北师大版九年级数学 中考二次函数综合题（含答案）

　二次函数综合题总结
　线段、面积问题

1. (2019贵州三州联考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
(1)抛物线的解析式为__________，抛物线的顶点坐标为________；
(2)如图①，连接OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
(3)如图②，点E的坐标为(0，－1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
(4)如图③，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
　　
第1题图① 第1题图② 第1题图③



















2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；
(3)如图②，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF∶FE＝2∶1，求点E坐标．

第2题图① 第2题图②















　角度问题
1. (2018河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝x－5经过点B，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线交直线BC于点M.
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
　　　















　直角三角形的存在性问题

1. (2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．








参考答案
　线段、面积问题
1. 解：(1)y＝－x2－2x＋3，(－1，4)；【解法提示】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，∴，解得.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(－1，4)．
(2)∵抛物线与y轴交于点C,
∴C(0，3)．
∵B(－3，0)，
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，BC＝3，
如解图①，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF∥x轴，∴CD∶BC＝CF∶OC＝DF∶OB，∠CDF＝45°，
∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，
∴CD∶BD＝1∶2，
∴CD∶BC＝1∶3，
而BC＝3，
∴CD＝，
∵∠CDF＝45°，
∴CF＝1，DF＝1，
∴点D的坐标为(－1，2)；

第1题解图①
(3) 如解图②，设PE交x轴于点M，∵∠OGE＝15°，∠GOE＝90°，
∴∠OEG＝75°.
∵∠PEG＝2∠OGE，
∴∠PEG＝30°.
∴∠PEO＝45°，
∴△MOE为等腰直角三角形，
∵E(0，－1)，
∴M(－1，0)．
∴PE的解析式为y＝－x－1.解方程组得，
，∵点P为第二象限内抛物线上的动点，∴点P的坐标为(－－，－)；

第1题解图②
(4)不存在．理由如下：如解图③，连接BC，过点P作PD∥y轴交BC于点D，∵C(0，3)，B(－3，0)，
∴BC所在直线的解析式为y＝x＋3，
S△OBC＝OB·OC＝.
假设存在点P(a，－a2－2a＋3)，使四边形BOCP的面积为8，则D(a，a＋3)；
∵S四边形BOCP＝S△OBC＋S△PBC，
∴S△OBC＋S△PBC＝8，
∵C(0，3)，B(－3，0)，
∴＋×3×(－a2－2a＋3－a－3)＝8，
化简得3a2＋9a＋7＝0，∵b2－4ac＝92－4×3×7＝－3<0，∴此一元二次方程无实数解，故不存在点P，使四边形BOCP的面积为8.

第1题解图③
2. 解：(1)将A(－1，0)、B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋4，
得，
解得a＝－，b＝，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
(2)由(1)得y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点D的横坐标为1，
由(1)可得C(0，4)，
∵B(3，0)，
∴直线BC：y＝－x＋4.
∵DA＝DB，
△DAC的周长＝AC＋CD＋AD＝AC＋CD＋BD，
如解图①，连接BC，与对称轴交于点D，

第2题解图①
此时CD＋BD最小，
∵AC为定值，
∴此时△DAC的周长最小，
当x＝1时，y＝－×1＋4＝，
∴D(1，)；
(3)如解图②，作EH∥AB交BC于点H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，
∴△ABF∽△EHF.
∵AF∶FE＝2∶1，
∴＝＝2.
∵AB＝4，
∴EH＝2，
设E(x，－x2＋x＋4)，
则H(x－2，－x＋)，
∵EH∥AB，
∴yE＝yH，
∴－x2＋x＋4＝－x＋，
解得x＝1或x＝2，
∴y＝或4，
∴E(1，)或(2，4)．

第2题解图②













　角度问题
1. 解：(1)∵直线y＝x－5交x轴于点B，交y轴于点C，
∴B(5，0)，C(0，－5)．
∵抛物线y＝ax2＋6x＋c过点B，C，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5；
(2)①∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，
∴∠ABC＝45°.
∵抛物线y＝－x2＋6x－5交x轴于A，B两点，
∴A(1，0)，
∴AB＝4，
∵AM⊥BC，
∴AM＝2.
∵PQ∥AM，
∴PQ⊥BC.
若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ＝AM＝2.
如解图①，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，
则∠PDQ＝45°，
∴PD＝PQ＝4.
设P(m，－m2＋6m－5)，则D(m，m－5)．
分两种情况讨论如下：
(ⅰ)当点P在直线BC上方时，
PD＝－m2＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4，
∴m1＝1(舍去)，m2＝4；
(ⅱ)当点P在直线BC下方时，
PD＝m－5－(－m2＋6m－5)＝m2－5m＝4，
∴m3＝，m4＝，
综上所述，点P的横坐标为4或或；

第1题解图①
②点M的坐标为(，－)或(，－)．
【解法提示】如解图②，当∠AM1B＝2∠ACB时，则AM1＝CM1，
∴点M1在线段AC的垂直平分线上，
∵A(1，0)，C(0，－5)，
∴直线AC的解析式为y＝5x－5，
线段AC的中点H的坐标为(，－)，
∴直线HM1的解析式为y＝－x－，
联立，
解得，
∴点M1的坐标为(，－)；
如解图②，当∠AM2C＝2∠ACB时，则∠AM1B＝∠AM2C，
∴AM1＝AM2，
设线段M1M2的中点为I，连接AI，则AI⊥M1M2，
易得直线AI的解析式为y＝－x＋1，
联立，解得，
∴中点I的坐标为(3，－2)，
∴点M2的坐标为(，－)．
综上所述，点M的坐标为(，－)或(，－)．

第1题解图②


















　直角三角形的存在性问题
1. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式，
得解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
∴C(0，3)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴直线AC的解析式为y＝3x＋3；
(2)如解图①，作点D关于y轴的对称点E，连接BE与y轴交于点M，此时△BDM的周长最小，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴顶点D(1，4)，
∴对称点E(－1，4)，
设直线BE的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，则解得
∴直线BE的解析式为y＝－x＋3，
当x＝0时，y＝3，
∴点M的坐标为(0，3)，此时点M与点C重合；

第1题解图①
(3)在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，坐标为P1(，－)，P2(，)，
理由如下：
①如解图②，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交点为Q，则∠AOQ＝∠CAQ＝90°，
∴∠AQO＋∠OAQ＝∠AQC＋∠ACQ，
∴∠QAO＝∠ACO，
∴△AOQ∽△COA，
∴＝，即＝，
∴OQ＝，
∴Q(0，－)，
易得AQ的解析式为y＝－x－，
联立方程组
解得(为A点坐标，舍去)或
∴点P的坐标为(，－)；

第1题解图②
②如解图③，当点C为直角顶点时，过点P作PK⊥y轴于点K，
∵∠PCK＋∠ACO＝∠ACO＋∠CAO，
∴∠PCK＝∠CAO.
又∵∠PKC＝∠COA，
∴△PCK∽△CAO，
∴＝.
设P(t，－t2＋2t＋3)，则PK＝t，CK＝3－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t，
∴＝.
解得t1＝0(为C点的横坐标，舍去)或t2＝，
∴点P的坐标为(，)．

第1题解图③
综上，抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，点P的坐标为(，－)或(，)．