学科教师辅导讲义
学员编号：
年 级：七年级
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数学
学科教师：
授课主题
第01讲---整式的乘除
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方）
掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架
二、知识概念
（一）同底数幂的乘法
1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）
2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①都是正整数）
②都是正整数）
（二）幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。
2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）
积的乘方
1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等
2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）
（三）平方差与完全平方公式
1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：。平方差公式的逆用即
平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、完全平方公式：
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的变形公式： ① ②
③ ④ ⑤
（四）整式的乘法
1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。
2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：
都是单项式）
3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）
（五）同底数幂的除法
1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为
（都是正整数）
2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①都是正整数）
②都是正整数），0的非零次幂都为0
3、零指数幂与负整数幂
① ②是正整数），此式也可逆用，即为正整数）
4、用科学计数法表示小于1的正数
一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
（六）整式的除法
1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。
考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
例1、若am=2，an=3，则am+n等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
例2、若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（ ）
A．x，y互为相反数 B．x，y互为倒数
C．x=y D．无法判断
例3、计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ）
A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a6
例4、已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
例5、（1）已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
（2）已知3x+2?5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值
例6、计算：
（1）（﹣x5）?x3n﹣1+x3n?（﹣x）4 （2）
（3）a4?（3a3）2+（﹣4a5）2 （4）[（﹣x2）3?（﹣x3）2]3
考点二：平方差与完全平方公式
例1、可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（3a+2b）（﹣3a+3b） B．（3a﹣2b）（﹣3a+2b）
C．（3a+2b）（﹣3a+2b） D．（﹣3a﹣2b）（3a+2b）
例2、（1）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值
（2）对于所有有理数，我们规定=ad﹣bc，按上述规定运算，求的值
例3、如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
例4、计算（2x﹣1）（1﹣2x）结果正确的是（ ）
A．4x2﹣1 B．1﹣4x2 C．﹣4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x+1
例5、（1）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
（2）已知 a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2﹣ab+b2 的值．
例6、图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积
方法1： （只列式，不化简）
方法2： （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
例7、计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）
（3）（2x3y5﹣3a2b4）（﹣2x3y5﹣3a2b4） （4）（a+3）2﹣（a﹣2）（a+2）
（5）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y） （6）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）
考点三：同底数幂的除法
例1、下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a6÷a3=a2 C．（a2）3=a8 D．a2?a3=a5
例2、计算﹣2016﹣1﹣（﹣2016）0的结果正确的是（ ）
A．0 B．2016 C．﹣2016 D．﹣
例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是（ ）
A．9.1×10﹣8 B．9.1×10﹣7 C．0.91×10﹣8 D．0.91×10﹣7
例4、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
例5、计算
（1）（﹣）﹣1+（﹣2）2×20160﹣（）﹣2 （2）4.4×10﹣19×109÷（2.2×10﹣11）+100
（3）30 （4）﹣（﹣）﹣2﹣24×（﹣2016）0
例6、（1）若3m=6，3n=2，求32m﹣3n+1的值
（2）已知9m÷32m+2=n，求n的值
考点四：整式的乘法与除法、混合运算
例1、下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3=xy3 B．x5÷x5=x
C．3x2?5x3=15x5 D．5x2y3+2x2y3=10x4y9
例2、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
例3、计算：
（1）x2y×（﹣2xy2） （2）（4a3b﹣6a3b2﹣10ab2）÷（2ab）
（3）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy） （4）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）
例4、化简求值
（1）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值
（2）已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值
（3）已知（x﹣y）2=9，x2+y2=5，求[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y的值．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、计算（﹣a）3?（﹣a）2的结果是（ ）
A．a6 B．﹣a6 C．a5 D．﹣a5
2、（1）已知am=7，an=5，ap=6，求am+n+an+p的值
（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x?8y的值
3、基本事实：若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：① 2×8x=27； ② 2x+2+2x+1=24．
