华师大版九年级数学下册：27.1.2 圆的对称性 同步练习 （解析版）
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级数学下册：27.1.2 圆的对称性 同步练习 （解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 507.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-10 22:34:15 | ||
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文档简介
27.1.2圆的对称性
一．选择题（共8小题）
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．= C．OE=DE D．∠DBC=90°
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A．3 B．3 C． D．
8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= _________ ．
10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 _________ ．
11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 _________ ．
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 _________ cm．
13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 _________ ．
14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
15．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
16．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
21．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
27.1.2圆的对称性1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A． 相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C． 相等圆心角所对的弧相等 D． 相等圆心角所对的弦相等
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
分析： 利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
解答：解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
故选A．
点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A． 6 B．5 C．4 D． 3
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
解答：解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A． cm B．cm C．cm或cm D． cm或cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答： 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A． 2 B．4 C．6 D．8
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
解答： 解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
点评本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． AE=BE B．= C．OE=DE D． ∠DBC=90°
考点： 垂径定理；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90°．
解答： 解：∵CD⊥AB，
∴AE=BE，=，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故选：C．
点评： 本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A． 4 B． C． D．
考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
专题：计算题；压轴题．
分析： PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．
解答： 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选：B．
点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A． 3 B．3 C． D．
考点： 垂径定理；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
解答： 解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，
∴BD=OB?sin∠BOD==，
∴BC=2BD=，
∴OD=OB?cos∠BOD=?cos60°=，
∴△BOC的面积=?BC?OD=××=，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．
故选：C．
点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D． 2
考点： 垂径定理；圆周角定理．
分析： 当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
解答： 解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，
∴PA==．
故选B．
点评： 本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= 2 ．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂直和垂径定理求出AB=2AC，∠OCA=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=1，根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
解答： 解：
过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC==，
∴AB=2AC=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出AC的长和得出AB=2AC，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 32 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD=CD=4，
∴OP===3，
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD=CD?AP=×8×8=32．
故答案为：32．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
考点： 垂径定理；轴对称的性质．
分析： A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解答： 解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
点评： 正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解答： 解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）．
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 4 ．
考点： 垂径定理；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．
解答： 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 8 ．
考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．
解答： 解：连接OC，如图所示．
∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r﹣1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，
∴r2=32+（r﹣1）2．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD=AC．
∴AC=8．
点评： 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．
三．解答题（共7小题）
15．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
考点： 垂径定理；等腰三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE=BE，求出CE=DE，根据线段垂直平分线性质求出OD=OC，即可得出答案．
解答： 证明：
过O作OE⊥AB于E，
则AE=BE，
∵AD=BC，
∴AD﹣DC=BC﹣DC，
∴AC=DE，
∴CE=DE，
∵OE⊥CD，
∴OC=OD，
即△OCD是等腰三角形．
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出CE=DE．
16．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解答： （1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
18．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
解答： 解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=AB=×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB=×10=5cm，
∴OE===3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；
（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴=，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为：=．
点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．
20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出=，故可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．
解答： 解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴=，AF=BF，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2，
∴BF=BC=，
∴AB=2BF=2；
（2）∵AO⊥BC，BC=2，
∴CE=BE=BC=，
∵∠C=30°，
∴OC===2，即⊙O的半径是2．
点评： 本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
21．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： （1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
解答： 解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH===3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
一．选择题（共8小题）
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等
2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE=BE B．= C．OE=DE D．∠DBC=90°
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A．3 B．3 C． D．
8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= _________ ．
10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 _________ ．
11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 _________ ．
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 _________ cm．
13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 _________ ．
14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
15．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
16．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
