24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系和圆的切线性质
1.经历直线与圆三种位置关系的探索,掌握用公共点个数或圆心到直线的距离,判定直线与圆的位置关系.
2.掌握切线的性质,会用判定和性质解决问题.
直线与圆三种位置关系的判定,切线的性质.
运用直线与圆位置关系的判定和切线的性质解决问题.
一、情景导入
点和圆的位置关系有哪几种？如何判断？
答：有三种,点在圆内,点在圆上,点在圆外.判断点和圆的位置关系只需通过点到圆心的距离d和半径r的大小关系来判断,点P在⊙O内?dr.
二、新知探究
阅读教材P33～34,完成以下问题.
1.直线和圆有几种位置关系？如何判定？
(1)图1中直线l与⊙O相交,有两个公共点,这条直线叫做圆的割线；
(2)图2中直线l与⊙O相切,有一个公共点,这条直线叫做圆的切线；
(3)图3中直线l与⊙O相离,没有公共点.
设⊙O半径为r,直线l到圆心O的距离为d,在直线和圆的不同位置关系中,d与r具有怎样的大小关系？反过来,根据d与r的大小关系,你能确定直线与圆的位置关系吗？同学们分组讨论.
归纳：直线l与⊙O相交?d＜r；直线l与⊙O相切?d＝r；直线l与⊙O相离?d＞r.
2.思考：判定直线和圆的位置关系有两种方法：一是根据定义即公共点个数判定,二是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定.
3.应用：【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝3 cm,BC＝4 cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB是怎样的位置关系？
①r＝2 cm；②r＝2.4 cm；③r＝3 cm.
解：过C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,AB＝＝＝5.∵AB·CD＝AC·BC,∴CD＝＝＝2.4 (cm).即圆心到直线AB的距离d＝2.4 cm.①当r＝2 cm时,有d＞r,因此⊙C与直线AB相离；②当r＝2.4 cm时,有d＝r,因此⊙C与直线AB相切；③当r＝3 cm时,有d＜r,因此⊙C与直线AB相交.
4.练习：(1)(西宁中考)⊙O的半径为R,点O到直线l的距离为d.R,d是方程x2－4x＋m＝0的两根,当直线l与⊙O相切时,m的值为__4__.
(2)在直角坐标系中,⊙M的圆心坐标是(m,0),半径是2,如果⊙M与y轴所在的直线相切,那么m＝__2或－2__；如果⊙M与y轴所在的直线相交,那么m的取值范围是__－2
阅读教材P34～35,回答下列问题：
1.切线性质定理的内容是什么？
答：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2.应用：【例2】如图,已知∠AOB＝30°,M为OA边上一点,以M为圆心,2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动,则当OM＝__4__cm时,⊙M与OB相切.
【仿例】如图,直线l：y＝－x＋1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上的一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,则m的值为__2＋2或2－2__.
3.完成教材P36练习第1～3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上诉问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)直线和圆相交、割线,直线和圆相切、切点,直线和圆相离等概念；
(2)设⊙O半径为r,直线l到圆心O的距离为d,则有：
(3)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2.分层作业：
(1)教材P39习题24.4第1～2题.
五、教后反思
本节课由日出的三张图片引入,充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象,体现从生活中“找”数学、“想”数学理念,进而让学生通过观察、类比、交流讨论出直线与圆三种位置关系的性质与判定,从而突破本节难点,实现了位置关系与数量关系的有效转化.本节课中在建立直线与圆的位置关系的模型来解决“触礁”类数学问题时,有部分同学思路不清晰,教师应及时评价调整,使学生能够举一反三,巩固知识,吸收知识.
第2课时 圆的切线的判定定理
1.掌握圆的切线判定定理,能用它们进行解答和证明.
2.经历圆的切线判定定理的推导,能区分切线判定和性质定理.
圆的切线判定定理的推导及应用.
区分并应用圆的切线的判定和性质定理进行解答和证明.
一、情景导入
复习提问：1.什么是圆的切线？
答：如果直线与圆只有一个公共点,这时直线与圆的位置关系是相切,这条直线是圆的切线,这个公共点是切点.
2.切线的性质定理是什么？
答：圆的切线垂直于经过切点的半径.
【情境1】下雨天,小孩子总喜欢转动雨伞,你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出,水珠是顺着什么方向飞出的？
【情境2】用机器打磨铁制零件时,铁屑是沿什么方向飞出的？
通过观察生活中的实例,使学生初步感知直线与圆相切的情景,深化学生思想中的数学模型,从而导入新课.
二、新知探究
阅读教材P35～36,完成以下问题.
1.在前面的学习中,你有哪些方法可以确定一条直线是圆的切线？
答：有两种.和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
2.切线的判定定理是什么？
答：由圆的切线作图方法可知：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.应用：【例1】如图,点D是∠ABC的角平分线上一点,已知点D到BC的距离DE＝3,现以D为圆心,DE为半径画圆,则圆D与直线BA的位置关系是__相切__.
