5.1.2 垂线
第1课时 垂线
第2课时 垂线段
情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣
复习导入 如图5-1-18,观察图形并填空:
图5-1-18
(1)如图①所示,直线AB与直线CD相交于点O,其中对顶角有 2 对,分别为 ∠AOD和∠BOC,∠AOC和∠BOD ;邻补角有 4 对,分别为 ∠AOD和∠AOC,∠AOC和∠BOC,∠BOC和∠BOD,∠AOD和∠BOD .?
(2)图①中,当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC=90°时(如图②),你能求出其他角的度数吗?此图形有什么特点?此时两直线有什么关系?
[说明与建议] 说明:这节课所学习的垂线是在上节学习相交线知识的基础上进行的,垂线是相交线的特殊情况.通过对相交线的复习引出本课内容,体现由一般到特殊的认识过程.建议:通过学生画图、旋转相交线模型等方式形象直观地展现两直线相交的特殊情况,通过对特殊情况的分析归纳出垂线的概念及特征.
情景导入 大家都看到过跳水比赛,下面几幅图片中是几种不同的入水方式,你知道哪个图片中运动员获得的分数最高吗?
图5-1-19
在运动员获得分数最高的图片中,你知道运动员的身体和水面之间的关系吗?这节课我们将要学习有关这种关系的知识.
[说明与建议] 说明:在网上搜集相关跳水视频或图片,将运动员的身体看成直线,提出疑问:怎样入水成绩最好,体现这种位置关系在生活中的应用.建议:可采取慢放的方式,让学生能够看清运动员入水时的瞬间,体会“垂直”含义,从而得出垂直的概念及特征.
教材母题——第9页习题5.1第13题
直线AB,CD相交于点O.
(1)OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线.画出这个图形.
(2)射线OE,OF在同一条直线上吗?
(3)画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?
【模型建立】
两直线相交,对顶角的角平分线互为反向延长线,即两条射线在同一条直线上;邻补角的角平分线互相垂直.这个数学模型在解决几何图形的相关问题时有着重要的意义.
【变式变形】
1.已知:如图5-1-20所示,直线AB,CD,EF相交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,求∠DOG的度数.[答案:∠DOG=55°]
图5-1-20
2.如图5-1-21,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,OE平分∠BON,若∠EON=21°,求∠AOM的度数.[答案:∠AOM=48°]
图5-1-21 图5-1-22
3.如图5-1-22,直线AB,CD,EF相交于点O,EF⊥AB,OG为∠COF的平分线,OH为∠DOG的平分线,若∠AOC∶∠COG=4∶7,求∠DOF,∠DOH的大小.
[答案:∠DOF=110°,∠DOH=72.5°]
[命题角度1] 利用三角尺作已知直线(线段、射线)的垂线
根据题目的要求,选择适当的工具进行操作,用三角尺作垂线:让三角尺的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线,简单说成“一贴,二靠,三画”.用量角器画垂线:让量角器的0刻度线与直线重合,点位于90度线上,画出90度线所在的直线即可.需要注意:如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上.
例 如图5-1-23,∠ABC为钝角.
(1)过点C作AB的垂线;
(2)过点B作AC的垂线;
(3)过点A作BC的垂线段.
图5-1-23
解:如图所示.(1)CF为过点C垂直于AB的直线,垂足F在AB的延长线上.
(2)BE为过点B垂直于AC的直线,垂足E在线段AC上.
(3)线段AD即为点A到BC的垂线段.
[命题角度2] 考查垂线的唯一性
对于垂线性质的考查往往以选择题或判断题的形式出现,解决此类问题的关键在于理解垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.理解此性质在于理解“有且只有”和“过一点”的含义:“有且只有”中,“有”指确定性,“只有”指唯一性;“过一点”的点既可以在直线外也可以在直线上.
例 下列说法正确的有 (B)
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 根据垂线的确定性和唯一性可知①②是正确的,故选B.
[命题角度3] 点到直线的距离的应用
解答此类题的关键在于理解点到直线的距离的概念,点到直线的距离指点到直线的垂线段的长度.理解此概念要抓住以下几点:(1)距离指连接两点的线段的长度,而不是曲线长度;(2)距离是垂线段的长度而不是斜线段的长度.直线由无数个点组成,直线外一点与直线上的点形成无数条线段,在这无数条线段中只有一条是垂线段,它的长度才是点到直线的距离;(3)垂线段最短,在连接直线外一点和线段上各点的线段中,垂线段的长度最短.