18．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
21．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
27.1.2圆的对称性1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A． 相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等
C． 相等圆心角所对的弧相等 D． 相等圆心角所对的弦相等
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
分析： 利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．
解答：解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
故选A．
点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A． 6 B．5 C．4 D． 3
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
解答：解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．
3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A． cm B．cm C．cm或cm D． cm或cm
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解答： 解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A． 2 B．4 C．6 D．8
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．
解答： 解：∵CE=2，DE=8，
∴OB=5，
∴OE=3，
∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，得BE=4，
∴AB=2BE=8．
故选：D．
点评本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． AE=BE B．= C．OE=DE D． ∠DBC=90°
考点： 垂径定理；圆周角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90°．
解答： 解：∵CD⊥AB，
∴AE=BE，=，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
不能得出OE=DE．
故选：C．
点评： 本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A． 4 B． C． D．
考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
专题：计算题；压轴题．
分析： PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．
解答： 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选：B．
点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）
A． 3 B．3 C． D．
考点： 垂径定理；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．
解答： 解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，
∴BD=OB?sin∠BOD==，
∴BC=2BD=，
∴OD=OB?cos∠BOD=?cos60°=，
∴△BOC的面积=?BC?OD=××=，
∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．
故选：C．
点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D． 2
考点： 垂径定理；圆周角定理．
分析： 当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
解答： 解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，
∴PA==．
故选B．
点评： 本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．
二．填空题（共6小题）
9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= 2 ．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂直和垂径定理求出AB=2AC，∠OCA=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=1，根据勾股定理求出AC，即可得出答案．
解答： 解：
过O作OC⊥AB于C，
则AB=2AC，∠OCA=90°，
∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OC=1，由勾股定理得：AC==，
∴AB=2AC=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出AC的长和得出AB=2AC，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是 32 ．
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．
解答： 解：连接OD，
∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，
∴PD=CD=4，
∴OP===3，
∴AP=OA+OP=5+3=8，
∴S△ACD=CD?AP=×8×8=32．
故答案为：32．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．
考点： 垂径定理；轴对称的性质．
分析： A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值
解答： 解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为．
故答案为：
点评： 正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．
12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．
考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解答： 解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）．
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 4 ．
考点： 垂径定理；圆周角定理．
专题： 计算题．
分析： 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．
解答： 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，则AC的长为 8 ．
考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE，由于OB=OC，根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC，BD=CD．在直角三角形BDO中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长．
解答： 解：连接OC，如图所示．
∵点E是的中点，
∴∠BOE=∠COE．
∵OB=OC，
∴OD⊥BC，BD=DC．
∵BC=6，
∴BD=3．
设⊙O的半径为r，则OB=OE=r．
∵DE=1，
∴OD=r﹣1．
∵OD⊥BC即∠BDO=90°，
∴OB2=BD2+OD2．
∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，
∴r2=32+（r﹣1）2．
解得：r=5．
∴OD=4．
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD=AC．
∴AC=8．
点评： 本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，有一定的综合性．
三．解答题（共7小题）
15．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且AD=BC，联结OC、OD．求证：△OCD是等腰三角形．
考点： 垂径定理；等腰三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE=BE，求出CE=DE，根据线段垂直平分线性质求出OD=OC，即可得出答案．
解答： 证明：
过O作OE⊥AB于E，
则AE=BE，
∵AD=BC，
∴AD﹣DC=BC﹣DC，
∴AC=DE，
∴CE=DE，
∵OE⊥CD，
∴OC=OD，
即△OCD是等腰三角形．
点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线后求出CE=DE．
16．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
解答： （1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE===2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
专题： 几何综合题．
分析： （1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；
（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；
解答： 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．
点评： 本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；
18．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．
考点： 垂径定理；勾股定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．
解答： 解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
∵AB=8cm，
∴AE=BE=AB=×8=4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OB=×10=5cm，
∴OE===3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm．
点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．
考点： 垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；
（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
解答： 解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴=，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，
∴劣弧AC的长为：=．
点评： 本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．
20．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
考点： 垂径定理；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出=，故可得出∠C=∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；
（2）在Rt△OCE中根据∠C=30°即可得出OC的长．
解答： 解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴=，AF=BF，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=30°，
∵BC=2，
∴BF=BC=，
∴AB=2BF=2；
（2）∵AO⊥BC，BC=2，
∴CE=BE=BC=，
∵∠C=30°，
∴OC===2，即⊙O的半径是2．
点评： 本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
21．已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
（2）线段EF的长．
考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： （1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
解答： 解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO=90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，
∴OH=AO，
∵BC=10cm，
∴BO=5cm．
∵AO=AB+BO，AB=3cm，
∴AO=3+5=8cm，
∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，
∵EO=5cm，OH=4cm，
∴EH===3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF=2EH=6cm．
点评： 本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．