第24章
圆
24.1 旋转
第1课时 旋转及其性质
1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念,了解旋转对应点的概念及其应用.
2.理解旋转的性质和旋转对称图形的概念,应用它们解决实际问题.
旋转的概念及旋转性质的理解与应用.[
旋转性质的理解与应用.
一、情景导入
1.什么是两个图形关于某一条直线对称？
答：把一个平面图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫对称轴.
2.什么是轴对称图形？
答：把一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁部分能够完全重合.那么这个图形叫轴对称图形.
3.图形的平移和作轴对称的共同点是什么？
答：只改变图形的位置,不改变图形形状和大小.
二、新知探究
阅读教材P2到观察为止,完成下面问题.
1.什么是图形的旋转？什么是旋转中心？旋转角？
答：在平面内,一个图形绕着某一定点(如点O)旋转一定的角度(如θ),得到另一个图形的变换叫做旋转,定点O叫做旋转中心,转动的角度θ叫做旋转角.
归纳：在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变换叫旋转.
2.思考：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.在平面内,把一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.原图形上的一点C旋转后为点B,则C与B叫做对应点.
3.应用：(1)【例1】如图,图形甲变成图形乙,既能用平移,又能用旋转的是(C)
(2)完成教材P3练习第1题.
【仿例】如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上,若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置,则旋转的角度为(C)
A.30° B.45° C.90° D.135°
阅读教材P2“观察”并自主归纳旋转的性质.
1.提问：旋转的性质是什么？
答：旋转变换的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角；③旋转前后的两个图形全等；④旋转中心是唯一不动点.
2.【例2】在△ABC中,∠B＝10°,∠ACB＝20°,AB＝4cm,将△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心,并求出旋转角；
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
解：(1)旋转中心为点A,旋转角∠BAC＝150°；
(2)由旋转性质可知：∠BAC＝∠DAE＝150°,∴∠BAE＝360°－150°×2＝60°,AD＝AB＝4cm,∵C是AD中点,∴AC＝2cm,∴AE＝AC＝2cm.
阅读教材P3第2自然段,完成下列问题.
1.提问：什么是旋转对称图形？
答：在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定角度θ(0°＜θ＜360°)后能够与原图形重合,这样的图形叫旋转对称图形.
2.【例3】在图中,是旋转对称图形,而不是轴对称图形的是(B)
【仿例】(咸宁中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.
(1)求n的值；
(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
解：(1)n＝60；
(2)四边形ACFD是菱形.理由：
∵∠DCE＝∠ACB＝90°,F是DE的中点.
∴FC＝DF＝FE,∵∠CDF＝∠A＝60°,
∴△DFC是等边三角形,
∴DF＝DC＝FC,
∵∠A＝60°,AC＝DC,
∴△ADC是等边三角形.
∴AD＝AC＝DC,
∴AD＝AC＝FC＝DF,
∴四边形ACFD是菱形.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)旋转的有关概念；
(2)旋转的基本性质；
(3)旋转对称图形.
2.分层作业：
(1)教材P10习题24.1第1、2题.
五、教后反思
本节课内,为突破重点、难点采用了分组讨论、学生交流、实例分析等方法让学生自主归纳,培养了学生良好的学习习惯与和谐融洽的教学气氛,教学中教师是引导者、是配角,讲解是学生归纳结果的概括,对学生的鼓励调动了学习的积极性.不足之处是学生虽参与到教学活动之中,还有待提高.
第2课时 中心对称
1.理解中心对称及其相关概念.
2.掌握成中心对称的两个图形的性质,会画一个图形关于某个点成中心对称的图形.
中心对称的性质,并运用性质进行作图.
[
关于中心对称的两个图形性质理解与应用.
一、情景导入
旧知回顾：
1.轴对称图形的性质是什么？
答：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线.
2.旋转的性质是什么？
答：①对应点到旋转中心距离相等；②对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角；③旋转前后两个图形全等.
二、新知探究
阅读教材P4例题之前的内容,完成下面问题.
