24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形与圆
1.理解正多边形和圆的位置关系,会用等分圆周的方法作出正多边形.
2.会用尺规作图作相关圆的内接正多边形.
学会用等分圆周的方法作正多边形.
正多边形与圆关系的理解.
一、情景导入
请同学们回答下面两个问题：
1.什么叫正多边形？
答：各边相等、各角也相等的多边形叫正多边形.
2.什么叫多边形的外接圆？多边形一定有外接圆吗？
答：经过多边形各个顶点的圆叫多边形的外接圆.多边形不一定有外接圆.
3.一个圆的内接多边形有多少个？
答：一个圆有无数个内接多边形.
4.从你身边举出两三个正多边形的实例,正多边形是不是轴对称图形,是不是中心对称图形？其对称轴有几条,对称中心是哪一点？
本节课我们一起来研究正多边形与圆的关系.
二、新知探究
阅读教材P47～48,完成以下问题.
1.如图所示,点A、B、C、D、E、F把⊙O分成相等的6段弧,依次连接各分点得到六边形ABCDEF,它是正六边形吗？为什么？
解：∵＝＝＝＝＝,∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA.∵＝＝＝＝＝,∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F.∴六边形ABCDEF是正六边形.
归纳：一个正多边形的各个顶点都在一个圆上,则这个正多边形就是这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.正多边形和圆有何关系？
答：把一个圆分成n条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
3.应用：【例1】在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中,中心对称图形的个数为(C)
A.0 B.1 C.2 D.4
4.练习：(1)一个正多边形的每个外角都是36°,这个正多边形的边数是(B)
A.9 B.10 C.11 D.12
(2)如图,在⊙O中,OA＝AB,OC⊥AB交⊙O于点C,则下列结论错误的是(D)
A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.＝
D.∠BAC＝30°
阅读教材P49,并思考回答下列问题：
1.如何用等分圆周的方法画正多边形？
答：通过等分圆周的方法画正多边形,分别用量角器等分圆周和用尺规等分圆周两种.
2.应用：【例2】在⊙O中,弦AB是内接正三角形一边,弦AC是内接正六边形的一边,则∠BAC＝__30°或90°__.
3.练习：(1)画一个半径为2 cm的圆,在圆内画一个内接正五边形,再作出这个五边形各条对角线,画出一个五角星.
作法：①以O为圆心,OA＝2 cm为半径画圆；
②以O点为顶点,以OA一边作∠AOB＝72°,再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°,分别于圆交于点B,C,D,E；
③分别连接AB,BC,CD,DE,EA,则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形,如图1；
④依次连接AC,AD,BD,BE,CE,就画出了所要求的五角星,如图2.
(2)完成教材P49练习第1～3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将阴暗问题展示在黑板上,
小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)正多边形与圆的关系；
(2)正多边形的画法.
2.分层作业：
(1)教材P52习题24.6第1～2题.
五、教后反思
本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则,以“引导——探究——发现”教学法为主,辅之直观演示、讨论交流,让学生真正动手操作、动脑思考、动口交流和动心关注.
第2课时 正多边形的性质
1.理解正多边形的中心、半径、边心距与中心角等概念.
2.熟练进行正多边形的有关计算.
正多边形的有关概念及正多边形的计算.
熟练进行正多边形的有关计算.
一、情景导入
【问题1】什么是正多边形？
答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
【问题2】正多边形和圆有何关系？
答：把一个圆分成n条相等的弧,就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
本节课一起来学习正多边形的性质.
二、新知探究
阅读教材P49～50,完成下列问题.
1.正多边形的外接圆和内切圆有何关系？
答：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这个圆是同心圆.
2.什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
答：正多边形外接圆和内切圆的公共圆心叫正多边形的中心,外接圆的半径叫正多边形的半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距,正多边形每一条边所对的圆心角叫正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于.
3.应用：【例1】如果一个正多边形的每个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角等于(A)
A.36° B.18° C.72° D.54°
4.练习：(1)圆内接正六边形中,设它的半径为r,边长为a,边心距为d,则d与r的数量关系是__d＝r__,a与r的数量关系是__a＝r__.
(2)如图所示,正方形的边长为a,它的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则r∶R∶a等于(A)
A.1∶∶2 B.1∶2∶
C.2∶∶1 D.∶2∶1
1.正n边形对称性是怎样的？
答：正n边形都是轴对称图形,当n为偶数时,它又是中心对称图形.
2.正n边形的相关计算是怎样的？
答：设正n边形的半径为R,则有如下结果：
名称
中心角
边心距
边长
周长
面积
关系式
Rcos
2Rsin
nan
nrnan
3.思考：正多边形的有关计算一般转化为直角三角形的问题,再利用勾股定理计算,一般步骤为：①根据题意画出图形；②求出中心角；③构造直角三角形求解.
4.应用：【例2】求边长为a的正六边形的周长和面积.
解：如图,过正六边形的中心O作OG⊥BC,垂足是点G,连接OB,OC,设该正六边形的周长和面积分别为C和S.
∵多边形ABCDEF是正六边形,边长为a,
∴∠BOC＝60°,△BOC是等边三角形,C＝6a.
在△BOC中,有OG＝BC＝BC＝a.
∴S＝6·BC·OG＝6·a·a＝a2.
5.练习：(1)如图,用扳手上螺帽,已知正六边形螺帽的边长为a,这个扳手的开口b最小应是(A)
A.a B.a C.a D.a
,练习(1)图 ,练习(2)图
(2)如图,正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O,则∠BOM的度数是__48°__.
(3)完成教材P51练习第1～3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)正多边形的有关概念；
(2)正多边形的半径Rn,边心距rn,边长an之间的关系：R＝r＋()2.
2.分层作业：
(1)教材P52习题24.6第1、2、3、5、6题.
五、教后反思
本节课设计问题不多,重点让学生体会构造直角三角形的思想与转化思想.学生表现积极,思维活跃.课堂上为提高计算的准确性,复习30°、45°直角三角形的三边之比.
