26.1 等可能情形下的概率计算
第1课时 用直接列举法求简单随机事件的概率
1.了解随机事件概率的意义,会用直接列举法求一个事件的概率.
2.了解确定事件的概率和随机事件概率发生的范围.
随机事件概率的特点和一步随机事件概率的求法.
理解随机事件概率的意义和求法.
一、情景导入
1.什么是必然事件？什么是不可能事件？什么是随机事件？
答：在每一次试验中,可以事先知道其一定会发生的事件叫做必然事件,一定不会发生的事件叫做不可能事件,无法事先确定在一次试验中会不会发生的事件叫做随机事件.
2.什么是概率？
答：一般的,表示一个随机事件A发生可能性(机会)大小的数,叫做这个事件发生的概率,记作P(A).
二、新知探究
阅读教材P95～P96的内容,完成下面的问题：
1.一不透明袋内装有除颜色外完全相同的红、黄、绿、白四个球,从袋内随机摸出一球.问：(1)摸出的球可能是哪个球？(2)全部可能结果有几种？(3)每种结果的可能性大小如何？
答：(1)摸出的球可能是红球、黄球、绿球或白球.(2)全部可能结果有4种.(3)由于除颜色外其余完全相同,又是随机摸出,所以每个球被摸出的可能性大小相等,都是全部可能结果总数的.
归纳：定义：一般地,对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值 ,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
2.思考：(1)一般地,试验有两个共同的特点：①一次试验中,可能出现的结果为有限多个；②一次试验中,各种结果发生的可能性相等.对于现有这两个特点的实验,可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能试验结果中所占的比分析出事件的概率.
(2)一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)＝.
(3)
由此可知：事件A的取值范围为__0≤P(A)≤1__.当P(A)＝__1__时,事件A为必然事件；当P(A)＝__0__时,事件A为不可能事件.
1.【例1】如图所示,有一个转盘分成4个相同的扇形,颜色分为红、绿、黄三种颜色,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),求下列事件的概率：
(1)指针指向绿色；
(2)指针指向红色或黄色；
(3)指针不指向红色.
解：(1)；(2)；(3).
2.思考：当某一事件A发生的可能性大小与相关图形的面积大小有关时,概率的计算方法是事件A所有可能结果所组成的图形的面积与所有可能结果组成的总图形面积之比,即P(A)＝.概率的求法关键是要找准两点：(1)全部情况的总数；(2)符合条件的情况数目.二者的比值就是其发生的概率.
3.应用：【例2】如图,小明随机地在正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为__π__.
4.练习：(1)小玲在一次班会中参与知识抢答活动,现有语文题6个,数学题5个,综合题9个,她从中随机抽取1个,抽中数学题的概率是(C)
A. B. C. D.
(2)如图,圆盘被等分成8个扇形,转盘上的指针可以自由转动,如果指针不会停留在分界线上,那么指针停留在奇数区域的概率是(C)
A.0
B.1
C.
D.不确定
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行的有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)概率的概念;
(2)随机事件概率的求法.
2.分层作业：
(1)教材P102习题第26.2第1、2题.
五、教后反思
本节课的主要目的是通过“摸球”、“掷骰子”的游戏,帮助学生理解概率的意义与求法,本着这一目标,根据新教材理念,教师通过设计游戏,启发、引导、点拨学生,使学生运用自主学习、合作探究的方式进行本节课的学习,效果较好.不足的是学生对概率的意义有些迷惘.
第2课时 用列举法(列表、树状图)求概率
1.学会用列表或树状图两种方法求随机事件的概率.
2.理解等可能情形对概率计算的重要性.
用列表法和树状图求概率.
学会分两步走列举事件发生的所有可能性.
一、情景导入
一枚硬币连续掷两次,求下列事件的概率：
(1)两次全部正面朝上；
(2)两次全部反面朝上；
(3)一次正面朝上,一次反面朝上.
引导学生讨论分析得出结果：(1)；(2)；(3).
提出问题：除了用列表法求概率外,还有其他方法吗？从而引入新课.
二、新知探究
1.阅读教材P96例2及例3,弄清树状图求概率的方法和步骤.
2.应用：【例1】商店只有雪碧、可乐、果汁、奶茶四种饮料,每种饮料数量充足,某同学去该店购买饮料,每种饮料被选中的可能性相同.
(1)若他去买一瓶饮料,则他买到奶茶的概率是________；
(2)若他两次去买饮料,每次买一瓶,且两次所买饮料品种不同,请用树状图求出他恰好买到雪碧和奶茶的概率.
解：(1)；(2)设雪碧为A,可乐为B,果汁为C,奶茶为D,则列树状图为：
∴P(恰好买到雪碧和奶茶)＝＝.
归纳：当一次试验涉及两个因素(例如掷两个骰子),并且可能出现的结果数目较多时,为不重、不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法或树状图法.
3.思考：一般步骤：(1)根据题意画出树状图；(2)根据概率的求法,找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；(3)代入公式计算概率.
4.练习：在四边形ABCD中,①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC,在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是____.
1.阅读教材P97～P98例4,弄清用列表法求概率的方法步骤.
2.应用：【例2】某学习小组由3名男生和1名女生组成,在一次合作学习后,开始进行成果展示.
(1)如果随机选取1名同学单独展示,那么女生展示的概率为____.
(2)如果随机选取2名同学共同展示,求同为男生展示的概率.
