24.2 圆的基本性质
24.2.1 圆的有关性质
第1课时 圆的有关概念
1.学会用集合的观点描述圆,掌握圆的有关定义.
2.探索点和圆的位置关系并学会如何判断点和圆的位置关系.
圆及其有关概念,点与圆的位置关系.
用集合的观点描述对圆的理解.
一、情景导入
圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.
1.观察以上图形,体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？
2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.
3.你能讲出多少种形成圆的方法？
学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识,从而导入新课.
二、新知探究
阅读教材P12,完成下面的问题.
1.如何用集合的观点定义圆？
答：(1)圆上各点到定点的距离都等于定长；(2)平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一圆上,圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合,其中定点为圆心,定长为半径.
归纳：从以上圆的形成过程,可得出：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径.以点O为圆心的圆,记作“__⊙O__”,读作圆O.
2.思考：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到__定点O__的距离等于__定长r__的点的集合.
1.阅读教材P12“交流”,探索点与圆有哪几种位置关系.
归纳：平面上一点P与⊙O(半径为r)的位置关系有以下三种情况.
①点P在⊙O上?OP＝r；
②点P在⊙O内?OP＜r；
③点P在⊙O外?OP＞r.
2.应用：【例1】已知⊙O的半径为3 cm,A为线段OM的中点,当OA满足：
(1)当OA＝1 cm时,点M与⊙O的位置关系是__点M在⊙O内__；
(2)当OA＝1.5 cm时,点M与⊙O的位置关系是__点M在⊙O上__；
(3)当OA＝3 cm时,点M与⊙O的位置关系是__点M在⊙O外__.
【仿例1】已知在矩形ABCD中,AB＝4,AC＝6,以点A为圆心,5为半径作圆,则A,B,C,D四点中,在圆内的点有__A,B,D__.
1.什么是弦？什么是直径？什么是弧？什么是半圆、优弧与劣弧？
答：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦,叫做直径,圆上任意两点间的部分叫做弧,直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧.
2.什么是等圆？什么是等弧？
答：能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧.
【例2】下列命题正确的是(D)
A.直径不是弦
B.长度相等的弧是等弧
C.圆上两点间的部分叫做弦
D.大小不等的圆中不存在等弧
【仿例2】如图所示,图中有__1__条直径,有__3__条弦,以E为端点的劣弧有__5__条,以A为端点的优弧有__4__条.
【仿例3】已知⊙O中最长的弦为16cm,则⊙O的半径为__8__cm.
【仿例4】如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,设BC＝a,EF＝b,NH＝c,试比较a,b,c的大小.
解：连接OM,OD,OA.由矩形性质得：OM＝NH＝c,OD＝EF＝b,OA＝BC＝a.∵OM＝OD＝OA,∴a＝b＝c.
三、交流展示
略.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆中的概念：弦与直线、弦与半圆、等弦与长度相等的弦之间的区别；
(2)直径是圆中最长的弦的推理；
(3)点和圆的位置关系；
(4)如何判断多个点在同一个圆上.
2.分层作业：
(1)教材P25习题24.2第1、2题.
五、教后反思
本节课的教学注重数学来源于生活并运用于生活的原则,课前引导学生找出生活中圆形的物体,课时结束时让学生用圆设计生活图案,注重培养学生的自主探究创新精神,如引导学生发现直径是圆中最长的弦并加以证明,同圆中半径都相等,让学生懂得了归纳知识的一般方法,同时学会了观察、实验、操作、发现等学习方法,让学生终生受益.
第2课时 垂径分弦
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,理解并掌握垂径定理及推论.
2.在对圆的对称性和垂径定理的探索中,对其各组量之间的推导能够融会贯通.
垂径定理的推导及应用.
垂径定理的推导及应用.
一、情景导入
剪一个圆形纸片,请同学们把手中圆对折,你会发现圆是一个什么样的图形？请同学们再把手中圆沿直径向上折,折痕是圆的一条什么呢？通过观察,你能发现直径与这条折痕的关系吗？
圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是圆的对称轴.折痕是圆的一条弦,直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,从而导入本课时.
