第05讲 中考数学满分冲刺（五）
典例分析
单动点形成的最值问题：
例1、如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.
例2、如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
二、动点形成等腰三角形存在性问题：
例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
例2、如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
三、动点形成全等、相似三角形存在性问题：
例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例2、已知抛物线C1：的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．
1、如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为 （ ）
A． 4 B． 3
C． 2 D． 1
2、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．12
C． D．
3、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为 （ ）
? ?A.1? ?B.2?
?C.3? ?D.4
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
5、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 ．
6、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
2、已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
第05讲 中考数学满分冲刺（五）
典例分析
单动点形成的最值问题：
例1、如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙O的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.
【答案】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴顶点D的坐标为.
令y=0，得，解得.
∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为，点B的坐标为.
（2）如答图1，过D点作DG⊥y轴于点G，
则G，GD=3.在中令x=0，得，∴点C的坐标为.
∴GC=.设抛物线对称轴交x轴于点M，∵OE⊥CD，∴∠GCD+∠COH=90°.
∵∠MOE+∠COH=90°，∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OME=90°，∴△DCG∽△EOM.
∴，即.∴EM=2，即点E的坐标为（3，2），ED=3.
由勾股定理，得，∴.∴△AED是直角三角形.
设AE交CD于点F，∴∠ADC+∠AFD=90°.
又∵∠AEO+∠HFE=90°，∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.
（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理得，
∴要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即最小.
设点P的坐标为（x，y），根据勾股定理得.
∵，∴.
∴.
∴当y=1时，最小值为5.
把y=1代入，得，
解得.
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴舍去.
∴点P的坐标为（5，1）.
此时点Q的坐标为（3，1）或.
【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直角三角形两锐角的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理和逆定理；7.切线的性质；8.二次函数的性质；9.解二元二次方程组.
例2、如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线图象经过
A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴根据交点式，得.
∴抛物线的解析式为：.
（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得，
解得：m=3或m=﹣2.∵C（m，m﹣1）位于第一象限，∴，解得m＞1.
∴m=﹣2舍去，m=3.∴点C坐标为（3，2）.
由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5.
如答图，过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形.
∵，∠AHC=∠BHC=90°∴△AHC∽△CHB. ∴∠ACH=∠CBH.
∵∠CBH+∠BCH=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°.
∴∠ACB=90°. ∴DECF是矩形.
②存在，如答图，连接CD，
∵四边形DECF是矩形，∴EF=CD.
根据垂线段的性质，当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），∴DC的最小值是2. ∴EF的最小值是2.
【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.二次函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.相似三角形的判定和性质；6.矩形的判定和性质；7. 垂线段的性质．
二、动点形成等腰三角形存在性问题：
例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），C（0，2），
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）存在．∵，∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．
若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，则CP1=CP2=CP3=CD．
如答图1，作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．
（3）当y=0时，，
解得x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，
解得：，∴直线BC的解析式为：．
如答图2，过点C作CM⊥EF于M，
设E（a，），F（a，），
∴EF=﹣（）
=（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF
=BD?OC+EF?CM+EF?BN，
=
=（0≤x≤4）．
∴当a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，此时E（2，1）．
【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与言辞的关系；5.二次函数的性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．
例2、如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，解得.
∴该二次函数的解析式为．
令x=0，得y=，∴C（0，）．
（2）存在．
如答图1，过点Q作QH⊥OA于H，此时QH∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC=，AQ=4．
∵QH∥OC，∴△AHQ∽△AOC.
∴，即.
∴．
①如答图2，作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，HE=AH﹣AE=，
∴在Rt△EHQ中，，
解得 ，∴OA﹣AE=∴E（，0）．
②如答图3，以Q为圆心，AQ长半径画圆，
交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AH=，∴AE=，
∴OA﹣AE=3﹣=，∴E（，0）．
③当AE=AQ=4时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为．理由如下：
如答图4，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形.
∵FQ∥OC，∴△AFQ∽△AOC.
∴，即.
∴AF=，FQ=，∴Q.
∵DQ=AP=t，∴D.∵D在二次函数上，
∴，解得t=或t=0（与A重合，舍去）.
