第02讲 中考数学满分冲刺（二）
典例分析
反比例函数问题：
例1、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，则的取值范围是（ ）
A. 2≤≤ B. 6≤≤10
C. 2≤≤6 D. 2≤≤
例2、如图，反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是 （ ）
A. B.
C. D.
例3、如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线（k＜0）上运动，则k的值 ．
例4、如图，反比例函数（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为 ．
二、一次函数、反比例函数与二次函数综合问题：
例1、函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
例2、二次函数（b＞0）与反比例函数在坐标系中的图象（ ）
A. B. C. D.
例3、如图 ①双曲线（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．
例4、已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（），则k的值为（ ）
A. B.
C. D.
2、已知反比例函数的图像如图，则二次函数的图像大致（ ）
A. B.
C. D.
3、在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有 （ ）
A. 1个 B. 1个或2个
C. 个或2个或3个 D. 1个或2个或3个或4个
4、如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 ．
5、如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
6、如图，点E，F在函数的图象上，直线EF分别与轴、轴交于点A，B，且BE：BF=1：. 过点E作EP⊥轴于P，已知△OEP的面积为1，则值是 ，△OEF的面积是 （用含的式子表示）
7、如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．
1、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2、已知直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．
（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3、在平面直角坐标系中, 抛物线与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.
（1）如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
第02讲 中考数学满分冲刺（二）
典例分析
反比例函数问题：
例1、如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，则的取值范围是（ ）
A. 2≤≤ B. 6≤≤10
C. 2≤≤6 D. 2≤≤
【答案】A．
【考点】1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法的应用；23.曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式．
【分析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为，∴k≥2．
随着k的增大，反比例函数的图象必须和BC直线有交点才能满足题意，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为，
联立，消去y，得.
∵函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，∴方程有实数根.
∴.综上可知2≤k≤．故选A．
例2、如图，反比例函数（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A．
【考点】1.反比例函数的综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；
3.等腰直角三角形的性质；4.轴对称的性质；5.方程思想的应用．
【分析】如答图，连接BB′，PB′，
∵A点坐标为（﹣1，1），∴k=﹣1×1=﹣1.
∴反比例函数解析式为.
∵OB=AB=1，∴△OAB为等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°.
∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°.
∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ.
∴∠BPQ=∠B′PQ=45°，即∠B′PB=90°. ∴B′P⊥y轴，
∵P（0，t），点B′在反比例函数的图象上，∴B′点的坐标为（）.
∵PB=PB′，∴.
整理得t2﹣t﹣1=0，解得（舍去）.∴t的值为．故选A．
例3、如图，已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线（k＜0）上运动，则k的值 ．
【答案】﹣6．
【分析】∵双曲线关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA=OB．
如答图，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC=．∴OC=OA．∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠FOC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．∴△AEO∽△OFC．
∴．∴OF=AE，FC=EO．
设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE=a，OE=b．
∴OF=AE=a，FC=EO=b．
∵点A在双曲线上，∴ab=2．∴FC?OF=b?a=3ab=6.
设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．
∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy=6．∴xy=﹣6．∵点C在双曲线上，∴k=xy=﹣6．
例4、如图，反比例函数（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为 ．
【答案】8.
【考点】1.反比例函数系数k的几何意义；
2.待定系数法的应用．
【分析】设E（a，），则B纵坐标也为，
∵E是AB中点，∴F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，
∴BF=. ∴点F为BC的中点，∴．
二、一次函数、反比例函数与二次函数综合问题：
例1、函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B．
【考点】1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．
【分析】分a＞0和a＜0两种情况讨论：
当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合；
当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合．故选B．
例2、二次函数（b＞0）与反比例函数在坐标系中的图象（ ）
A. B. C. D.
【答案】B．
【考点】1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用．
【分析】先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：
∵当反比例函数经过第二、四象限时， a＜0，∴抛物线（b＞0）中a＜0，b＞0，∴抛物线开口向下. 所以A选项错误.
∵当反比例函数经过第一、三象限时， a＞0，∴抛物线（b＞0）中a＞0，b＞0，∴抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.故选B．
例3、如图 ①双曲线（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）过B（3，1），C（﹣1，﹣3），
∴，解得：.∴抛物线的解析式为：.
把B（3，1）代入（k≠0）得：，解得：k=3，∴双曲线的解析式为：．
（2）存在，设直线BC为，
∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴，解得.∴直线BC为：y=x﹣2，
∴直线BC与坐标轴的交点（2，0），（0，﹣2）.
如答图，连接OB，过O作OM⊥BC，则OM=.
∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），∴OB=OC=.
∴CM=.∴tan∠COM=.
∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°.
∴∠POE=∠COM. ∴tan∠POE=2.∵P点是抛物线上的点，∴设P（p，）.
∴，解得：. ∴P（，1）.
（3）∵直线CO过C（﹣1，﹣3），∴直线CO的解析式为y=3x.
解得或（舍去）.∴D（1，3）.∵B（3，1），∴直线OB的斜率=.
∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，∴DF∥OB.
∴直线l的斜率=﹣3，直线DF的斜率=.
∵直线l过B（3，1），直线DF过D（1，3），
∴直线l的解析式为y=﹣3x+10，直线DF解析式为.
解得，∴F（）.∴DF=.
∵DF∥OB，∴△NDF∽△NBO. ∴.∵OB=，∴．
【考点】1.二次函数和反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.等腰三角形的性质；6.锐角三角函数定义；7.相似三角形的判定和性质．.
【分析】（1）用待定系数法即可求得．
（2）过O作OM⊥BC，则OM=，因为OB=OC=，根据勾股定理求得CM=，进而求得tan∠COM=，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标．
（3）根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DF∥OB得出即可求得．
例4、已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ，衍生直线的解析式是 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）y=﹣x2﹣3；y=﹣x﹣3．
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴联立，得，解得，或 .
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，
∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得 a=2.
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．
（3）存在.∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3.
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），
∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，
MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．
①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，
解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．
②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得 x=9，即P（9，﹣2）．
③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．
综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．
【考点】1. 新定义；2.二次函数和一次函数综合问题；3.单动点、线动旋转和平移问题；4.待定系数法的应用；5.曲线上点的坐标与方程的关系；6.二次函数的性质；7.勾股定理；8.分类思想的应用.
1、如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（），则k的值为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C．
【考点】1.正方形的性质；2反比例函数图象上点的坐标特征；
3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理．
【分析】如答图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°．
∵∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF．
在△ABE和△DAF中，∵∠BAE=∠ADF，∠AEB=∠DFA，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF（AAS）．∴AF=BE，DF=AE．
∵正方形的边长为2，B（），∴BE=，AE=．
∴OF=OE+AE+AF=．∴点D的坐标为（，5）．
∵顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k=xy=×5=8．故选C．
2、已知反比例函数的图像如图，则二次函数的图像大致（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【考点】1.反比例函数的图象与性质；2. 二次函数的图象与性质；3.不等式的性质；4.数形结合思想的应用.
【分析】∵反比例函数的图像经过，∴.
∴二次函数的图像开口向下，且对称轴为.
∵，∴，即对称轴在－1与0之间. 故选D．
3、在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有 （ ）
A. 1个 B. 1个或2个
C. 个或2个或3个 D. 1个或2个或3个或4个
【答案】C．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，
C2图象是x=﹣y2﹣2y，a非常小时，直线y=a（a为常数）与C1没有交点，共有一个交点；直线y=a经过C1的顶点时，共有两个交点；
直线y=a（a为常数）与C1、有两个交点时，直线y=a（a为常数）与C1、C2的交点共有3个交点．故选C．
4、如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，…，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数的图象相交于点P1，P2，P3，P4，…Pn作P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，…，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为 ．
【答案】．
【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．曲线上点的坐标与方程的关系．
【分析】设OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣2An﹣1=a，
∵x=a时，，∴P1的坐标为（a，）．
∵x=2a时，y=2×，∴P2的坐标为（2a，），
∴Rt△P1B1P2的面积=，
Rt△P2B2P3的面积=，
Rt△P3B3P4的面积=，…，
∴△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积=．
5、如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．
【答案】
【分析】如答图，设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，
则有PD⊥OA，PE⊥AB．
设⊙P的半径为r，∵AB=5，AC=1，∴S△APB=AB?PE=r，S△APC=AC?PD=r．
∵∠OAB=90°，OA=4，AB=5，∴OB=3．
∴S△ABC=AC?OB=×1×3=．∵S△ABC=S△APB+S△APC，∴．
∴PD=．∵PD⊥OA，∠AOB=90°∴∠PDC=∠BOC=90°．∴PD∥BO．
∴△PDC∽△BOC．∴，即．∴CD=．
∴OD=OC﹣CD=．∴点P的坐标为．
∵反比例函数（k≠0）的图象经过圆心P，∴k=．
6、如图，点E，F在函数的图象上，直线EF分别与轴、轴交于点A，B，且BE：BF=1：. 过点E作EP⊥轴于P，已知△OEP的面积为1，则值是 ，△OEF的面积是 （用含的式子表示）
【答案】2；.