1.作出如图1所示的两个图形绕点O旋转180°后的图形,并回答下列问题：
(1)以O为旋转中心,旋转180°后的两个图形与原图形能否相互重合？
(2)各对称点绕O旋转180°后,这三点是否在一条直线上？
答：如图2,图3.(1)两个图形绕点O旋转180°后与原图形可以相互重合；(2)在一条直线上.
归纳：把一个图形△AOB绕着定点O旋转180°,得到△COD,则△AOB与△COD关于点O对称叫中心对称,这个点O叫对称中心,这两个图形的对应点叫做关于对称中心的对称点.如图3中,△OAB与△OCD关于点O对称,点C与点A是关于点O的对称点.
2.思考：中心对称是特殊的旋转变换,即旋转角为__180°__.
利用中心对称的特性,正确找出对应点.当两个图形成中心对称时,通过直接观察的方法找对应点；如果直接观察不明显,可采用测量方法找对应点.
3.应用：【例1】如图,已知△ABC和点O.
(1)在图中画出△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC关于O点成中心对称；
(2)点A,B,C,A′,B′,C′能组成哪几个平行四边形？请用符号表示出来.
解：(1)如图；
(2)?ABA′B′,?ACA′C′,?BCB′C′.
阅读教材P4例题之前内容,回答下列问题：
1.如图,△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称,观察图形,你有什么发现？
归纳：中心对称的性质：
(1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__对称中心__,并且被__对称中心__所平分；
(2)中心对称的两个图形是__全等图形__.
2.思考：已知两个图形关于中心对称,找其对称中心的方法有以下两种：
①两组对应点连线的交点就是对称中心；
②一组对应点连线的中心.
3.应用：【例2】如图,在△ABC中,AB＝AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC,连接AE、BF.
(1)试猜想AE与BF有何关系,说明理由；
(2)若△ABC的面积为3 cm2,求四边形ABFE的面积.
答案：(1)AE綊BF；(2)S四边形ABFE＝12 cm2.
阅读教材P4～5练习之前内容,完成下列练习：
1.如图所示,画出△ABC关于点O对称的图形△A′B′C′.
解：如图.
2.完成教材P5练习第1～2题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)中心对称及对称中心的概念；
(2)中心对称的基本性质；
(3)中心对称作图.
2.分层作业：
(1)教材P10习题24.1第3、4题.
五、教后反思
本节课的教学方案关注学生的自主探索、动手操作与合作交流,知识是在学生积极主动地参与学习过程中获得的.教学设计要求每个学生都真正参与到学习活动中,在小组内充分发表自己的意见,使不同学生得到不同的发展.今后教学要加强学生动手操作能力.
第3课时 中心对称图形
1.理解中心对称图形的定义及中心对称图形的性质,能判定常见的几何图形是不是中心对称图形.
2.掌握中心对称与中心对称图形的区别与联系.
中心对称图形的有关概念及其性质.
中心对称图形和中心对称的区别和联系.
一、情景导入
【问题1】关于中心对称的两个图形有哪些特征？
【问题2】观察如图所示的三个图形,你能发现什么？
让学生回顾中心对称知识,从而导入新课.
二、新知探究
阅读教材P5～6,完成下面的问题.
1.(1)如图,将线段AB绕它的中点旋转180°,你有什么发现？
(2)如图,将?ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°,你有什么发现？
答：线段绕中点、平行四边形绕对角线交点O旋转180°后都与它本身重合.
归纳：把一个图形绕着某一点旋转__180°__,如果旋转后的图形能够与原来的图形__重合__,那么这个图形叫做中心对称图形,该点就是__对称中心__.
2.思考：判断中心对称图形的“两个方法”：①若一个图形上,存在这样的一个点,使整个图形绕着这个点旋转180°后能够与原来的图形重合,则这个图形就是中心对称图形.②若图形中的对应点的连线都经过同一个点,并且被这个点平分,则这个图形就是中心对称图形.
3.应用：(1)【例1】判断下列图形是否为中心对称图形,如果是,请指出它们的对称中心.
①线段；②等腰三角形；③平行四边形；④矩形；⑤圆；⑥锐角.
