24.7 弧长与扇形面积
第1课时 弧长与扇形面积
1.了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并熟练掌握它们的应用.
2.经历扇形的弧长和面积的推导,让学生能够在理解中加强记忆,能够熟练解决扇形的弧长和面积的有关计算.
弧长计算公式及扇形面积计算公式.
弧长计算公式及扇形面积计算公式.
一、情景导入
1.圆的周长公式和面积公式是什么？
答：圆的周长公式C＝2πr,面积公式S＝πr2.
2.计算如图扇形的周长和面积.
解：周长×2πr＝π,面积πr2＝π.
二、新知探究
阅读教材P53～54,完成下面的问题.
1.设圆的半径为R,则：(1)圆的周长可以看作__360__度的圆心角所对的弧长；(2)1°的圆心角所对的弧长是____；n°的圆心角所对的弧长是____.
归纳：n°的圆心角所对弧长的计算公式为：l＝____.
2.思考：绕着某一点旋转经过的路径长,往往就是一段弧的长.求弧长,关键是找出半径和圆心角,然后直接套公式.
3.应用：【例1】如图,把Rt△ABC的斜边放在直线l上,按顺时针方向转动一次,到Rt△A′BC′的位置,使点C′在直线l上.若BC＝1,∠A＝30°.求点A运动到A′位置时,点A经过的路线长.
解：由题目已知条件可知：AB＝2,∠ABA′＝120°,所以点A经过的路线长l＝＝＝.
4.练习：(1)如图,⊙O半径为1,A、B、C为⊙O上三点,∠BAC＝36°,求劣弧的长.
解：π.
(2)一段弧形弯道的长度为50 π米,所在的圆的半径是150米,那么它所对的圆心角的度数是__60°__.
1.结合圆面积公式S＝πR2,完成下面各题：
(1)该圆的面积可看作是__360°__的圆心角所在的扇形面积.
(2)设圆的半径为R,1°的圆心角所在的扇形面积为____,2°的圆心角所对的扇形面积为____,3°的圆心角所对的扇形面积为____,…,n°的圆心角所对的扇形面积为____.
2.思考：在半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形的面积为,还可以推导出,其中l为扇形弧长,R为半径.
3.应用：【例2】某扇形的周长是28 cm,面积为49 cm2,求这个扇形的半径.
解：设扇形的半径为R,圆心角为n°.依题意得：解得R＝7.因此扇形的半径为7 cm.
4.练习：(1)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB＝30°,CD＝2,则阴影部分图形的面积为(D)
A.4π B.2π C.π D.
(2)如图,半径为2 cm,圆心角为90°的扇形,分别以OA,OB为直径作半圆,则阴影部分的面积为__π－1__.
(3)如图,扇形AOB的半径是4,∠AOB＝90°,点C是扇形内一点,CO＝2,把△AOC绕点O顺时针旋转90°,得到△BOD,求图中阴影部分的面积.
解：∵把△AOC绕点O顺时针旋转90°得△BOD,∴△AOC≌△BOD,∠AOB＝∠COD＝90°.∴S△AOC＝S△BOD.∴S阴＝S扇AOB－S扇COD＝－＝3π.
归纳：阴影部分是不规则图形,可先将其转化为规则图形,再计算.
(4)完成教材P56练习第1～4题.
三、交流展示
略.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？
有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)n°的圆心角所对弧长l＝；
(2)扇形的概念；
(3)圆心角为n°的扇形面积S扇＝＝lR(l为扇形的弧长).
2.分层作业：
(1)教材P57习题24.7第1～4题.
五、教后反思
本节课的教学中认真分析学生思维有障碍的地方,引导学生观察、比较、转化.从基本公式入手,处理各个思维的转折点,既注重基础又提高了学生的能力,关注学生的全面发展.本节课时间不够充分,学习练习有些仓促.
第2课时 圆柱与圆锥的侧面积
1.理解圆锥侧面积计算公式的推导,会运用圆锥的侧面积,全面积计算圆锥的表面积.
2.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程,运用圆锥侧面积和底面积之间的联系进行相关计算.
会运用圆锥的侧面积计算公式进行计算.
经历探索圆锥侧面积计算公式.
一、情景导入
1.教师展示用一张纸做圆柱体,同学们思考：如何求圆柱的侧面积和全面积？
答：将圆柱沿着母线剪开展平,得到一个矩形,设底面半径为r,圆柱高(母线)长为h,则S圆柱侧＝2πrh＋2πr2.