例 如图5-1-24,要把水渠中的水引到水池C中,在渠岸的什么地方开沟,水沟的长度才能最短?请把图画出来,并说明理由.
图5-1-24
分析:要解决此题,首先需要将实际问题抽象成数学问题,将水池抽象为一个点,水渠抽象为一条直线,根据垂线段最短,只需要作出点C到水渠所在直线的垂线段即可.
解:如图5-1-25,过点C作水渠的垂线段CD,D为垂足,即在渠岸的D处开沟,水沟的长度才能最短.理由:垂线段最短.
图5-1-25
[命题角度4] 利用垂线的性质求角的度数
根据两条直线互相垂直,可以得到一个角或几个角的度数为90°,由图形特征可以得到两个角或多个角之间的数量关系,然后根据等式的性质通过代数计算求得相关的角的度数.
图5-1-26
例 如图5-1-26,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数;
(2)若∠1=∠BOC,求∠AOC和∠MOD的度数.
[答案:(1)∠NOD=90° (2)∠AOC=60°,∠MOD=150°]
[命题角度5] 判定两条直线垂直
若两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°,则这两条直线互相垂直.利用垂线的定义我们可以判断两条直线是否垂直.
图5-1-27
例 如图5-1-27,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=72°,求∠BOD的度数;
(2)若∠DOE=2∠AOC,判断射线OE,OD的位置关系并说明理由.
[答案:(1)∠BOD=36° (2)OE⊥OD 理由略]
P12 练习
读下列语句，并画出图形：
(1)点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行；
(2)直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于点E.
答案：(图略)．
P14 练习
1．如图，BE是AB的延长线．
(1)由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
(2)由∠CBE＝∠C可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
答案：(1)AD∥BC，根据是“同位角相等，两直线平行”；(2)DC∥AB，根据是“内错角相等，两直线平行”．
2．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
答案：因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出∠4＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，类似地，∠5和∠2是内错角，∠3和∠2是同旁内角，如果度量出它们是直角．也可以判断两条直轨平行．
3．如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分．其中的横格线互相平行吗？你有多少种判别方法？
答案：(略)．
P15 习题5.2
复习巩固
1．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC，如果∠ABC＝31°，∠ADE应为多少度？
答案：由DE∥BC，可知∠ADE＝∠ABC＝31°.
2．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？
答案：根据“同旁内角互补，两直线平行”，可知AB∥CD.
3．如图，这是两条道路互相垂直的交通路口，你能画出它的平面示意图吗？类似地，你能画出两条道路成75°角的交通路口的示意图吗？
答案：(略)．
4．如图，直线a，b，c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3.
(1)从∠1＝∠2可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
(2)从∠1＝∠3可以得出哪两条直线平行？根据是什么？
(3)直线a，b，c互相平行吗？根据是什么？
答案：(1)由∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，可得a∥b；
(2)由∠1＝∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可得以a∥c；
(3)由a∥b，a∥c，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，可得b∥c，从而a，b，c互相平行．
5．如图，有一块方形玻璃，用什么方法可以检查它相对的两条边是否平行？
答案：可以根据“同旁内角互补，两直线平行”，分别量出一对同旁内角，看它们是否互补，也可以在它上面画截线，利用平行线的其他判定方法．
6．根据图中所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线．
答案：a∥b，c∥d，e⊥b、e⊥a.
综合运用
7．如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点．
(1)如果∠B＝∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(2)如果∠D＝∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？
(3)如果∠D＋∠DFE＝180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？
答案：(1)由∠B＝∠DCG，根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB∥CD；
(2)由∠D＝∠DCG，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD∥BC；
(3)由∠D＋∠DFE＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD∥EF.
8．如图，这些图案中有一些平行条纹，请你设计一些类似图案，并把你的设计与同学们交流一下．
答案：(略)．
9．借助直尺、三角尺和量角嚣，在图中找出互相平行的直线和互相垂直的直线．
答案：a∥b，d∥e，f∥g，a⊥d，
b⊥d，a⊥e，b⊥e，g⊥h，f⊥h.