4、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：① x+y=m；② x﹣y=n；③ xy=． 其中正确的关系式的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5、如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
6、计算：
（1）（）5÷（）3?（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷
（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2 （4）
（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y） （6）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2
7、（1）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值
（2）a2+2a﹣1=0，求a2+的值
8、化简求值
（1）当x=6，y=时，求（﹣x）9?[（﹣y）3]2?y3的值
（2），其中，
（3）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a=2，b=1
课后反击
1、已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=（ ）
A．17 B．72 C．24 D．36
2、当m是正整数时，下列等式成立的有（ ）
（1）a2m=（am）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ ）
A．3.5×10﹣6 B．3.5×106 C．3.5×10﹣5 D．35×10﹣5
4、计算：（1） （2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0
（3） （4）
5、（1）已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值
（2）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求a2+b2+ab的值．
6、已知x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，求m的值．
7、化简：
（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） （2） 5a（a2+2a+1）﹣（2a+3）（a﹣5）
（3） （4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab
8、先化简，再求值：
（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b） （2a﹣b），其中a=2，b=1
（2）已知x=7，求1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009的值
1、下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a2?a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
2、先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=
3、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
幂的乘方
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。
2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）
积的乘方
1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等
2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）
1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：。平方差公式的逆用即
平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、完全平方公式：
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的变形公式： ① ②
③ ④ ⑤
本节课我学到了
我需要努力的地方是
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课 时 数：3
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辅导科目：数学
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第01讲---整式的乘除
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方）
掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
一、知识框架
二、知识概念
（一）同底数幂的乘法
1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）
2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①都是正整数）
②都是正整数）
（二）幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。
2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）
积的乘方
1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等
2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）
（三）平方差与完全平方公式
1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：。平方差公式的逆用即
平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、完全平方公式：
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的变形公式： ① ②
③ ④ ⑤
（四）整式的乘法
1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。
2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：
都是单项式）
3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）
（五）同底数幂的除法
1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为
（都是正整数）
2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①都是正整数）
②都是正整数），0的非零次幂都为0
3、零指数幂与负整数幂
① ②是正整数），此式也可逆用，即为正整数）
4、用科学计数法表示小于1的正数
一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1≤a＜10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
（六）整式的除法
1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。
考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
例1、若am=2，an=3，则am+n等于（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9 【解析】B
例2、若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（ ）
A．x，y互为相反数 B．x，y互为倒数
C．x=y D．无法判断
【解析】A
例3、计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ）
A．a6﹣2a5 B．﹣a6 C．a6﹣4a5 D．﹣3a6
【解析】D
例4、已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解析】∵a=（25）11=3211，b=（34）11=8111，c=（43）11=6411
∴b＞c＞a．故选C
例5、（1）已知2a=5，2b=3，求2a+b+3的值．
（2）已知3x+2?5x+2=153x﹣4，求（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4的值