2.如图,玩具厂生产一种圣诞老人的帽子,其帽身是圆锥形,OA＝15 cm,底面圆半径为10 cm,要生产这种帽子1000个,你能帮玩具厂算一算至少需要多少平方米的材料吗？
帽身是圆锥体,其展开图是什么图形呢？又如何求其面积呢？从而导入新课.
二、新知探究
阅读教材P55～56,完成下列问题.
1.圆柱的侧面展开图是什么？高为h,底面圆的半径为r的圆柱侧面积是多少？圆柱的全面积是多少？
答：圆柱的侧面展开图是一个矩形,矩形的一边长等于圆柱的高,另一边长等于底面圆的周长.高为h,底面圆的半径为r的圆柱的侧面积为2πrh,圆柱的全面积为2πrh＋2πr2.
2.动手操作,沿任意一条母线剪开圆锥的侧面并展开,得到的平面展开图是什么形状？这个新图形的哪些量与圆锥的哪些量有关？要计算圆锥的侧面积,你认为选择哪一个公式更容易推导出圆锥的侧面积？若利用这个公式,需要知道圆锥的哪些量？如何计算圆锥的全面积？
解：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径.选择S扇形＝×弧长×半径,利用这个公式,需要知道圆锥的底面半径r和母线l,S侧＝×2πr·l＝πrl,S全＝S侧＋S底.
归纳：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的__母线__,通常用字母__l__表示.圆锥的母线有__无数__条,圆锥的母线都__相等__.连接圆锥__顶点__与底面__圆心__的线段叫做圆锥的高.圆锥的母线l、高h、底面半径r构成__直角__三角形,它们之间的关系可以用式子表示为__h2＋r2＝l2__.
总结：这类题要抓住两个要点：①圆锥的母线长为扇形的半径；②圆锥的底面圆周长为扇形的弧长,再结合题意,综合运用勾股定理、方程思想就可解决.
3.应用：【例1】已知圆柱的母线长为5 cm,侧面积是30π cm2,其底面积半径为(A)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4.练习：(1)已知圆锥底面圆的半径为6 cm,高为8 cm,则圆锥的侧面积为(D)
A.48 cm2 B.48π cm2
C.120π cm2 D.60π cm2
(2)用一个半径为30 cm,面积为300π cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计耗损),则圆锥的底面半径r为(B)
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5π cm
(3)完成教材P56练习第4题.
圆柱的全面积＝底面积×2＋侧面积
圆锥的全面积＝底面积＋侧面积
1.应用：【例2】一个圆锥的侧面积为8π,母线长为4,则这个圆锥的全面积为(B)
A.10π B.12π C.14π D.16π
【仿例】如图,可从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为__1__dm.
,仿例图) ,练习(1)图) ,练习(3)图)
2.练习：(1)如图为一个圆柱与圆锥的组合体,底面半径为2 cm,圆柱的高和圆锥的母线长均为6 cm,求它的全面积.
解：π×22＋2π×2×6＋π×2×6＝40π(cm2).
(2)一个圆锥的高是8 cm,底面半径r＝2 cm,则它的全面积为(C)
A.48 cm2 B.60π cm2
C.96π cm2 D.100π cm2
(3)如图,圆锥体的高h＝2 cm,底面半径r＝2 cm,则圆锥体的全面积为(C)
A.4π cm2 B.8π cm2
C.12π cm2 D.(4＋4)π cm2
3.思考：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤,体现了空间图形和平面图形的转化思想.同时还应抓住两个对应关系,即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长,圆锥的母线长对应着扇形的半径,结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆锥侧面积公式：S侧＝πrl,圆柱的侧面积公式：S侧＝2πrh；
(2)圆锥全面积公式：S全＝πrl＋πr2,圆柱全面积公式：S全＝2πrh＋2πr2.
2.分层作业：
(1)教材P57～58习题24.7第6、7题.
五、教后反思
教学过程中始终注重学生的参与意识的培养；注重学生是否有积极的学习态度；注意引导学生从教学的角度思考问题,如“猫捉老鼠”.让学生主动暴露思维过程,及时得到信息反馈.整堂课充满欢声与笑语,在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我、找到自信、体验成功的乐趣.
