2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：（每题3分，共计30分）
1．（3分）2﹣2等于（　　）
A．﹣ B．﹣4 C．4 D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（2a）3＝6a3 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a2＝a3
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．a2﹣b2
5．（3分）若（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15，则（　　）
A．m＝7 B．m＝﹣3 C．m＝﹣7 D．m＝10
6．（3分）下列各式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿过点D的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BDE的周长是（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
8．（3分）如果分式方程的解是x＝3，则a的值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
9．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（　　）
A．+＝1 B．++＝1
C．+＝1 D．+2（+）＝1
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AE＝CE B．∠DEC＝∠BAC
C．AF＝AE D．∠B+∠BAC＝90°
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．（3分）把0.000056用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（3分）把多项式m3﹣4m2n+4mn2分解因式的结果为　 　．
14．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，点D在BC边的垂直平分线上，∠C＝35°，则∠A＝　 　度．

15．（3分）分式的值为零，则x的值是　 　．
16．（3分）计算：﹣＝　 　．
17．（3分）如图AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ACD＝5，DE＝2，则AC的长是　 　．

18．（3分）已知x﹣＝1，则x2+＝　 　．
19．（3分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AC上一点，连接BD，若∠CBD＝15°，则∠ABD＝　 　度．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，对角线BD平分∠ADC，连接AC，∠ACB＝2∠DBC，若AB＝4，BD＝10，则S△ABC＝　 　．

三、解答题：（共60分）
21．（7分）计算：
（1）2ab?3b﹣12a3b2÷4a2；
（2）﹣2a?
22．（7分）如图，△ABO在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（﹣3，2）．
（1）作△ABO关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A、B、O的对应点分别是A1、B1、C1）；
（2）将△A1B1C1向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别是A2、B2、C2）；
（3）请直接写出点A2的坐标．

23．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝5．
24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．

25．（10分）龙人文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店准备购进A．B两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总价不超过2650元，则至少购进A种笔记本多少本？
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE垂直为G，交ED于点F．

（1）求证：∠FAD＝2∠ABD；
（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，求证AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，若EF＝3，求线段DF的长．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b+1，0），且a、b满足a2﹣10a++25＝0．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）过点O的直线l上有一点C，连接AC、BC，∠ACB＝90°，如图2，当点C在第二象眼时，BC交y轴于点E，延长AC交x轴于点D，设OD的长为m，AE的长为d，用含m的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，如图3，当点C在第一象限时，过点B作BF⊥BC交OC于点F，连接AF，若OF＝CF，AC＝2，求BC的长．



2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共计30分）
1．（3分）2﹣2等于（　　）
A．﹣ B．﹣4 C．4 D．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：2﹣2等于，
故选：D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3a＝5a2 B．（2a）3＝6a3 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝5a，不符合题意；
B、原式＝8a3，不符合题意；
C、原式＝a6，符合题意；
D、原式＝a4，不符合题意，
故选：C．
3．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列各式中是分式的是（　　）
A． B． C． D．a2﹣b2
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【解答】解：A、不是分式，故此选项错误；
B、不是分式，故此选项错误；
C、是分式，故此选正确；
D、a2﹣b2不是分式，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）若（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15，则（　　）
A．m＝7 B．m＝﹣3 C．m＝﹣7 D．m＝10
【分析】先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可得出答案．
【解答】解：∵（x+5）（2x﹣3）＝2x2﹣3x+10x﹣15＝2x2+7x﹣15，
又∵（x+5）（2x﹣3）＝2x2+mx﹣15，
∴m＝7；
故选：A．
6．（3分）下列各式不是最简分式的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：＝＝，不是最简分式，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿过点D的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BDE的周长是（　　）

A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】根据翻折变换的性质得到DE＝DA，CE＝CA＝12，根据已知求出BE的长，根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：由折叠的性质可知，DE＝DA，CE＝CA＝12，
∵BC＝15，
∴BE＝BC﹣CE＝3
∴△BDE的周长＝BE+BD+DE＝3+BD+AD＝3+AB＝3+9＝12，
即△BDE的周长为12．
故选：B．
8．（3分）如果分式方程的解是x＝3，则a的值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】将x＝3代入方程可求解．
【解答】解：∵分式方程的解是x＝3，
∴
解得：a＝﹣2，
当a＝﹣2时，3+a≠0，
∴a＝﹣2，
故选：C．
9．（3分）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（　　）
A．+＝1 B．++＝1
C．+＝1 D．+2（+）＝1
【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据两队的总工作量为“1”列出方程．
【解答】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需（x﹣2）个月，根据题意，得++＝1或+＝1或+2（+）＝1．观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC，ED⊥BC于点D，DE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（　　）