【解析】（1）2a+b+3=2a?2b?23=5×3×8=120
（2）∵3x+2?5x+2=（15）x+2=153x﹣4
∴x+2=3x﹣4，解得：x=3
∴（x﹣1）2﹣3x（x﹣2）﹣4=﹣9
例6、计算：
（1）（﹣x5）?x3n﹣1+x3n?（﹣x）4 （2）
（3）a4?（3a3）2+（﹣4a5）2 （4）[（﹣x2）3?（﹣x3）2]3
【解析】（1）原式=0 （2）原式=﹣ （3）原式=25a10 （4）原式=﹣x36
考点二：平方差与完全平方公式
例1、可以用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（3a+2b）（﹣3a+3b） B．（3a﹣2b）（﹣3a+2b）
C．（3a+2b）（﹣3a+2b） D．（﹣3a﹣2b）（3a+2b）
【解析】C
例2、（1）已知a+b=2，求代数式a2﹣b2+4b的值
（2）对于所有有理数，我们规定=ad﹣bc，按上述规定运算，求的值．
【解析】（1）∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b=（a+b）（a﹣b）+4b=2（a﹣b）+4b
=2a﹣2b+4b=2a+2b=2（a+b）=4
（2）∵=ad﹣bc，
∴=（x+y）（x﹣y）﹣（﹣x+y）（﹣x﹣y）=x2﹣y2﹣（x2﹣y2）=0
例3、如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．a2+ab=a（a+b）
【解析】正方形中，S阴影=a2﹣b2
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）
故所得恒等式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C
例4、计算（2x﹣1）（1﹣2x）结果正确的是（ ）
A．4x2﹣1 B．1﹣4x2 C．﹣4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x+1 【解析】C
例5、（1）已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
（2）已知 a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2﹣ab+b2 的值．
【解析】（1）∵（a+b）2=25，（a﹣b）2=9
∴a2+2ab+b2=25 ①，a2﹣2ab+b2=9 ②
∴① +② 得：2a2+2b2=34
∴a2+b2=17
①﹣② 得ab=4
（2）a2+b2=（a2+b2）=（a+b）2﹣ab
当 a+b=5，ab=7时
a2+b2=×52﹣7=
a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab
当 a+b=5，ab=7时，a2﹣ab+b2=52﹣3×7=4
例6、图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积
方法1： （只列式，不化简）
方法2： （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
【解析】（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n 故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即
（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即
（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n
（3）由题意可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
例7、计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （2）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）
（3）（2x3y5﹣3a2b4）（﹣2x3y5﹣3a2b4） （4）（a+3）2﹣（a﹣2）（a+2）
（5）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y） （6）（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1）
【解析】解：（1）原式=216﹣1 （2）原式=5x2﹣2y2 （3）原式=9a4b8﹣4x6y10
（4）原式=6a+13 （5）原式= 12xy+10y2 （6）原式=4x+5
考点三：同底数幂的除法
例1、下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a6÷a3=a2 C．（a2）3=a8 D．a2?a3=a5
【解析】D
例2、计算﹣2016﹣1﹣（﹣2016）0的结果正确的是（ ）
A．0 B．2016 C．﹣2016 D．﹣
【解析】D
例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是（ ）
A．9.1×10﹣8 B．9.1×10﹣7 C．0.91×10﹣8 D．0.91×10﹣7
【解析】A
例4、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
【解析】C
例5、计算
（1）（﹣）﹣1+（﹣2）2×20160﹣（）﹣2 （2）4.4×10﹣19×109÷（2.2×10﹣11）+100
（3）30 （4）﹣（﹣）﹣2﹣24×（﹣2016）0
【解析】（1）原式=﹣9 （2）原式=21 （3）原式= （4）原式=﹣9
例6、（1）若3m=6，3n=2，求32m﹣3n+1的值
（2）已知9m÷32m+2=n，求n的值
【解析】（1）32m=36，33n=8
32m﹣3n+1=32m÷33n×3=36÷8×3=
（2）∵32m+2=（32）m+1=9m+1
∴9m÷3m+2=9m÷9m+1=9﹣1==（）2
∴n=2
考点四：整式的乘法与除法、混合运算
例1、下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3=xy3 B．x5÷x5=x
C．3x2?5x3=15x5 D．5x2y3+2x2y3=10x4y9
【解析】C
例2、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【解析】∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0 解得m=﹣3．故选：A
例3、计算：
（1）x2y×（﹣2xy2） （2）（4a3b﹣6a3b2﹣10ab2）÷（2ab）
（3）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣4xy） （4）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）
【解析】（1）原式= ﹣x3y3 （2）原式=2a2﹣3a2b﹣5b
（3）原式= ﹣y+2 （4）原式=﹣2n+2n2+1
例4、化简求值
（1）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值
（2）已知x2﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值
（3）已知（x﹣y）2=9，x2+y2=5，求[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y的值．
【解析】（1）（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y（4x﹣3y）
∵4x=3y
∴原式=0
（2）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1
=2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1
=2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1
=x2﹣5x+1
∵x2﹣5x=3
∴原式=3+1=4
（3）（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷x2y
=2xy﹣2
由（x﹣y）2=9，得x2﹣2xy+y2=9
∵x2+y2=5
∴﹣2xy=4
∴xy=﹣2
∴原式=﹣4﹣2=﹣6
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、计算（﹣a）3?（﹣a）2的结果是（ ）
A．a6 B．﹣a6 C．a5 D．﹣a5
【解析】D
2、（1）已知am=7，an=5，ap=6，求am+n+an+p的值
（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x?8y的值
【解析】（1）原式=am+n+an+p
=am?an+an?ap
=7×5+5×6=65