例1图 练习(1)图 练习(2)图
4.练习：(1)如图,⊙O的半径为4cm,BC为直径,若AB＝10cm,则AC＝__6__cm时,AC是⊙O的切线.
(2)如图,AB为⊙O的直径,点C在圆上,∠ABC＝40°,当∠BCD＝__50°__时,CD为⊙O的切线.
(3)如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,直线EF过点A,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件是__∠FAC＝∠B__.
练习(3)图 练习(4)图
(4)如图,AB是⊙O的直径,⊙O交BC的中点于D,DE⊥AC于点E,连接AD,有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线.正确的有__①②③④__.
1.应用：【例2】(滨州中考)如图,在△ABC中,AB＝AC,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.求证：直线EF是⊙O的切线.
证明：连接OE.
∵AB＝AC,OB＝OE,
∴∠B＝∠C,∠B＝∠OEB,
∴∠C＝∠OEB,
∴OE∥AC,
∴∠OEF＝∠EFC.
∵EF⊥AC,∠EFC＝90°,
∴∠OEF＝90°,
∴EF⊥OE,即EF是⊙O的切线.
2.练习：(衡阳中考)如图,AB是⊙O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由.
证明：连接OD.
∵＝＝,
∴∠BOC＝∠DOC＝∠AOD＝60°.
∵OA＝OD＝OC,
∴△AOD、△DOC为等边三角形,
∴∠A＝∠BOC＝60°,
∴OC∥AE,
∴∠ECO＝180°－∠E＝90°,
∴CE是⊙O的切线,
(2)是,理由略.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.分层作业：
(1)教材P37练习第6题,P40习题24.4第4～6题.
五、教后反思
新课程理念倡导“将课堂还给学生,让课堂充满生命活力”,让学生思维动起来.本节教学中围绕一个内容：证切线的方法.通过例题让学生得到证切线的两个思路：“有点”连半径证垂直,“无点”作垂直证半径.层层展开,师生互动,动而有序,并面向全体学生,给予及时的鼓励与评价,让学生更有动力投入到探索之中去.
第3课时 切线长定理
1.理解切线长的概念,掌握切线长定理,会应用切线长定理解决问题.
2.注意切线与切线长,切线的性质与切线长定理的对比和应用.
切线长定理及应用.
切线长定理的导出及应用.
一、情景导入
复习提问：1.切线的性质和判定是什么？
答：切线的性质定理：切线垂直于经过切点的半径；
切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.过圆上一点A作⊙O的切线如何作？如果我们过圆外一点P作⊙O的切线,能作几条？
答：连接AO,过A作AO的垂线,即得⊙O的切线.过圆上一点,只能作⊙O的一条切线.过圆外一点P能作⊙O的两条切线.
作法：①连接OP；②以QP为直径作圆,设此圆交⊙O于A,B,③连接PA,PB,直线PA,PB即为所作.然后揭示课题.
二、新知探究
阅读教材P37～38的内容(含例4),完成下面的问题.
1.如图,过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切,切点分别为A、B,连接OA、OB、OP.
(1)判断△PBO与△PAO的形状.
(2)△PBO与△PAO的关系怎样？
(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？
答：(1)根据__切线__的性质,△PBO与△PAO均为直角__三角形.
(2)根据“__HL__”可判断△PBO与△PAO__全等__.
(3)根据△PBO与△PAO全等,PA__＝__PB,∠APO__＝__∠BPO.
2.提问：(1)从圆外一点能作圆的几条切线？什么是切线长？
答：从圆外一点能作圆的两条切线.切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
(2)什么是切线长定理？
答：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
强调：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,切线长是线段的长；切线不能度量,切线长可以度量.
3.练习：(1)如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,OP交⊙O于点C.下列结论中,错误的是(D)
A.∠1＝∠2 B.PA＝PB
C.AB⊥OP D.PA2＝PC·PO
,练习(1)图) ,练习(2)图)
(2)如图,PA和PB是⊙O的切线,点A和点B是切点,AC是⊙O的直径,已知∠P＝40°,则∠ACB的大小是__70°__.
【例】如图,AB是⊙O的直径,AM、BN分别与⊙O相切于点A,B,CD分别交AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4,BC＝9,求⊙O的半径R.
(1)证明：作OE⊥DC于E.
∵AM是⊙O切线,
∴OA⊥AD.
∵DO平分∠ADC,
∴OA＝OE.
∴CD是⊙O切线；
(2)解：作DH⊥BC于H,R＝6.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)切线长定理；
(2)切线长定理的应用.
2.分层作业：
(1)教材P40～41习题第24.4第9～10题.
五、教后反思
本节课教师围绕切线长定理设计了一个重要基本图形,让学生去探索、归纳、总结,并设置相应的对应变式练习,拓展学生发散思维及提高学生创新能力,激发了学生的学习兴趣,真正体验到成功的快乐.教学中应结合学生的实际水平与认知能力,设置适当的难度与梯度.