【考点】1.反比例函数综合题，2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.反比例函数的比例系数的几何意义；4.平行的判定和性质；5.相似三角形的判定和性质；6.转换思想的应用．
【分析】如答图，过点E作EC⊥x轴于C，过点F作FD⊥x轴于D，过点作FH⊥y轴于H，∵△OEP的面积为1，∴ |k|=1.∵k＞0，∴k=2. ∴反比例函数解析式为.
∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH. ∴△BPE∽△BHF.∴.
设E点坐标为，则F点的坐标为，
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=1，
∴．
7、如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线（）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．
【答案】．
【解析】试题分析：因为点A在双曲线（）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，），可得：k==，故答案为：．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．
1、如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）∵ y=x﹣1，∴ x=0时，y=﹣1，
∴ B（0，﹣1）．当x=﹣3时，y=﹣4，∴ A（﹣3，﹣4）．
∵ y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，
∴ ，解得，∴ 抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；
（2）∵ P点横坐标是m（m＜0），∴ P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）.
如答图1，当点P在点D下方时，过点B作BE⊥PC于点E，
∴ BE=﹣m．∴ CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2.
∴ PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2.
若S四边形OBDC=2S△BPD，则，
解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=.
如答图2，当点P在点D上方时，过点B作BE⊥PC于点E，∴ BE=﹣m．
∴ PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2.
若S四边形OBDC=2S△BPD，则，
解得：m=0（舍去）或m=﹣3.
综上所述，当m=，﹣2或﹣3时，S四边形OBDC=2S△BPD.
（3）设P（m，m 2+4 m﹣1），则D（m，m﹣1），
∵，∴分∠APD=90°和∠PAD=90°.
如答图3，当∠APD=90°时，
AP∥x轴，∴ ，即，
解得，.
∴ .
如答图4，当∠PAD=90°时，过点A作AE⊥x轴于E，
∴ ∠AEF=90°．CE=，EF=4，AF=，
PD=．
∵ PC⊥x轴，∴ ∠DCF=90°. ∴ ∠DCF=∠AEF.
∴ AE∥CD．∴ . ∴ AD=．
∵△PAD∽△FEA，∴.
∴，解得m=﹣2或m=﹣3
∴ P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）（与点A重合，舍去）.
综上所述，存在点P，使△PAD是直角三角形，点P的坐标为或.
【考点】1.二次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.四边形和三角形的面积公式；5.直角三角形的判定和性质；6.平行的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想、数形结合思想和方程思想的应用.
2、已知直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．
（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0），
∴，解得：.∴ 抛物线的解析式为：.
（2）如图①，设P（），就有OE=p，PE=，
∵ PQ⊥l，∴ EQ=2，∴ QP=．
在Rt△POE中，由勾股定理，得PO=，∴ PO=PQ.
（3）（i）如图②，∵ BN⊥l，AM⊥l，∴ BN=BO，AM=AO，BN∥AM.
∴ ∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．
∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
∴ ∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°.
∴ 2∠BON+2∠AOM=180°. ∴∠BON+∠AOM=90°.
∴ ∠MON=90°. ∴ ON⊥OM.
（ii）如答图，过点F′作F′H⊥l于H，过点D作 DF⊥l于G，交抛物线与F，过点F′作F′E⊥DG于E，
∴ ∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O.
∴ 四边形GHF′E是矩形，
FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D.
∴ EG=F′H. ∴DE＜DF′. ∴ DE+GE＜HF′+DF′.
∴ DG＜F′O+DF′，∴ FO+FD＜F′O+DF′.
∴ F是所求作的点．∵ D（1，1），∴F的横坐标为1. ∴F（1，）．
【考点】1.二次函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.三角形内角和定理；6.平行线的性质；7.矩形的判定和性质；8.三角形边角关系．
3、在平面直角坐标系中, 抛物线与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.
（1）如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）A（，0），B（2，3）．
（2）设P（x，）．
如答图1，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点H，则H（x，x+1）．
∴．
∴
当x=时， ．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（）．
（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：,
令=0，即，解得：x=或x=1．∴C（，0），OC=k．
假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图2，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．
设点N为OC中点，连接NQ，
则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．
∴．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF.
∴，即：，解得：.
∵k＞0，∴.∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时．
【考点】1.二次函数与一次函数综合题；2.单动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理；6.圆周角定理；7.直线与圆的位置关系；8.相似三角形的判定和性质；9.解一元二次方程.