A．AE＝CE B．∠DEC＝∠BAC
C．AF＝AE D．∠B+∠BAC＝90°
【分析】根据题目中的条件，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可以判断出各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵DF⊥BC，
∴∠B+∠F＝90°，
∠C+∠DEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠F＝∠DEC，
∵∠AEF＝∠DCE，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE，故选项C正确；
∵∠BAC＝∠F+∠AEF，
∴∠AEF＝∠BAC，
∴∠DEC＝∠BAC，故选项B正确；
∴∠B+∠∠BAC＝90°，故选项D正确；
点E不知道是否为AC的中点，故无法判断AE＝CE，故选项A错误；
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．（3分）把0.000056用科学记数法表示为　5.6×10﹣5　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000056＝5.6×10﹣5．
故答案为：5.6×10﹣5．
12．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是　x≠3　．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3．
故答案为：x≠3．
13．（3分）把多项式m3﹣4m2n+4mn2分解因式的结果为　m（m﹣2n）2　．
【分析】先提取公因式m，再利用公式法分解可得．
【解答】解：m3﹣4m2n+4mn2
＝m（m2﹣4mn+4n2）
＝m（m﹣2n）2，
故答案为：m（m﹣2n）2．
14．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，点D在BC边的垂直平分线上，∠C＝35°，则∠A＝　75　度．

【分析】根据点D在BC边的垂直平分线上，可得BD＝DC，∠DBC＝∠C＝35°，再根据BD平分∠ABC，可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，根据三角形内角和定理可求得∠A的度数．
【解答】解：∵点D在BC边的垂直平分线上，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝70°，
∴∠A＝180°﹣35°﹣70＝75°．
故答案为75°．
15．（3分）分式的值为零，则x的值是　　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴3x﹣2＝0，
解得x＝，
故答案为：．
16．（3分）计算：﹣＝　　．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝，
故答案为：
17．（3分）如图AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ACD＝5，DE＝2，则AC的长是　5　．

【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【解答】解：如图，

过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ACD＝5，
即×AC?DF＝5
∴AC＝5．
故答案为5．
18．（3分）已知x﹣＝1，则x2+＝　3　．
【分析】首先将x﹣＝1的两边分别平方，可得（x﹣）2＝1，然后利用完全平方公式展开，变形后即可求得x2+的值．
或者首先把x2+凑成完全平方式x2+＝（x﹣）2+2，然后将x﹣＝1代入，即可求得x2+的值．
【解答】解：方法一：∵x﹣＝1，
∴（x﹣）2＝1，
即x2+﹣2＝1，
∴x2+＝3．

方法二：∵x﹣＝1，
∴x2+＝（x﹣）2+2，
＝12+2，
＝3．
故答案为：3．
19．（3分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AC上一点，连接BD，若∠CBD＝15°，则∠ABD＝　60或30　度．
【分析】分两种情况：①如图1，D在线段AC上时，②如图2，当D在AC的延长线上时，两个角相加和相减可解答．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，D在线段AC上时，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，
∵∠CBD＝15°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣15°＝30°；
②如图2，当D在AC的延长线上时，

同理得∠ABD＝45°+15°＝60°，
故答案为：60或30．
20．（3分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，对角线BD平分∠ADC，连接AC，∠ACB＝2∠DBC，若AB＝4，BD＝10，则S△ABC＝　10　．

【分析】如图，过点C作CF⊥AB于F，CE⊥BD于点E，由等腰三角形的性质可得∠CDB＝∠CBD，BE＝DE＝5，由“AAS”可证△BCE≌△CBF，可得BE＝CF＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，CE⊥BD于点E，

∵BC＝CD，CE⊥BD
∴∠CDB＝∠CBD，BE＝DE＝5，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠DBC，且∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝2∠DBC，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴AC＝CD，
∴BC＝AC，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∴∠BCF＝∠CBE，且∠CEB＝∠CFB＝90°，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF（AAS），
∴BE＝CF＝5，
∴S△ABC＝×4×5＝10，
故答案为：10．
三、解答题：（共60分）
21．（7分）计算：
（1）2ab?3b﹣12a3b2÷4a2；
（2）﹣2a?
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝6ab2﹣3ab2
＝3ab2．
（2）原式＝
＝﹣abc
22．（7分）如图，△ABO在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（﹣3，2）．
（1）作△ABO关于x轴的对称图形△A1B1C1（点A、B、O的对应点分别是A1、B1、C1）；
（2）将△A1B1C1向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别是A2、B2、C2）；
（3）请直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABO关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到△A2B2C2；
（3）依据图形即可得出点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）由图可得，A2（1，﹣3）．
23．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝5．
【分析】直接分解因式，进而利用分式的混合运算法则化简，再把已知代入求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
当x＝5时，原式＝．
24．（8分）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）如图1，求证：AE＝CF；
（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．

【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，AE＝AD，
∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，
∵△ABE≌△CDF，
∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；
作EG⊥BC于G，如图所示：
∵∠CBD＝30°，
∴EG＝BE＝×AB＝AB，
∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，
同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．

