数的最大值点，是函数的最小值点
，
又函数最高点为（2，2），即
【总结升华】求函数的解析式，值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点（x0，0），与正弦曲线上（0，0）点对应，即，选取k值，确定符合条件的k值．
举一反三：
【变式1】已知函数（A＞0，ω＞0，）的图象的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．
【解析】由已知条件知，又，
∴T=16，，∴．
∵图象过点（6，0），∴，
∴（k∈Z），
又，∴令k=1可得，
∴．
【变式2】如下图为正弦函数的一个周期的图象，写出函数的解析式．
【解析】由题图知，A=2，T=7―(―1)=8，
，∴
将点（―1，0）代入，得．
∴，∴．
类型三：函数的性质的综合运用
例4．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【思路点拨】先由图象上的一个最低点A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定的值，最后由点在图象上求得的值，进而得到函数的解析式；先由的范围，求得的范围，再求得的值域．
【解析】（1）由最低点为，得
由轴上相邻两个交点之间的距离为，得，即
所以
由点在图象上，得，即，
故=，所以
又，所以
故的解析式为．
（2）因为，所以
当=，即时，取得最大值为2；
当=，即时，取得最大值为-1．
【总结升华】利用三角函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等，在求函数值域时，由定义域转化成的范围，即把看作一个整体．
举一反三：
【变式1】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间．
【解析】（1）依题意得：，周期,
,故，又图象过点，
，解得：，即
．
（2）由
得：
故函数的递增区间为：．
【变式2】设函数（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（ ）
A．的图象过点 B．在上是减函数
C．的一个对称中心是 D．的最大值是A
【答案】 C
【解析】 ∵周期T=π，∴，又ω＞0，∴ω=2．
又∵的图象关于直线对称，∴．
∴，∴．∴图象过．
又当时，，则，
∴是的一个对称中心．
【总结升华】 与研究其他函数的性质一样，研究函数（A≠0，ω＞0，）的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间的关系．
【巩固练习】
1.已知函数在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么( )
2.如图，已知函数的图象(部分)，则函数的表达式为( )
A.y=2sin()
B.y=2sin()
C.y=2sin(2x+)
D.y=2sin(2x-)
3．把函数的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）
A．y=sin x B．y=cos x C． D．
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的2倍
5．已知函数的最小正周期为π，将的图象向左平移||个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7.函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
8．函数的图象为C，
①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
以上三个结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．的最小正周期为，其中，则 ．
10．将函数y=sin x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象的函数解析式是________．
11．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为的图象的是________．
12．如图是函数的图象的一部分，则A=________，=________，=________．
13.函数在同一周期内，当时，y有最大值为，当时，y有最小值，求此函数的解析式.
14．设函数图象的一条对称轴是直线.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求函数的单调增区间.
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求在上的取值范围．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】A=2，，代入点(，2)得到
2. 【答案】C
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】．
5．【答案】D
【解析】由T=πω=2，
，
．∴，当k=0时，．
6．【答案】C
【解析】．
7. 【答案】A
8. 【答案】C
【解析】对于①，当时，，因此图象C关于直线对称；对于②，由得，k∈Z，令k=0，得函数在区间内是增函数；对于③，由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故①②正确；③不正确．
9．【答案】10
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】①②
【解析】对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确．
12．【答案】2 2
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期，所以，ω=2，所以，当时，y=0，即，又因为，所以．
13. 【答案】
【解析】∵函数
当时，y取最大值，当x=时，y取最小值
∴可知A=，
周期
故
得到：，将代入，得
得到．
14． 【解析】(Ⅰ)的图象的对称轴，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意得：，
所以函数的单调增区间为
15．【解析】（1）
（2）．
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；
2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
要点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
要点三：由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
类型一：三角函数的图象
例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
x
x+
0
sin(x+)
0
1
0
-1
0
描点画图：
法二：(图象变换)
函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.
【解析】(五点法)由，得，列表：
x
2x+
0
3sin(2x+)
0
3
0
-3
0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.
