高中数学人教A版必修五第二章第3节《等差数列的前n项和》教学设计

2.3等差数列前n项和教学设计
一、指导思想与理论依据
学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。基于数学学科自身抽象和严谨的特点，在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学生的动手、动脑能力。
本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。采用探究活动为主的教学方法，借助教材和教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。因此，我在此堂课的教学中借助梯形面积拼接演示等差数列的前项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。
二、教材分析
本节课的教学内容是人教版数学必修5第二章第三节列前n项和（第一课时），主要内容是等差数列前项和的推导过程和简单应用。
本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识的基础上进行。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。
等差数列在现实生活中比较常见，等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题。因此，等差数列求和公式的推导，是由现实情境引入数列求和的模型，再用模型解决一些实际问题，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法。通过探索等差数列前n项和，培养学生观察、猜想、类比、归纳的学习思想，加强和提高学生解决问题的能力。要求学生理解等差数列前n项和的求和过程，掌握公式并能用公式解决一些实际题。
三、学情分析
本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，这为倒序相加法的教学提供了基础。学生已有了函数知识，因此在教学中渗透函数思想。
大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍，同时，学生学习抽象理论知识存在为难的情绪。
对学生学习的障碍和困难，本节采用情境导入、激发兴趣，由特殊到一般的推导方法，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。帮助学生突破难点
四、教学方式与手段
探究式、类比、归纳式的教学方法，讲练结合法
本节通过多媒体演示让学生直观的感受倒序相加法思想，同时ppt结合导学案让学生在动脑的同时动手练习，加深学生对本节内容的理解
五、教学目标
1、类比高斯算法，探求等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；
2、能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题；
3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；
4、通过我国古代的数学实例，渗透数学文化思想，让学生了解数学史中等差数列的发展，引发学生用所学知识对前人的解法进行思考与探究；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，体会数学的实用价值，并学会用数学知识解决实际问题。
六、教学重点与难点
1、教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用
2、教学难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得
3、重、难点解决的方法策略
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过例题后的反馈练习和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
七、教学环节及时间分配