10．如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1＝90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由．
答案：通过度量图中的∠2，∠3，∠4，∠5等于90°，都可以说明平安大街与长安街是互相平行的，其中∠3，∠5，∠2分别是∠1的同位角、内错角和同旁内角，可以直接利用平行线的判定方法；∠4与∠2互为对顶角，又与∠3，∠5互补，也可以与∠1建立联系，从而应用平行线的判定方法．
拓广探索
11．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：A1B1__________AB，AA1__________AB, A1D1__________C1D1，AD__________BC.
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
答案：A1B1∥AB, AA1⊥AB,
A1D1⊥C1D1，AD∥BC.
12．如图，当∠1＝∠3时，直线a，b平行吗？当∠2＋∠3＝180°时，直线a，b平行吗？为什么？
答案：当∠1＝∠3时，由∠1和∠4互为对顶角，得∠1＝∠4，从而∠3＝∠4，因此a∥b.
当∠2＋∠3＝180°时，由∠2和∠4互为邻补角，得∠2＋∠4＝180°，从而∠3＝∠4，因此a∥b.
第1课时 垂线
1. 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD．若∠COA=36°，则∠DOB的大小为（ ）
A． 36° B． 54° C． 64° D． 72°
2. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（ ）
A． 125° B． 135° C． 145° D． 155°
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠COB=135°，则∠MOD等于（ ）
A． 45° B． 35° C． 25° D． 15°
4. 若直线AB与直线CD垂直，则所成的四个角的度数_________.
5. 有一点P和一条直线l，在同一平面内过点P作直线l的垂线，这样的垂线有__________.
答案
1. B 2. B 3. A 4. 都是90? 5. 一条
第2课时 垂线段
1. 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列语句不正确的是（ ）
A. 线段PB的长是点P到直线a的距离
B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D. 线段PC的长是点C到直线PA的距离
2. 如图，点P在直线l外，PB⊥l于点B，A为l上任意一点，则PA与PB的大小关系是（ ）
A． PA＞PB B． PA＜PB C． PA≥PB D． PA≤PB
3. 如图，在△ABC中,∠C＝90°,AC＝3，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是 （ ）
A． 2 B． 3.5 C． 5.8 D． 7
4. 如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5 cm，BC=3 cm，则BD的长度的取值范围是 .
5. 已知：在同一平面内，线段AB的长为10 cm，点A、B到直线l的距离分别为6 cm和4 cm，则符合条件的直线l的条数为 条．
答案
1. C 2. C 3. A 4. 3＜BD＜5
5. 3 [解析] 在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；作线段AB的垂线，将线段AB分成6 cm，4 cm两部分，所以符合条件的直线l有3条.
专题一 相交与平行的综合应用
1．a、b、c是同一平面内任意三条直线，它们的交点可能有（ ）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
2．地面上有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何3条公路交于同一个岔口．现有31位交警刚好满足每一个岔口有且只有一位交警执勤，请你画出公路的示意图．
3．（1）已知平面内有4条直线a、b、c和d．直线a、b和c相交于一点，直线b、c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．
（2）作第5条直线e与(1)中的直线d平行，说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？
专题二 平行线的判定与性质的综合应用
4．a、b、c、d四条直线相交如图所示，如果想添加一个“角相等”的条件，使得将a∥b，那么共有几种不同的添法（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．24种
5．如图，已知AB∥ED，且α＝∠A＋∠E，β＝∠B＋∠C＋∠D，那么β＝2α，请说明理由．
6．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠E＝140?，求∠BFD的度数．
状元笔记
(
［知识要点］
1
．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．
2
．平行线的判定方法有：平行线的定义；平行公理的推论；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补．