∴D．
【考点】1.二次函数综合题；2.双动点和折叠问题；3.等腰三角形存在性问题；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.相似三角形的减少性质；7.分类思想和方程思想的应用．
三、动点形成全等、相似三角形存在性问题：
例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0），∴0=4a﹣2b+4，
∵对称轴是x=3，∴，即6a+b=0，两关于a、b的方程联立解得，
∴抛物线为．
（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，∴BC=MN．
①如答图1，N在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合．
设M（x，），则N（x+2，），
∵N在x轴上，∴=0，解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，
∴xM=6. ∴M（6，4）．
②如答图2，M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．
设M（x，），则N（x﹣2，），
∵N在x轴上，∴=0，解得 x=或x=，
∴xM=或．
∴M（，﹣4）或（，﹣4）
综上所述，M的坐标为（6，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．
（3）点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【考点】1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5. 平行四边形的性质；6.勾股定理；7.全等三角形的性质；8.分类思想的应用．
【分析】（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为，又过点A（﹣2，0），所以函数表达式易得．
（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．
（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可．∵OC=4，OB=3，∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x轴上，∴D为（﹣2，0）或（8，0）．
①当D为（﹣2，0）时，如答图3，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1，P2，此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2BD，
∵BC=BD，∴E为CD的中点，即E（﹣1，2），
设过E（﹣1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴BE：．
设P（x，y），则有，解得 ，或.
则P1（，），P2（，）．
②当D为（8，0）时，如答图4，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4BD，
∵BC=BD，∴F为CD的中点，即F（4，2），
设过F（4，2），B（3，0）的直线为y=mx+n，
则，解得 ，
∴BE：．
设P（x，y），则有，
解得 或.
则P3（，），P4（，）．
综上所述，点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
例2、已知抛物线C1：的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．
（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；
（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；
（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线C1：的顶点为A，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）．∵抛物线C1：经过点B（﹣2，﹣1），
∴，解得：a=1．∴抛物线C1的解析式为：．
（2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得，
∴抛物线C2的解析式为：．
设直线AB的解析式为y=kx+b．∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1），
∴，解得：.∴直线AB的解析式为．
联立，解得：或．
∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）．∴OC=3，OD=3．
如答图1，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点A作AF⊥y轴，垂足为F，
∵A（﹣1，﹣2），∴AF=1，AE=2．
∴．
∴S△OAC：S△OAD的值为2．
（3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H，设点G的坐标为（0，t），
当m∥l时，CG∥PQ．∴△OCG∽△OPQ．∴．
∵P（﹣4，0），Q（0，2），∴OP=4，OQ=2. ∴，解得OG=.
∴t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形．
∵t=0时，直线m与x轴重合，∴直线l，m与x轴不能构成三角形．∴t≠0且t≠．
①t＜0时，如答图2所示．
∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH，
∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH．
当∠PHC=∠GHQ时，∵∠PHC+∠GHQ=180°，
∴∠PHC=∠GHQ=90°．
∵∠POQ=90°，∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ．
∴△PHC∽△GHQ．
∵∠QPO=∠OGC，∴tan∠QPO=tan∠OGC．
∴，即，解得OG=6．∴点G的坐标为（0，﹣6）
设直线m的解析式为y=mx+n，∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上，
∴，解得：．∴直线m的解析式为.
联立，解得：或．∴E（﹣1，﹣4），此时点E在顶点，符合条件．∴直线m的解析式为．
②O＜t＜时，如答图3所示，
∵tan∠GCO=，tan∠PQO=，
∴tan∠GCO≠tan∠PQO．∴∠GCO≠∠PQO．
∵∠GCO=∠PCH，∴∠PCH≠∠PQO．
又∵∠HPC＞∠PQO，∴△PHC与△GHQ不相似．∴符合条件的直线m不存在．
③＜t≤2时，如答图4所示．
∵tan∠CGO=，tan∠QPO=．
∴tan∠CGO≠tan∠QPO．∴∠CGO≠∠QPO．
∵∠CGO=∠QGH，∴∠QGH≠∠QPO.