八、教学过程
复习巩固 教学内容与问题 师生互动 设置意图
前面学习了等差数列，请同学们回忆一下数列的概念及性质1．等差数列概念_____通项公式_______=________ 2．等差数列中，若 ( 为常 数)则____________ ；一般__________...___ 师：提问学生等差数列的概念与性质 生：复习等差数列定义与性质，填写在导学案上。订正是否正确。 巩固复习上节内容，同时为本节学习等差数列求和做好准备
情境导入 泰姬陵坐落于印度古都阿格，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。 问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 师：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。 生：欣赏观察并尝试解决问题1. 活动预设：能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。 需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石？ 教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。 以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。
公式探究 公式探究 此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。问题2：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？问题3：第k项+倒数第k项=？问题4:1+100,2+99,3+98，依次往下写第51项+？=101，…第99项+？=101 问题5：1+2+3+4+…..+n=？ 师：引导学生讲述高斯算法生：高斯算法1+100=101,2+99=101，…，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050 师：引导学生思考高斯算法的技巧性 生：第k项+倒数第k项=101 师：再次引导学生思考问题4，发现规律生：发现51+50=101，…99+2=101师：书写对应相加1+2+3+…+99+100=s100+99+98+…+2+1=s生:结合图形发现左侧是100个101相加，右侧是2s 生：用类比思想解决1+2+3+4+…..+n=？师：引导学生发现问题本质提出第k项+倒数第k项=首项+末项生：发现计算规律，并总结归纳师：板书倒序相加法 通过高斯算法，循序渐进的让学生发现规律，首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫。进一步通过数学家高斯解决问题的方法，培养学生大胆猜想的能力。学习数学的积极性。让学生用类比，归纳的思想总结出求和方法，从而突破本节课重难点。
给出等差数列前n项和的定义 问题6：如何求解等差数列前n项和 问题7：由公式（1）及能得到前n项和公式的其他形式吗？ 生：利用倒序相加法推导出等差数列前n项和公式，并叙述过程师：板书等差数列{an}的前n项和公式 生：推导前n项和公式的另一种表达形式，并回答师：板书师：提示将通项公式带入前n项和定义式中还有另一种求和公式推导思路生：课后思考 培养学生积极思考的能力和解决问题的多种途径。 通过推导过程，让学生理解等差数列前n项和公式
公式理解 1.教师用结合ppt梯形的面积，引导学生对比2个公式理解。 2.引导学生找出他们反映了等差数列的性质。同时，给出2个简单的（知三求二）的练习问题8：对比2个公式，分别找出公式中的变量练习1 师：引导学生理解公式 生：学生观察图片，叙述对公式的理解。 师：引导发现2个公式中共有5个变量，可以知三求二 生：学生独立完成练习，书写在导学案中。 师：指导学生正确选择公式 让学生体会数形结合思想，加深学生对公式的理解与记忆。同时再次体会倒序相加的思想.学生刚学完式，直接解决课本例题1跨度太大，因此设置了这样一个直接应用公式的题加深学生对公式理解，对公式sn,an,a1,n,d能在已知其中3个量时，正确选择公式，求出其余的量。
例题讲解 例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通” 工程的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用十年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市“校校通”工程中的总投入是多少？ 师：引导学生分析题意，掌握解决实际问题的方法。（1）找关键句；（2）选择模型生：分析题意，建立等差数列的模型，并找出其中已知条件及求解问题，然后选用合适的公式求解，同时在导学案中数学答题过程师：展示完整的解题过程，强调答题步骤的规范性。 帮助学生发现实际问题中的等差关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。 规范学生答题过程
练习2我国数列求和的起源很早，在《张丘建算经》中：今有女子不善织布，逐日所织以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，计织三十日，问共织几何？解法：并初、末织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。运用的等差数列的求和公式 师：简单介绍我国数列问题的历史，引导学生思考回答。 生：读题，分析题意，找出相关的量，并作出解答 通过我国历史上的等差数列求和，让学生感受历史，渗透数学文化思想。
例2.已知一个数列{}的前10项和是310，前20项和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？ 师：引导学生分析题意，解决问题，鼓励学生用多种方法求解生：思考求解例题2的方法，解题结束后反思总结如何解决这类题。 让学生体会方程的思想，建立等差数列与解方程之间的联系。
练习3 生：独立完成练习3、（一位学生板演，其他学生在导学案中完成） 加深学生对（知3求2）的理解，同时让再次体会方程思想求解数列
反馈练习 给出4道练习 生：快速完成练习，师：检查学习效果 检验学生学习效果
归纳总结 1.引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容． 2.课后作业：教材46页：习题2.3A组。第2题 3.课后思考：等差数列的前n项和与函数有什么关系？ 生：总结回答本节所学的知识点本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容师：加以补充说明．同时，留下课后作业与思考 生：课后完成作业、思考、 1.总结本节知识，加深对知识的记忆。2．给学生留下思考题，为下节课的学习做准备
板书设计 2.3等差数列的前n项和1.倒序相加法 例题12.等差数列{an}的前n项和公式 例题2 3.知三求二 方程思想
九、设计特点
1.根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”，“讲练结合”教学模式．引导学生在进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。
2.本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。同时，课件与导学案结和，让学生动脑思考，动手计算。形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。
3.本节在情境导入设计中，利用文化古迹导入，提升了学生学习的兴趣，公式探究问题设置由特殊到一般引导过程，引导学生发现本质规律第k项和倒数第k项相加和等于首项与末项和，从而引出倒序相加法
4.在对公式理解中，将两个公式与梯形面积公式建立联系，帮助学生理解记忆求和公式，并能从梯形面积的角度认识公式,提高学生类比化归，数形结合的能力,认识过程中再次强调倒序相加的思想方法。
5.例题设置注重培养学生能力。例题1通过实际问题培养学生建模能力，让学生感受数学的实用性。练习2是我国古代数学家对数列求和的发放，属于拓展类题型，让学生感受数学文化史的同时，理解求和公式。例题2的设置目的是建立等差数列前n项和与解方程的联系，让学生体会方程的思想。练习3巩固练习方程思想，同时加深学生对之知三求二的理解。同时，讲练结合让学生一直参与课堂，增加听课效果。
十、教学反思
本节在情境导入设计中，利用文化古迹导入，提升了学生学习的兴趣，公式探究问题设置由特殊到一般引导，引导学生发现本质规律第k项和倒数第k项相加和等于首项与末项和，从而引出倒序相加法，在教学过程中，通过教师层层引导，学生自主探究，尤其借助图形的直观性，使学生理解“倒序想加法”思路，从而掌握的等差数列求和公式。经历公式的推导过程，学生体验了从特殊到一般的研究方法，学会了观察、归纳、反思。例题的设置，注重能力培养，通过讲练结合，使应用公式的同时增强了自身分析解决问题的能力。本节课的不足之处在于由于设计量和时间分配关系，在实际教学中，未完成反馈练习这一环节。



公式理解
（5分钟）

公式探究
（13分钟）

情境导入
（2分钟）

复习巩固
（2分钟）

归纳总结
(1分钟)

（2分钟）

反馈练习
（5分钟）


例题讲解
（12分钟）