3
．平行线的性质有：由两直线平行得到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补；平行公理；平行线间的距离处处相等．
［
温馨提示］
1
．线段、射线平行特指其所在的直线平行．
2
．应用平行线的性质时切不可忽略前提条件“两直线平行”，不能“看着像平行”就认为平行．要从逻辑上、语言结构上区别开平行线的判定与性质，不要互相混淆．
)
答案：
1．B 【解析】平面内任意3条直线的位置关系有如下4种情况：
2．解：如图，用直线表示公路，交点表示岔口．先任意画5条互相平行的直线，接着换一个方向，再画3条互相平行的直线，而后再换第三个方向，画2条互相平行的直线，这样图中直线共有10条，交点共有31个，如图所示：
3．解：（1）这4条直线只有一个交点．理由为：已知直线a、b和c相交于一点，这个交点就是b和c的交点．又知直线b、c和d也相交于一点，这个交点也是b和c的交点，而直线b和c只有一个交点，所以直线a、b、c和d相交于同一点，即这4条直线只有一个交点．
（2）若作直线e∥d，则e与a、b、c都不平行（否则，d也与a、b、c中的某条直线平行，而不是相交，这与（1）中的结论矛盾）．因为同一平面内，两条直线不平行就相交，故e与a、b、c都相交．所以这5条直线共有1＋3＝4个交点．以这些交点为端点的线段共有6条（如图）．
4．C 【解析】由同位角相等或内错角相等，都可得出两条直线平行．先考查同位角，a、b 被c所截，方向向上、向下的同位角各有2对，共4对；同样，a、b被d所截，也有4对同位角，故可推出a∥b的同位角相等的情况有8种．再看内错角，a、b被c、d所截，共形成4对内错角．另外，由“对顶角相等”可知，若添加这4对内错角中每一对的对顶角相等，也可得出a∥b．所以共有16种不同的添法．
5．解：理由如下：因为AB∥ED，所以α＝∠A＋∠E＝180°．
如图，过点C作CF∥AB，则∠B＝∠1．
因为AB∥ED，所以CF∥ED．
所以∠2＝∠D．
因此，β＝∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠BCD＋∠2＝360°．
故β＝2α．
6．解：过点F作FG∥AB，
∵AB∥CD，∴FG∥CD．
∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG＝∠CDF．
∵AB∥CD，∴∠ABE＋∠E＋∠CDE＝2×180°＝360°.
又∵∠E＝140°，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠BFD＝∠BFG＋∠DFG＝∠ABF＋∠CDF＝∠ABE＋∠CDE ＝（∠ABE＋∠CDE） ＝（360°－∠E） ＝（360°－140°）＝110°．
学垂线，防混淆
学会比较、辨析数学概念的异同，是一种重要的学习方法.在学习垂线这部分内容时认真辨析如下概念：
垂线与垂直
当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线.垂直是相交的一种特殊情形.从课本中的这个定义可以知道，垂线是指互相垂直的两条直线，而垂直则是指两条直线之间的位置关系.因此，垂线与垂直是两个既有本质区别又联系密切的不同概念.垂直强调的是一种位置关系，垂线是一种图形.
垂线与垂线段
垂线是相交线的一种特殊情况，它是两条互相垂直的直线，不可度量；垂线段是线段（垂线上一点与垂足之间的线段），可以度量，这是二者的本质不同.二者的相同之处在于：垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是垂线的一部分.
垂线与斜线
垂线与斜线是以两条直线相交是否成直角来区别的，反映了两条直线之间的不同的位置关系，如图1，直线OA、OB、OC、OD都与直线相交，但只有OC是直线的垂线，OA、OB、OD都是的斜线.
图1
垂线和铅垂线
垂线只与两条直线相交所成的角度有关，与这两条直线所在的位置无关；而生活中和生产中经常使用的铅垂线则是特指与地平面（或水平线）垂直的直线.如图2中的和都是垂线，而则可称为铅垂线.
图2 图3
垂线段与点到直线的距离
垂线段是一种几何图形，属于“形”的概念，垂线段的特征：（1）是一条线段；（2）垂直于某一直线.点到直线的距离是指垂线段的长度，属于“量”的概念，不能认为点到直线的距离就是垂线段.如图3，点C到直线AB的距离不是垂线段CD，而是垂线段CD的长度.
5.1.2 垂线
第1课时 垂线
第2课时 垂线段
课题 第1课时 垂线 第2课时 垂线段 授课人
教 学 目 标 知识技能 1.使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,理解垂线的性质,掌握在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论; 2.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
数学思考 经历观察、操作、分析、概括、交流等学习过程,进一步提高学生的作图能力以及运用数学符号进行逻辑推理的能力.
问题解决 通过探索垂线的性质,能解决相关的垂线问题,并能够进行适当的说理.
情感态度 1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展学生交流、合作的能力及有条理地表达自己思想的能力; 2.通过创设情境,利用变式训练等多种教学手段来激发学生的学习兴趣,给学生创造成功的机会,使他们爱学、会学且学会,从而体验成功的快乐.
教学 重点 垂线的概念、画法和垂线的两个性质.
教学 难点 垂线的画法;对点到直线的距离的概念的理解.