二、新知探究
阅读教材P14的探究内容,完成下面的问题.
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
(1)此图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
答：(1)是轴对称图形,其对称轴是直径CD所在的直线.(2)AM＝BM,＝,＝.理由是轴对称的性质.
阅读教材P14～15,完成以下问题：
1.什么是垂径定理？
答：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
2.如图,垂径定理有哪些因素？可得出哪些推论？
答：①过圆心；②垂于弦；③平分弦(不是直径)；④平分劣弧；⑤平分优弧.
将以上五个要素中的两个作为已知条件可得出另外三个。据此可得出以下推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；②平分弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧；③弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.
3.应用：【例1】如图,已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是(B)
A.AE＝OE
B.CE＝DE
C.OE＝CE
D.∠AOC＝60°
4.练习：如图,在半径为5 cm的⊙O中,弦AB＝6 cm,OC⊥AB于点C,则OC为(B)
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
阅读教材P16～17例2、例3,完成下面问题：
【例2】在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB＝160 cm,则油的最大深度为(A)
A.40 cm B.60 cm C.80 cm D.100 cm
,练习(1)图)
练习：(1)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O、A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为__(3,2)__.
(2)已知⊙O的半径为13 cm,弦AB∥CD,AB＝10 cm,CD＝24 cm,求AB与CD间的距离.
解：当AB、CD在O点同侧时,如图①所示,MN＝7 cm；当AB、CD在O点两侧时,如图②所示,MN＝17 cm,∴AB与CD间的距离是7 cm或17 cm.
总结：在圆的有关计算中常通过连接半径、过圆心作弦的垂线构造直角三角形,然后应用勾股定理解决问题.
归纳：将实际问题转为数学问题,再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答.
(3)完成教材P17练习第1、2、3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆是轴对称图形,对称轴是过圆心的任一条直线；
(2)垂径定理及其推论.
2.分层作业：
(1)教材P25～26习题24.2第3～8题.
五、教后反思
本节课充分运用引导发现法与直观演示法,让学生在课堂中多活动、多观察,主动参与到教学活动之中,组织学生参与“实验——观察——猜想——证明”的活动,最后类比得出定理与推论,这样不仅让学生对主干内容有深刻的印象,而且充分调动了学生的学习热情,让学生学会学习,提高学习能力.例题教学培养了学生的分类意识,进一步巩固了对圆的对称性与垂径定理的理解.
24.2.2 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
1.从圆具有旋转不变性的理解,深入领会在同圆或等圆中,相等的圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系.
2.学会运用同圆或等圆中相等的圆心角、弧、弦、弦心距间对应关系解决问题.
圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用.
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.
一、情景导入
汽车能正常行驶(其他情况正常)得益于车轮,而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？
教师拿出做好的教具,在纸上画下任意圆,任意画出两条半径,构成一个顶点在圆心上的角α,将这个圆绕圆心O旋转任意角度α,你会发现什么？
这节课我们将要研究与它有关的一些定理,引入新课.
二、新知探究
探究一 圆心角的定义及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
阅读教材P18,完成以下问题.
1.什么是圆心角？
答：顶点在圆心的角叫圆心角.
2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距有何关系？相关推论是什么？
答：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距,有一组量相等,那么其余各组量都分别相等,简记为：圆心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等.
3.应用：【例1】下列图形中是圆心角的是(A)
A B C D
4.练习：(1)如图,AB,CD分别为⊙O的两条弦,OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N,且OM＝ON,则(D)
A.AB＝CD
B.∠AOB＝∠COD
C.＝
D.以上结论都对
(2)如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC＝CD＝DA,则∠BCD＝__120°__.
(3)如图所示,M,N分别是⊙O的弦AB,CD的中点,AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM.
证明：连接OM,ON.
∵M,N是AB,CD的中点,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,
∴∠OMA＝∠ONC＝90°,
又∵AB＝CD,∴OM＝ON,
∴∠OMN＝∠ONM,∴∠AMN＝∠CNM.
