24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
1.理解圆周角的概念；
2.经历探索圆周角和圆心角关系的过程,理解圆周角定理及其推论,并会灵活运用.
理解圆周角及圆心角的关系,会用推论1、2解决问题.
圆周角定理及推论的理解与应用.
一、情景导入
你喜欢看足球比赛吗？比赛中如图所示,甲队员在圆心O处,乙队员在圆上C处,丙队员带球突破防守到圆上D处,依然把球传给了甲,你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？
引导学生思考,引出课题,学生观察、分析图形,初步感知角的特征.
二、新知探究
阅读教材P27～28,完成下面的问题.
1.如图,哪些角是圆心角？哪些角是圆周角？所对的圆心角,圆周角分别是什么？它们有什么关系？
答：圆心角：∠AOD.圆周角：∠ABD、∠ACD、∠AED、∠BAE、∠CAE、∠BDE、∠BDC、∠CDE、∠BAC等.所对的圆心角：∠AOD,圆周角为：∠ABD、∠ACD,∠ABD＝∠ACD＝∠AOD.
归纳：①圆周角的定义：顶点在__圆上__,并且两边都与圆__相交__的角；②一条弧对着__一__个圆心角,对着__无数__个圆周角.
2.思考：圆心角必须具备两个条件：(1)顶点是圆心；(2)角的两边与圆相交.二者缺一不可.一条弧所对的圆周角满足：角的两边经过这段弧的两个端点,而角的顶点在与这条弧共圆的另一条弧上.
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.教材中圆周角定理的证明共分了哪几种情况？∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：分三种情况：①点O在∠BAC边AB上；②点O在∠BAC的内部；③点O在∠BAC外部.
①②由同学们分组讨论,自己完成；③由同学们讨论,代表回答.
4.应用：【例1】如图,已知点A,B,C在⊙O上,为优弧.下列选项中与∠AOB相等的是(A)
A.2∠C B.4∠B
C.4∠A D.∠B＋∠C
例1图 练习(1)图 练习(2)图
5.练习：(1)如图,⊙O为△ABC的外接圆,∠A＝72°,则∠BCO的度数为__18°__.
(2)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B＝60°,⊙O的半径为4,则AC的长等于__4__.
1.圆周角定理的推论有哪些？
答：推论1：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
2.应用：【例2】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD＝58°,则∠BCD等于(B)
A.116° B.32° C.58° D.64°
例2图 练习(1)图 练习(2)图
3.练习：(1)如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠AOD＝130°,BC∥OD交⊙O于点C,则∠A＝__40°__.
(2)如图,AB是⊙O的直径,AB＝10 cm,∠ADE＝60°,DC平分∠ADE,求AC,BC的长.
解：∵∠ADE＝60°,DC平分∠ADE,∴∠ADC＝∠ADE＝30°.
∴∠ABC＝30°.∵AB为⊙O的直径且AB＝10 cm,
∴AC＝AB＝5 cm,BC＝＝5 cm.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆周角及其定理；
(2)圆周角定理的推论.
2.分层作业：
(1)教材P29练习第1～5题.
五、教后反思
本节课以学生探究为主,配合多媒体的辅助教学,注重教学与生活联系,创设富有挑战性的问题情景,引导学生用数学的眼光看问题、发现规律、验证猜想.教学中注重学生的个体差异,让不同层次学生参与到数学思维活动中来,充分发挥学生的主体作用,让学生认识自我、建立自信,不仅“学会”,而且“会学”、“乐学”,提高学习效率.不足之处：本节内容较多,节奏过快,可能有学生掌握不够,还需巩固练习.
第2课时 圆内接四边形
1.理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念.
2.掌握圆内接四边形的性质,并会用此性质进行有关的计算和证明.
圆内接四边形性质的理解及应用.
灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题.
一、情景导入
圆周角定理的内容是什么？有哪些推论？
答：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论：(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
今天我们继续利用圆周角的性质解决圆内接四边形问题.
二、新知探究
阅读教材P30,完成以下问题.
1.什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？
答：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.应用：【例1】多边形的外接圆圆心在(D)
A.多边形的内部
B.多边形的外部
C.多边形的边上
D.以上三种情况都有可能
3.练习：(1)下列多边形中一定有外接圆的是(A)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
(2)一定在同一圆上的是(D)
A.平行四边形的四个顶点
B.梯形的四个顶点
C.矩形的四边的中点
D.菱形的四边的中点
1.圆内接四边形性质定理的内容是什么？
答：圆内接四边形的对角互补,且任何一个外角都等于它的内对角.
2.应用：【例2】圆内接四边形ABCD的四个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(A)
A.1∶3∶4∶2 B.2∶3∶1∶4
C.3∶2∶4∶1 D.4∶1∶2∶3
【例3】如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在对角线AC上,EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°,求∠BAD的度数；
(2)求证：∠1＝∠2.
解：(1)∵∠CBD＝39°,∴∠CAD＝39°.
∵BC＝DC,∴∠BAC＝∠BDC＝∠CBD＝39°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°.
(2)∵EC＝BC,∴∠1＋∠CBD＝∠BEC.
∵∠BEC＝∠2＋∠BAC,∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.
∵∠BAC＝∠BDC,∴∠1＝∠2.
3.练习：(1)如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD＋∠OCD＝__60°__.
,练习(1)图) ,练习(2)图)
(2)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCE＝80°,则∠BOD＝__160°__.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)圆内接多边形；
(2)圆内接四边形性质定理.
2.分层作业：
(1)教材P31练习第1～3题,P32习题24.3第9～11题.
五、教后反思
本节课时是圆周角定理应用的一个拓展和延伸,在学生已有的知识积累和经验上,放手让学生自主探索,得出圆内接四边形的性质,为后续应用奠定了基础.学生兴趣浓,积极参与度高,教师能很好驾驭课堂,收到很好的效果.