授课 类型 新授课 课时
教具 量角器、三角尺、直尺、相交线模型
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图5-1-28 被钉死在十字架上的人是谁?十字架有什么意义? 十字架原是罗马帝国处以死刑的刑具,反映了帝国的残暴本性,原为耻辱的记号.上帝之子耶稣为了拯救人类,被人钉于十字架,舍命,流血,牺牲,第三天从死里复活.使一切信他的人,罪得赦免,与神和好,获得永生.从此,
活动 一: 创设 情境 导入 新课 十字架具有了荣耀、得胜的含义,成了耶稣救人的标志、基督教的标志和爱的标志,也被用来作为医疗的标志. 该图隐含怎样的几何图形? 生活中还有哪些这种图形呢?(书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边等)今天我们就来研究这种特殊情况! 图5-1-29 教师出示相交线的模型(如图5-1-29),演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a,b所成的角∠α是如何变化的? 通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,并且十字架中隐含相交线的特殊情况——垂直.
活动 二: 实践 探究 交流 新知 【探究1】 垂线的概念 1.垂线的定义 (1)【课堂引入】中的图5-1-29,木条a不动,当木条b转到什么位置时,两根木条互相垂直? (2)转动木条b时,它和不动的木条a互相垂直的位置有几个?
活动 二: 实践 探究 交流 新知 (3)当a,b相交形成的角中有一个角是直角时,其他三个角的度数是多少? 通过模型展示及学生交流应使学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠α是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即直线a,b相交所形成的四个角都是直角,都相等. 引导学生概括垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足. 辨析:“互相垂直”与“垂线”.“互相垂直”指两条直线的位置关系;“垂线”是指其中一条直线相对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直”. 图5-1-30 2.垂直的符号表示 垂直用符号“⊥”来表示,“⊥”读作“垂直于”.如图5-1-30,直线AB垂直于直线CD,垂足为O,则记为AB⊥CD,垂足为O,一般在图中任意一个直角处作上直角记号. 3.用垂线的定义进行推理 (1)如图5-1-30,你能说出由什么条件就知道AB与CD互相垂直吗? 因为∠BOC=90°(已知), 所以AB⊥CD(垂直的定义). (2)如果AB⊥CD,那么可得到什么结论? (填空)因为AB⊥CD于点O(已知), 所以 ∠BOC=90°(或∠AOC=90°或∠AOD=90°或∠BOD=90°) (垂直的定义).? 1.通过探究,让学生独立思考,动手操作,经历探索过程,发现结论.培养学生归纳探究的能力及逻辑推理能力.
活动 二: 实践 探究 交流 新知 【探究2】 垂线的性质1 图5-1-31 让学生用三角尺或量角器画已知直线的垂线. (1)如图5-1-31,现有一条已知直线AB,分别过直线外一点C和直线上一点D,作直线AB的垂线,你有几种方法? (2)通过上述方法画出的垂线有几条?从中你能发现什么结论? 学生独立思考,动手操作,自主探索.经过思考、操作,发现对于问题(1)可以有下列两种方法来画垂线: ①用量角器; ②用三角尺,如图5-1-32. 图5-1-32 教师在学生动手操作后演示课件“用三角尺作垂线”,让学生进一步感受画垂线的过程. 师生共同总结画垂线的方法: (1)用三角尺:贴直线——过定点——画垂线. 用三角尺的两条直角边“一贴”:贴住已知直线,“二靠”:靠住已知点,“三画”:画垂线. (2)用量角器. 学生通过思考得到:在同一平面内,经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意:(1)在同一平面内,经过直线上一点或直线外一点画已知直线的垂线,只能画出一条. (2)如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上. 【探究3】 垂线的性质2 2.引导学生总结作垂线的一般方法. 3.培养学生的作图能力、说理能力以及思考问题的严谨性.
活动 二: 实践 探究 交流 新知 1.解释概念 垂线段:垂线上一点到垂足的线段; 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 2.问题:(1)如图5-1-33,在灌溉时需要把河AB中的水引到C处,如何挖渠能使渠道最短? 图5-1-33 (2)从上述探究过程中你能发现什么结论? 图5-1-34 学生可以自主探究,如图5-1-34,先在直线AB上任取一些点,连接这些点和点C,可以发现所连的这些线段中CD最短,此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案.3.学生归纳:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 注意:垂线是直线;垂线段特指一条线段;点到直线的距离是指垂线段的长度,它是一个数量,是有单位的.
