一 圆周角定理(共28张PPT)
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(共28张PPT)
顶点在圆心的角叫圆心角.顶点在圆周上,两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆心角和圆周角是如何定义的？
半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
半圆或直径所对的圆周角都等于90°（直角）.
反过来也是成立吗？
圆周角和圆心角之间有的关系？
思考？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD = 1/2∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD =1/2 ∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
知识要点
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .
1、⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0）点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（4，－3），则点P与⊙O的位置关系是 ，点A在⊙O的 .
2、一个点与定圆上最近的距离为4㎝，最远点的距离为9㎝，则此圆的半径为 .
A(4，-3)
.
.
P
（4，2）
1题
5
3
4
2
4
.
.
O
P
4㎝
9㎝
A
B
2题
我们知道，一个周角是360°.把圆周等分成360份，每份叫做1°的弧.
由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数是n°.从而有：
知识要点
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数 .
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
实际问题数学化
B,D,E为球员，AC为球门，分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
在同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识要点
圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
如图，△ABC内接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，
求证：AB·AC＝AE·AD
△ABD∽ △AEC
分析：要证AB · AC = AE · AD
∠1=∠2
∠C=∠D
90°的圆周角所对的弦是直径？
知识要点
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D.已知CD=2cm，AD=1cm，求AB的长.
r
r-1
2
解一
解二
连接CO，利用勾股定理
求出半径:r2=(r-1)2+22
连接CA，CB利用射影定理
求出DB
2、圆心角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1、圆周角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（ ）
A．随点C的运动而变化
B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上
D．无法判断
1
2
3
4
5
B
∠1=∠2= ∠3
∠4=∠5
∠CDO=∠POD=90°
解析
2、如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点E，求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.
1
3
2
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3
＝2∠2+2∠ABD
＝2（∠2+∠ABD）
＝2 ×90°
＝180°
解：
3、已知：△ABC为⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E.AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，
求证：AB2＝BG·BC.
分析：要证AB2＝BG·BC
△ABG∽ △CBA
1
∠ABG =∠CBA
∠1= ∠C
连接BH，利用等孤所对的圆周角相等：
2
∠1= ∠2=∠C
即证.
4、如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8，AE＝2，求EC的长.
分析：连接BE，得AC BE
则BE2=AB2－AE2=60
由射影定理可知BE2=BF·BC
即 5/6BC2=60
BC2=72
CE2=BC2－BE2=12.
习题2.1（第26页）
顶点在圆心的角叫圆心角.顶点在圆周上,两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆心角和圆周角是如何定义的？
半圆或直径所对的圆周角等于多少度？
半圆或直径所对的圆周角都等于90°（直角）.
反过来也是成立吗？
圆周角和圆心角之间有的关系？
思考？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD = 1/2∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
思考:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = 1/2∠AOC.
∠ABD = 1/2∠AOD,∠CBD =1/2 ∠COD,
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
知识要点
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .
1、⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0）点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（4，－3），则点P与⊙O的位置关系是 ，点A在⊙O的 .
2、一个点与定圆上最近的距离为4㎝，最远点的距离为9㎝，则此圆的半径为 .
A(4，-3)
.
.
P
（4，2）
1题
5
3
4
2
4
.
.
O
P
4㎝
9㎝
A
B
2题
我们知道，一个周角是360°.把圆周等分成360份，每份叫做1°的弧.
由此，n°的圆心角所对的弧是n°的弧；反之，n°的弧所对的圆心角的度数是n°.从而有：
知识要点
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数 .
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
实际问题数学化
B,D,E为球员，AC为球门，分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
在同圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识要点
圆周角定理的推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
如图，△ABC内接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，
求证：AB·AC＝AE·AD
△ABD∽ △AEC
分析：要证AB · AC = AE · AD
∠1=∠2
∠C=∠D
90°的圆周角所对的弦是直径？
知识要点
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D.已知CD=2cm，AD=1cm，求AB的长.
r
r-1
2
解一
解二
连接CO，利用勾股定理
求出半径:r2=(r-1)2+22
连接CA，CB利用射影定理
求出DB
2、圆心角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1、圆周角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（ ）
A．随点C的运动而变化
B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上
D．无法判断
1
2
3
4
5
B
∠1=∠2= ∠3
∠4=∠5
∠CDO=∠POD=90°
解析
2、如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点E，求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.
1
3
2
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3
＝2∠2+2∠ABD
＝2（∠2+∠ABD）
＝2 ×90°
＝180°
解：
3、已知：△ABC为⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E.AF⊥BD于F，延长AF交BC于G，
求证：AB2＝BG·BC.
分析：要证AB2＝BG·BC
△ABG∽ △CBA
1
∠ABG =∠CBA
∠1= ∠C
连接BH，利用等孤所对的圆周角相等：
2
∠1= ∠2=∠C
即证.
4、如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8，AE＝2，求EC的长.
分析：连接BE，得AC BE
则BE2=AB2－AE2=60
由射影定理可知BE2=BF·BC
即 5/6BC2=60
BC2=72
CE2=BC2－BE2=12.
习题2.1（第26页）