又∵∠HQG＞∠QPO，∴△PHC与△GHQ不相似．
∴符合条件的直线m不存在．
④t＞2时，如答图5所示，此时点E在对称轴的右侧．
∵∠PCH＞∠CGO，∴∠PCH≠∠CGO．
当∠QPC=∠CGO时，
∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ，
∴△PCH∽△GQH．∴符合条件的直线m存在．
∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°，∴△POQ∽△GOC．∴，即，解得OG=6．∴点G的坐标为（0，6）．
设直线m的解析式为y=px+q，∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上，
∴，解得：．∴直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，此时直线m的解析式为和y=2x+6．
【考点】1.二次函数综合题；2.平移问题；3.相似三角形存在性问题；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数的性质；8.分类思想的应用．
1、如图为反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．则四边形OBAC周长的最小值为 （ ）
A． 4 B． 3
C． 2 D． 1
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题，矩形的判定和性质，
配方法的应用，函数的最值。
【分析】∵反比例函数在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，
过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．
∴四边形OBAC为矩形。
设宽BO=x，则AB=，
则。
∴四边形OBAC周长的最小值为4。故选A。
2、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）
A．8 B．12
C． D．
【答案】C．
考点：1．圆的综合题；2．最值问题；3．动点型．
3、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为 （ ）
? ?A.1? ?B.2?
?C.3? ?D.4
【答案】B。
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【答案】．
【考点】1.单动点问题；2. 三角形三边关系；3.勾股定理．
5、在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为 ．
【答案】.
【考点】1.轴对称的应用（最短路线问题）；
2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.
【分析】如答图，作A点关于直线y=x的对称点A′，连接A′B，交直线y=x于点P，此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′=1，BO=2，PA′=PA，
∴．
∴PA+PB的最小值为.
6、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
【答案】10。
【考点】正方形的性质，轴对称的应用（最短路线问题），勾股定理。
【分析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。
∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称。
∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。
∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8。∴。
∴PB+PE的最小值是10。
1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），C（0，2），
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（2）存在．
∵，
∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．
若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，则CP1=CP2=CP3=CD．
如答图1，作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．
（3）当y=0时，，
解得x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为：．
如答图2，过点C作CM⊥EF于M，
设E（a，），F（a，），
∴EF=﹣（）
=（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF
=BD?OC+EF?CM+EF?BN，
=
=（0≤x≤4）．
∴当a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，此时E（2，1）．
【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与言辞的关系；5.二次函数的性质；6.勾股定理；7. 等腰三角形的性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想、转换思想和数形结合思想的应用．
2、已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），C（，0），
∴设抛物线的解析式为．
∵抛物线经过B（0，2），∴，解得．
∴抛物线的解析式为即．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，∴△AOQ≌△BOP（ASA），∴OQ=OP=t．
①如答图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．
∵BQ=AP，∴2﹣t=（2+t），解得t=．
②如答图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
∵BQ=AP，∴t﹣2=（2+t），解得t=6．
综上所述，t=或6时，BQ=AP．
（3）存在，当t=时，抛物线上存在点M（1，1）；
当t=时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．
【考点】1．二次函数综合题；2．单动点问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．全等三角形的判定和性质；6．等腰直角三角形的判定和性质；7．等边三角形的性质；8．勾股定理；9．分类思想和方程思想的应用．
【分析】（1）因为抛物线经过A（﹣2，0），C（，0），所以可设交点式，应用待定系数即得a、b、c的值即得解析式．
（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性：
∵AQ⊥BP，∴∠QAO+∠BPO=90°．
∵∠QAO+∠AQO=90°，∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，∵∠AQO=∠BPO，∠AOQ=∠BOP=90°，AO=BO，
∴△AOQ≌△BOP（AAS）．∴OP=OQ．∴△OPQ为等腰直角三角形．
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，∴M在y=x上．
设M（x，y），则，
解得 或，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如答图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ．
∴t2+2t﹣2=0．∴t=，t=（负值舍去）．
②如答图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，
作ME⊥x轴于E，则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2．
∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ．
∴t2﹣6t﹣18=0．
∴t=，t=（负值舍去）．
综上所述，当t=时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
【答案】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，
BC=16cm，∴AB=8cm，BD=4cm，
AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，
ED=BD﹣BE=3cm，∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1.∴BM=cm. ∴t=s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，
∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．
当≤t≤4时，SMNGN=1cm2．
当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2
∴S关于t的函数关系式为：.
（3）分两种情况：
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm，
∴EN=3cm+6cm=9cm. ∴t=9s，故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；
②当DC=PC时，DC=PC=12cm，∴NC=6cm.
∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm.∴t=（15﹣6）s.
故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
【考点】1.双动点问题；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6. 等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
