四 弦切角的性质 共23张PPT)

(共23张PPT)
切线的性质定理？
圆的切线垂直于经过切点的.
切线的判定定理？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
两个条件缺一不可！
圆内接四边形的性质？
圆的内接四边形的对角互补 .
∴∠BCE= ∠A.
以点D为中心旋转直线DE，同时保证BC和DE得交点落在圆周上，当DE变为圆的切线时：
是否可以归纳为特殊的内接四边形呢？
观察上图，OA、OM、OB与直线L得关系？
假如直线L是圆O的切线，A为切点，连接OA，判断OA与直线L的关系？
∠BCE= ∠A
∠BCE = ∠A
如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，CE是圆O的切线，
求证：∠BCE= ∠A.
分析:
我们可以从特殊到一般的方法进行分析：
先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将一般的锐角和钝角三角形转化为直角三角形的情形.
(1)如图,圆心O在△ABC的边BC上,即△ABC是直角三角形.
∵CE为切线
∴∠BCE=90?
又∵∠A是半圆上的圆周角
∴∠A=90?
∴∠BCE=∠A.
证明：
(2)如图,圆心O在△ABC的内部,即△ABC为锐角三角形.作⊙O的直径CP, 连接AP,则∠PCE=∠CAP=90?
∵∠BCE=∠PCE-∠PCB=90?-∠PCB
∠BAC=∠CAP-∠PAB=90?-∠PAB
而∠PAB=∠PCB
∴∠BCE=∠BAC.
(3)如图,圆心O在△ABC的外部,即△ABC为钝角三角形.作⊙O的直径CP,连接AP,则∠PCE=∠CAP=90?
∵∠BCE=∠PCE+∠PCB=90?+∠PCB
∠BAC=∠CAP+∠PAB=90?+∠PAB
而∠PAB=∠PCB
∴∠BCE=∠BAC
综合 (1) (2) (3), 题意即证.
如上三个图,图中每个角的共同特点是什么？
知识要点
弦切角定义：
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 .
弦切角∠BCE= ∠A.
知识要点
弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 .
如图,直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧 .
解: 弦切角分别是：
所夹得弧分别是：
∠APC、∠APD、 ∠BPD 、 ∠BPC .
弧PC、弧PD、 弧PD 、 弧PC .
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角.
1、弦切角的定义
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
2、弦切角定理
1、如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C，得出等式 （ ）
A.∠ATC=TCB B． ∠CTB=BCT
C. ∠ATC=TBC D． ∠TBA=TAB
C
∵∠TBC+ ∠TBA=1800,
又∵ ∠ATC+ ∠TBA=1800
(弦切角定理和内接四边形定理) .
∴ ∠TBC= ∠ATC.
解析
2.已知: 如图,∠1=∠2, EF切圆于点D.
求证: BC∥EF
分析: 直线BC和直线EF被直线AD所截,因此可以通过同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来证明BC∥EF.
证明: 由弦切角定理,得
∠ADF=ABC+∠2.
又因为 ∠AGC=∠ABC+∠1
∠1=∠2,
所以 ∠ADF=∠AGC
因此 BC∥EF
3.已知: 如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A和B,AC是⊙O的直径.
求证: ∠APB=2∠BAC
证明: 连接BC
在△PAB中, ∠APB=180?-∠PAB-∠ABP
由弦切角定理,得 ∠PAB=∠ACB=∠ABP,
∴ ∠APB=180?-2∠ACB
在Rt△ABC中,∠BAC=90?-∠ACB
∴ ∠APB=2∠BAC
习题2.4（第34页）