举一反三：
【变式1】已知函数．
（1）作出函数的简图；
（2）指出其振幅、周期、初相、值域．
【解析】（1）
列表：
x
0
y
0
2
0
－2
0
描点画图，如下图所示：
把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
（2）振幅为2，周期为4π，初相是，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．
【变式2】如何由函数y=sin x的图象得到函数的图象？
【解析】 解法一：
．
解法二：
．
【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．
类型二：三角函数的解析式
例3．已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式．
【解析】
由题
又是函数的最大值点，是函数的最小值点
，
又函数最高点为（2，2），即
【总结升华】求函数的解析式，值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点（x0，0），与正弦曲线上（0，0）点对应，即，选取k值，确定符合条件的k值．
举一反三：
【变式1】已知函数（A＞0，ω＞0，）的图象的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．
【解析】由已知条件知，又，
∴T=16，，∴．
∵图象过点（6，0），∴，
∴（k∈Z），
又，∴令k=1可得，
∴．
【变式2】如下图为正弦函数的一个周期的图象，写出函数的解析式．
【解析】由题图知，A=2，T=7―(―1)=8，
，∴
将点（―1，0）代入，得．
∴，∴．
类型三：函数的性质的综合运用
例4．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【思路点拨】先由图象上的一个最低点A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定的值，最后由点在图象上求得的值，进而得到函数的解析式；先由的范围，求得的范围，再求得的值域．
【解析】（1）由最低点为，得
由轴上相邻两个交点之间的距离为，得，即
所以
由点在图象上，得，即，
故=，所以
又，所以
故的解析式为．
（2）因为，所以
当=，即时，取得最大值为2；
当=，即时，取得最大值为-1．
【总结升华】利用三角函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等，在求函数值域时，由定义域转化成的范围，即把看作一个整体．
举一反三：
【变式1】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间．
【解析】（1）依题意得：，周期,
,故，又图象过点，
，解得：，即
．
（2）由
得：
故函数的递增区间为：．
【变式2】设函数（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（ ）
A．的图象过点 B．在上是减函数
C．的一个对称中心是 D．的最大值是A
【答案】 C
【解析】 ∵周期T=π，∴，又ω＞0，∴ω=2．
又∵的图象关于直线对称，∴．
∴，∴．∴图象过．
又当时，，则，
∴是的一个对称中心．
【总结升华】 与研究其他函数的性质一样，研究函数（A≠0，ω＞0，）的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间的关系．
【巩固练习】
1.已知函数在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么( )
2.如图，已知函数的图象(部分)，则函数的表达式为( )
A.y=2sin()
B.y=2sin()
C.y=2sin(2x+)
D.y=2sin(2x-)
3．把函数的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）
A．y=sin x B．y=cos x C． D．
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的2倍
5．已知函数的最小正周期为π，将的图象向左平移||个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7.函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
8．函数的图象为C，
①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
以上三个结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．的最小正周期为，其中，则 ．
10．将函数y=sin x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象的函数解析式是________．
11．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为的图象的是________．
12．如图是函数的图象的一部分，则A=________，=________，=________．
13.函数在同一周期内，当时，y有最大值为，当时，y有最小值，求此函数的解析式.
14．设函数图象的一条对称轴是直线.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求函数的单调增区间.
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求在上的取值范围．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】A=2，，代入点(，2)得到
2. 【答案】C
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】．
5．【答案】D
【解析】由T=πω=2，
，
．∴，当k=0时，．
6．【答案】C
【解析】．
7. 【答案】A
8. 【答案】C
【解析】对于①，当时，，因此图象C关于直线对称；对于②，由得，k∈Z，令k=0，得函数在区间内是增函数；对于③，由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故①②正确；③不正确．
9．【答案】10
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】①②
【解析】对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确．
12．【答案】2 2
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期，所以，ω=2，所以，当时，y=0，即，又因为，所以．
13. 【答案】
【解析】∵函数
当时，y取最大值，当x=时，y取最小值
∴可知A=，
周期
故
得到：，将代入，得
得到．
14． 【解析】(Ⅰ)的图象的对称轴，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意得：，
所以函数的单调增区间为
15．【解析】（1）
（2）．