（2）∵2x+3y﹣4=0，
∴2x+3y=4，
∴4x?8y=22x?23y=22x+3y=24=16
3、基本事实：若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：① 2×8x=27； ② 2x+2+2x+1=24．
【解析】① 原方程可化为，2×23x=27
23x+1=27
3x+1=7
解得x=2
② 原方程可化为，2×2x+1+2x+1=24
∴2x+1（2+1）=24
∴2x+1=8
∴x+1=3
解得x=2
4、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：① x+y=m；② x﹣y=n；③ xy=． 其中正确的关系式的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】由图形可得：① 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确；
② 小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故x﹣y=n正确；
③ 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=正确．
所以正确的个数为3．故选：D
5、如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【解析】大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C
6、计算：
（1）（）5÷（）3?（）2 （2）﹣30﹣（1）2×+13÷
（3）（﹣）0+（﹣）2+（﹣）﹣2 （4）
（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y） （6）2x（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2
【解析】（1）原式= （2）原式= 3 （3）原式=5
（4）原式=6 （5）原式=13x2﹣25y2 （6）原式=﹣2x2﹣y2
7、（1）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值
（2）a2+2a﹣1=0，求a2+的值
【解析】（1）∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，
∴（m+1）xy=±2?6x?5y
∴m+1=±60
∴m=59或﹣61
（2）∵a2+2a﹣1=0
∴a﹣=﹣2
两边平方得：（a﹣）2=a2+﹣2=4，则a2+=6
8、化简求值
（1）当x=6，y=时，求（﹣x）9?[（﹣y）3]2?y3的值
（2），其中，
（3）（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a=2，b=1
【解析】（1）（﹣x）9?[（﹣y）3]2?y3
=﹣x9?y6?y3的=﹣（xy）9
当x=6，y=时，原式=﹣1
（2）原式=3x2﹣3x2+xy+xy2﹣y3=xy+xy2﹣y3
当x=﹣，y=时，原式=﹣﹣﹣=﹣
（3）原式=a2﹣b2+b2﹣2ab=a2﹣2ab
当a=2，b=1时，原式=4﹣4=0
课后反击
1、已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=（ ）
A．17 B．72 C．24 D．36
【解析】B
2、当m是正整数时，下列等式成立的有（ ）
（1）a2m=（am）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣am）2；（4）a2m=（﹣a2）m．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】B
3、科学家在实验中检测出某微生物约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ ）
A．3.5×10﹣6 B．3.5×106 C．3.5×10﹣5 D．35×10﹣5
【解析】A
4、计算：（1） （2）3﹣2+（）﹣1+（﹣2）3+（892﹣890）0
（3） （4）
【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式= - 6 （4）原式=14
5、（1）已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值
（2）已知实数a、b满足（a+b）2=3，（a﹣b）2=23，求a2+b2+ab的值．
【解析】（1）∵4m+n=90，2m﹣3n=10
∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
=[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]
=（4m+n）（3n﹣2m）
=﹣900
（2）∵（a+b）2=3，（a﹣b）2=23
∴a2+2ab+b2=3①，a2﹣2ab+b2=23②
① + ② 得，2（a2+b2）=26
∴a2+b2=13
①﹣② 得，4ab=﹣20
∴ab=﹣5
∴a2+b2+ab=13+（﹣5）=8
6、已知x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，求m的值．
【解析】∵x2﹣2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式
∴m2+5=（m+1）2
解得：m=2
7、化简：
（1）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣4b2） （2） 5a（a2+2a+1）﹣（2a+3）（a﹣5）
（3） （4）（2a﹣b）2﹣（8a3b﹣4a2b2）÷2ab
【解析】（1）原式=﹣6a3b+4a2b2+8ab3 （2）原式==5a3+8a2+12a+15
（3）原式=2x﹣4 （4）原式= b2﹣2ab
8、先化简，再求值：
（1）（4ab3﹣8a2b2）÷4ab+（2a+b） （2a﹣b），其中a=2，b=1
（2）已知x=7，求1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009的值
【解析】（1）原式=b2﹣2ab+4a2﹣b2=2a（2a﹣b）
当a=2，b=1时，原式=2×2×（2×2﹣1）=12
（2）1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2009
=（1﹣x）[1﹣x﹣x（1﹣x）﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2008]
=（1﹣x）（1﹣x）[1﹣x﹣x（1﹣x）2﹣…﹣x（1﹣x）2007]
=（1﹣x）2010
=（1﹣7）2010=62010
1、下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．a2?a3=a6 C．（﹣a2）2=a4 D．（a+1）2=a2+1
【解析】C
2、先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=
【解析】（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2
=x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1
=﹣5x+1
当x=时，原式=﹣5×+1=﹣
3、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【解析】（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1=a2﹣b2，
S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
S(Summary-Embedded)——归纳总结
幂的乘方
1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。
2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）
积的乘方
1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等
2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）
1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
公式的推导：。平方差公式的逆用即
平方差公式的特点：
（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）
（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。
2、完全平方公式：
即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。
完全平方公式的变形公式： ① ②
③ ④ ⑤
本节课我学到了
我需要努力的地方是