解：①是中心对称图形,对称中心是线段的中点；③、④是中心对称图形,对称中心是它们对角线的交点；⑤是中心对称图形,对称中心是圆心；②、⑥不是中心称图形.
(2)完成教材P6练习第1题.
【仿例】下列图形中是中心对称图形的是(B)
阅读教材P6～7内容,回答下面问题：
1.同学们操作下,作一条直线平分平行四边形的面积,思考以下几个问题：这样的直线有几条？这样的直线有怎样的特征？这样的直线等分周长吗？
归纳：过平行四边形对称中心的任一条直线,等分平行四边形的面积和周长.平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都有这样的性质.
2.思考：中心对称图形的性质：①如果一个图形是中心对称图形,那么对称中心是任意一对对应点连线的中点；②过中心对称图形的对称中心,任意画一条直线,总把中心对称图形分为面积相等的两部分；③一条直线将两个中心对称图形的面积分为相等的两部分,则这条直线一定过两中心对称图形的对称中心.
3.应用：(1)【例2】下列各图是中心对称图形吗？如果是,请画出它们的对称中心.
解：三种图形都是中心对称图形,它们的对称中心如图所示.
(2)【例3】①将图1分成面积相等的两部分(不写作法,保留作图痕迹)：
②用不同的方法把图2分成面积相等的两部分:
解：作法如图：
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)中心对称图形的概念；
(2)中心对称图形的性质；
(3)中心对称性质的应用.
2.分层作业：
(1)教材P6练习第2题.
五、教后反思
数学教学不仅要考虑数学的自身特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,让学生从已有的生活经验出发,亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程。本节课通过欣赏生活中的中心对称图形——感知美,设计中心对称图形——创造美,从而体现数学的应用价值.本节课不足之处是学生独立思考时间不充分,注意今后改进.
第4课时 图形旋转在坐标系中的变换
掌握以原点为旋转中心,按逆时针方向旋转90°、180°、270°、360°后对应点坐标变化的规律.
以原点为中心,按逆时针旋转90°、180°、270°、360°后对应点坐标变化规律.
把握规律解决问题.
一、情景导入
如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,得到△A′B′O,则点A′的坐标为(D)
A.(3,1) B.(3,2) C.(2,3) D.(1,3)
通过作图,你发现点A与A′的坐标有何关系？
答：点A和A′横纵坐标绝对值颠倒,即A(－3,1),A′(1,3).
二、新知探究
阅读教材P7～8,完成以下问题.
填写表格：
以点O为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点坐标
原图形上点坐标
旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(x,y)
(－y,x)
(－x,－y)
(y,－x)
(x,y)
【例1】如图,阴影部分组成的图形既是以x轴为对称轴的轴对称图形,又是以坐标原点O为对称中心的中心对称图形.若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是(C)
A.(1,－3),(－1,－3)
B.(－1,－3),(－1,3)
C.(－1,－3),(1,－3)
D.(－1,3),(1,－3)
【仿例1】(徐州中考)在平面直角坐标系中,将点A(4,2)绕原点顺时针方向旋转90°后,其对应点A′的坐标为__(2,－4)__.
【仿例2】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,且点O是AB的中点,AB＝4,∠A＝30°,将△ABC绕点O逆时针旋转30°得△A′B′C′,则点C′的坐标是__(0,2)__.
【例2】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,－1).把△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出C1的坐标.
解：如图所示,C1的坐标为(1,4).
【仿例】在平面直角坐标系中,与点(2,－3)关于原点成中心对称的点是(C)
A.(－3,2) B.(3,－2) C.(－2,3) D.(2,3)
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果。
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
展示探究一中的表格内容.
2.分层作业：
(1)教材P10～11习题24.1第5～9题.
五、教后反思
本节课是研究图形在坐标系中旋转时坐标的变化规律,教学中以学生自主探索展开,教学深入浅出,循序渐进,例题的教学使学生对教学知识融会贯通,对应练习加深了对知识的理解与把握,课堂气氛活跃,学生交流与合作充分,效果较好.不足之处是作图时有部分学生对旋转90度掌握不是很好.