25．（10分）龙人文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店准备购进A．B两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总价不超过2650元，则至少购进A种笔记本多少本？
【分析】（1）设A种笔记本每本的进价为x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设购进A种笔记本a本，根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设A种笔记本每本的进价为x元，
，
解得x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解．
∴x+10＝20═30
答：A、B两种笔记本每本的进价分别为20元、30元，
（2）设购进A种笔记本a本，
20a+30（100﹣a）≤2650，
解得a≥35，
∴至少购进A种笔记本35本，
答：至少购进A种笔记本35本．
26．（10分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE垂直为G，交ED于点F．

（1）求证：∠FAD＝2∠ABD；
（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，求证AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，若EF＝3，求线段DF的长．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理，构建关系式解决问题即可．
（2）证明△ABF≌△CED（AAS）即可解决问题．
（3）连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．首先证明△ABE≌△ACH，推出∠AEB＝∠AHC＝135°，推出∠CHD＝90°，过点A作AK⊥ED于H，再证明△AKD≌△CHD（AAS），推出DK＝DH即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠ABD，
∵AG⊥CE，
∴∠FGE＝90°，
∴∠EFG＝∠AFD＝90°﹣∠CED，
∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠CED+∠ABD，
∵∠CED＝∠ABD，
∴∠FAD＝2∠ABD．

（2）如图2中，

∵∠AFD＝90°﹣∠CED，∠ADB＝90°﹣∠ABD，∠CED＝∠ABD，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，∠BFA＝180°﹣∠AFD＝180°﹣∠ADF＝∠CDE，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AF，
∴△ABF≌△CED（AAS），
∴AB＝CE，
∵CE＝AC，
∴AB＝AC．

（3）连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．

∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAH，
设∠ABD＝∠CED＝α，则∠FAD＝2α，∠ACG＝90°﹣2α，
∵CA＝CE，
∴∠AEC＝∠EAC＝45°+α，
∴∠AED＝45°，
∴∠AHE＝45°，
∴AE＝AH，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACH（SAS），
∴∠AEB＝∠AHC＝135°，
∴∠CHD＝90°，
过点A作AK⊥ED于H，
∴∠AKD＝∠CHD＝90°，
∵AD＝CD，∠ADK＝∠CDH，
∴△AKD≌△CHD（AAS）
∴DK＝DH，
∵AK⊥DF，AF＝AD，AE＝AH，
∴FK＝DK，EK＝HK，
∴DH＝EF＝3，
∴DF＝6．
27．（10分）如图，平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b+1，0），且a、b满足a2﹣10a++25＝0．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）过点O的直线l上有一点C，连接AC、BC，∠ACB＝90°，如图2，当点C在第二象眼时，BC交y轴于点E，延长AC交x轴于点D，设OD的长为m，AE的长为d，用含m的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，如图3，当点C在第一象限时，过点B作BF⊥BC交OC于点F，连接AF，若OF＝CF，AC＝2，求BC的长．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，得到A、B两点的坐标；
（2）证明△ADO≌△BEO，根据全等三角形的性质解答；
（3）过点O作OM⊥AC于M，ON⊥CB交延长线于点N，过点B作BK⊥CF于K，过点F作FQ⊥AC于Q，证明△OAM≌△OBN，根据青岛市三角形的性质得到OM＝ON，根据角平分线的判定定理得到∠MCO＝∠BCO＝45°，证明△AOF≌△OBK，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣10a++25＝0，
∴（a﹣5）2+＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得，a＝5，b＝4，
∴A（0，5），B（5，0）；
（2）∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝∠CBD+∠ADO＝90°，
∴∠DAO＝∠CBD，
在△ADO和△BEO中，
，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OD，
∴AE＝5﹣OE，即d＝5﹣m；
（3）过点O作OM⊥AC于M，ON⊥CB交延长线于点N，过点B作BK⊥CF于K，过点F作FQ⊥AC于Q，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°，
∵四边形AOBC的内角和为360°，∠AOB＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∵∠OBC+∠OBN＝180°，
∴∠OAM＝∠OBN
在△OAM和△OBN中，
，
∴△OAM≌△OBN（AAS）
∴OM＝ON，
∴∠MCO＝∠BCO＝45°，
∵BF⊥BC，
∴∠CBF＝90°，
∴∠CFB＝45°，
∴∠BKF＝90°，KF＝KC，∠KBF＝∠KBC＝45°
∴KF＝KC＝KB，
∵OF＝CF，
∴OF＝BK，
∵∠AOF+∠FOB＝∠FOB+∠KBO＝90°，
∴∠AOF＝∠OBK，
在△AOF和△OBK中，

∴△AOF≌△OBK（SAS）
∴∠AFO＝∠BKO＝90°，
∴∠AFC＝90°，∠FAC＝45°，
∴AQ＝CQ，∠AFQ＝∠CFQ＝45°，
∴FQ＝FB＝CQ＝BC，
∴BC＝AC＝．