1.应用：【例2】如图,已知⊙O与△ABC三边均相交,在三边上截得的线段DE＝FG＝HK,∠A＝55°,则∠BOC的度数为(C)
A.130° B.120° C.117.5° D.105°
例2图 练习(1)图 练习(2)图
2.练习：(1)(菏泽中考)如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠A＝25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为__50°__.
(2)(东营中考)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,AB＝8cm,＝＝,M是AB上一动点,CM＋DM的最小值是__4__cm.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆心角概念；
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.分层作业：
(1)教材P25～26习题24.2第6、9、10题.
五、教后反思
本节课利用多媒体教学充分调动学生学习的积极性,鼓励学生积极探究圆的旋转不变性,让学生在成功中享受喜悦,增强信心,实现以发展学生为本的目的.从教学效果看,教师教得轻松、学生学得愉快,参与程度高.教师应注意强调定理运用的前提条件是“在同圆或等圆中”,实现弦、弧、圆心角、弦心距四者关系的转化.
24.2.3 圆的确定
1.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”,了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
2.经历不在同一直线上三个点作圆的具体过程,从圆心与半径的唯一性理解不在同一直线上的三个点确定一个圆的道理.
会经过不在同一直线上的三点作圆,并理解不在同一直线上的三点确定一个圆的道理.
学会用反证法证明命题.
一、情景导入
1.经过一点可作多少条直线？经过两点呢？
答：经过一点可作无数条直线,经过两点只可以作一条直线,即两点确定一条直线.
2.经过一点A作圆,能作多少个圆？
答：能作无数个圆,如图1.
图1 图2
3.经过两点A,B作圆,能作多少个圆？这些圆的圆心有什么特点？
答：经过两点A,B能作无数个圆？如图2.这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
二、新知探究
阅读教材P21～22,完成以下问题.
1.经过不在同一直线上三点A,B,C,能不能作圆？关键是什么？由此可得出什么结论？
答：经过不在同一直线上三点A,B,C可以作一个圆.关键是确定该圆的圆心,可作出AB,BC两条线段的垂直平分线的交点O,即该圆的圆心.由此可得出结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
2.什么是三角形的外接圆？什么是三角形的外心？三角形的外心有何性质？
答：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点距离相等.
3.应用：【例1】由下列条件能确定一个圆的有(D)
①已知圆心和半径 ②已知直径的位置和大小 ③已知不在同一直线上的三个点
A.① B.②③ C.①② D.①②③
4.练习：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示.为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃片应该是(B)
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
阅读教材P22～23,完成以下问题：
1.什么是反证法？用反证法证明命题有哪几个步骤？
答：先假设命题结论不成立,然后经过推理,得出矛盾的结果,最后断定结论一定成立,这样的证明方法叫反证法。反证法证明命题一般有以下三个步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立；(2)推理：从(1)中的反设出发、逐步推理,直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果；(3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立,从而肯定命题的结论成立.
2.应用：【例2】用反证法证明“在△ABC中,若∠A＞∠B＞∠C,则∠A＞60°”,第一步应假设(A)
A.∠A≤60° B.∠A＜60°
C.∠A≠60° D.∠A＝60°
3.练习：(1)用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设(D)
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
(2)如图,直线AB,CD相交.求证：AB,CD只有一个交点.
证明：假设AB,CD相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有两条直线,这与“__两点确定一条直线__”相矛盾,所以假设不成立,则__AB,CD只有一个交点__.
(3)已知△ABC,求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角为直角.
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角,不妨设∠A＝∠B＝90°,则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°,这与“三角形内角和为180°”相矛盾,故三角形中不能有两个角为直角.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)确定圆的条件(外心、三角形的外接圆)
(2)反证法.
2.分层作业：
(1)教材P24练习第1～2题.
五、教后反思
本课时通过探讨、操作过一点、二点、不在同一直线上三点作圆,反证法的探索,让学生经历了循序渐进的探究过程,获取相应的知识,充分发挥学生的主体作用.本节课学生对反证法这一难点似乎感到有些迷惘,得加强巩固训练.