活动 三: 开放 训练 体现 应用 【应用举例】 例1 如图5-1-35,在给出的图形上,完成下列作图: (1)作出点A到直线BC的垂线段AD,并量出点A到直线BC的距离; (2)过点B作AC的垂线,垂足为E,过点C作AB的垂线,垂足为F; (3)延长DA,你能发现什么有趣的结论? 图5-1-35 1.通过例题让学生学会画线段的垂线,并感受三角形三边上的高所在的直线相交于一点的这一事实.
活动 三: 开放 训练 体现 应用 解:(1)如图5-1-36.测量略. (2)如图5-1-36. (3)直线DA,BE,CF相交于同一点. 图5-1-36 变式 1.在图5-1-37中分别画出点A,B到直线CD的垂线段AE,BF. 图5-1-37 解:如图5-1-38所示. 图5-1-38 2.如图5-1-39,点A表示小明家,点B表示小明外婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河边钓鱼,怎样走路程最短,请画出行走路径,并说明理由. 图5-1-39 图5-1-40 解:行走路径如图5-1-40,从A到B再到C.理由是两点之间线段最短,垂线段最短. 2.通过变式练习进一步巩固垂线的概念及作图.
活动 三: 开放 训练 体现 应用 【拓展提升】 例2 如图5-1-41,一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地,M,N是位于公路两侧的村庄. 图5-1-41 (1)设汽车行驶到公路AB上的点P位置时,距离村庄M最近;行驶到点Q位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置; (2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段,距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远? 让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题,让他们感受到数学来源于生活,从而增加他们学习数学的兴趣.
活动 四: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下面四种说法: (1)在同一平面内,过一点有一条线和已知直线垂直; (2)在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直; (3)直线的垂线和直线上的任一线段垂直; (4)对顶角中有一个角是直角时,相邻的边互相垂直. 其中说法正确的有 (D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图5-1-42,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是 (C) A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90° C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180° 图5-1-42 3.如图5-1-43是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是线段 AP 的长度.? 通过练习进一步巩固所学垂线的概念及性质,且能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据.
活动 四: 课堂 总结 反思 图5-1-43 4.课本第6页练习. 课后作业: 1.课本第8页习题5.1第3,4,5,6,7题. 2.课本第9页习题5.1第10,12题.
【板书设计】 第1课时 垂线 第2课时 垂线段 框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过耶稣被钉在十字架上引入相交线的模型,并揭示了“十字架”的多重含义.其中渗透了对学生的德育教育,让学生热爱生命,形成博爱的观念,这是对学生进行思想教育非常重要的方法,使学生在学到知识的同时受到了良好的美育、德育教育.
活动 四: 课堂 总结 反思 ②[讲授效果反思] 本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题,使学生在自己动手的基础上,发现垂线的性质,又借助于教具、实物、图形,从直观的感性认识发现抽象的概念,使他们成为探求知识的主体,同时还利用边讲边练的教法让学生对新知加以巩固理解.通过变式训练习题、开放性习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维.在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程,通过学生积极参与、积极思维,使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中,使学生能感受到学习与探索的乐趣. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 ? 错题题号 ? 回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师教学能力.
一、自学范围（课本练习）
二、自学目标：
1、知道垂线的定义、能过一点画出已经直线的垂线、会用符号表示垂直。
2、理解垂线的两个性质
三、自学重点
理解垂线的性质
四、自学过程：
1、自学第一、二自然段：
(
如下图，当∠
AOC
＝
90
°
时，∠
BOD
、∠
AOD
、∠
BOC
等于多少度？为什么？这种位置有几种？直线AB与直线CD的位置关系怎样？
关系有几种？直线
AB
、
CD
的位置关系怎样？
)
(
图一
)
2、什么是垂直呢？
垂直是相交的一种 情况，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．
3、怎么记垂直呢？
如图一：直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”
4、举出生活中垂直的例子：
(
十字路口的两条道路
)
5、自学4页探究：用课本中的作图方法完成下面图形
（1）过直线l上一点A,作直线ABl 垂足为A
（2）过直线AB外一点C,作CDAB,垂足为D.
(3)各能画几条，得到怎样的结论呢？
6、自学5页的思考与探究。
在左图中：与点P相边的线段
中 是最短的，与直线l的
(
l
) 关系是 ，点P到直
线l的距离是 的长度，
五、学效测试
7、下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8、如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.
9、过一点有且只有________直线与已知直线垂直.
10、画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线.
11、完成课本练习