解：根据题意,列表如下：
男1
男2
男3
女
男1
——
(男1,男2)
(男1,男3)
(男1,女)
男2
(男2,男1)
——
(男2,男3)
(男2,女)
男3
(男3,男1)
(男3,男2)
——
(男3,女)
女
(女,男1)
(女,男2)
(女,男3)
——
由表格可知,所有等可能的结果共有12种,同为男生的结果有6种,故同为男生展示的概率为＝.
3.思考：当一次试验涉及两个因素且可能出现的等可能的结果数目较多时,一般采用列表法.用列表法求概率时,应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.
4.练习：如图,一转盘被等分成三个扇形,上面分别标有数字－1,1,2,指针位置固定,转动转盘后任其自由停止,这时,某个扇形会恰好停在指针所指的位置,并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上,当做指向右边的扇形).
(1)若小静转动转盘一次,求得到负数的概率；
(2)小宇和小静分别转动转盘一次,若两人得到的数相同,则称两人“不谋而合”.用列表法求两人“不谋而合”的概率.
解：(1)；
小静
小宇
1
2
－1
1
(1,1)
(1,2)
(1,－1)
2
(2,1)
(2,2)
(2,－1)
－1
(－1,1)
(－1,2)
(－1,－1)
∴P(不谋而合)＝.
三、交流展示
略.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)用树状图求概率；
(2)用列表法求概率.
2.分层作业：
(1)教材P102习题第26.2第1～3题.
五、教后反思
本节课通过两个例题分别介绍了用树状图和列表法求二步事件概率的方法步骤,由于这是全新的内容和方法,又比较直观、难度不大,故以小组讨论合作方式进行,学生学习积极性高.再经过教师的点拔、强调,学生很容易上手,效果好.
第3课时 用树状图求三步及以上实验的概率
1.进一步理解有限等可能性事件概率的意义.
2.当一个试验中涉及3个或3个以上步骤时,会用树状图法不重不漏地列出所有可能的结果,从而正确地计算问题的概率.
用“树状图”求概率的方法.
画“树状图”分析和解决有关三步求概率的实际问题.
一、情景导入
《田忌赛马》.
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹,每场比赛三匹马各出场一次,共赛三次,以胜的次数多者为赢.已知田忌的马比齐王的马略逊色,即田忌的上马不敌齐王的上马,但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马,但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌屡败后,接受了孙膑的建议,结果两胜一负,赢了比赛.
(1)你知道孙膑给的是怎样的建议吗？
(2)假如在不知道齐王出马顺序的情况下,田忌能赢的概率是多少呢？
情境激趣,在最短时间内激起学生的求知欲和探索的欲望.提出问题,引入新课.
二、新知探究
1.一家医院某天出生了3个婴儿,假设生男生女的机会相同,那么这3个婴儿中,出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
解：画树状图如下：
[
P(1个男婴、2个女婴)＝.
归纳：当试验存在三步或三步以上时,用__树状图法__比较方便.
2.思考：(1)用列举法求概率的基本步骤是：①列举出一次试验的所有可能结果；②数出m,n；③由P(A)＝算出概率.(2)列举两步试验的所有可能结果时,有直接列举法、树状图法、列表法.当试验存在三步或三步以上时,用树状图法比较方便.
3.应用：【例】甲、乙、丙三个布袋都不透明,甲布袋中装有1个红球和1个白球；乙布袋中装有1个红球和2个白球；丙布袋中装有2个白球,这些球除颜色外都相同,从这3个布袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球恰好是2个红球和1个白球的概率是多少？
(2)取出的3个小球恰好全是白球的概率是多少？
解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种结果,每种结果出现的可能性相等.
(1)取出的3个小球恰好是2个红球和1个白球的有1种情况,∴取出的3个小球恰好是2个红球和1个白球的概率是；(2)取出的3个小球恰好全是白球的有4种情况,∴取出的3个小球恰好全是白球的概率是.
【仿例】某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口都标记着一个数,要求进入者把自己当做数“1”,进入时必须乘进口处的数,并将结果带到下一个进口,依次累乘下去,在通过最后一个进口时,只有乘积是5的倍数,才可以进入迷宫中心.现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入.
(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明.
(2)小组两位组员小张和小李商量做一个游戏,以猜测小军进迷宫的结果比胜负,游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心,小张和小李各得1分.小军如果不能进入迷宫中心,则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时,小张得3分；所得乘积是偶数时,小李得3分.你认为这个游戏公平吗？如果公平,请说明理由；如果不公平,请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平.
(3)在(2)的游戏规则下,让小军从最外环进口任意进入10次,最终小张和小李的总得分之和不超过28分,请问小军至少几次进入迷宫中心？
解：(1)树状图为：
P(进入迷宫中心)＝＝.(2)不公平,理由：由
树状图可知P(5的倍数)＝,P(非5的倍数的奇数)＝＝,P(非5的倍数的偶数)＝＝.所以不公平,可将第二道环上的数“4”改为任一奇数.(3)设小军x次进入迷宫中心,则2x＋3(10－x)≤28,解得x≥2,所以小军至少2次进入迷宫中心.
三、交流展示
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
求“两个步骤”试验的事件概率时用直接列举法、列表法、树状图法皆可,求“三个步骤”试验的事件的概率时用树状图法.
2.分层作业：
(1)教材P102习题26.2第2题.
五、教后反思
本节课是用树状图列举事件发生的结果,适合两步及两步以上事件,教学时应强调以下几点：①弄清对象之间的层次关系；②注意是否放回,分堆；③注意将规则读懂如“至少”“至多”“否则”等.
第4课时 概率的应用
1.学会熟练应用列表法或树状图求事件发生的概率.
2.能在实际生活中运用概率解决问题.
准确分析事件,画树状图或列表法列出事件所有可能发生的结果.
概率的准确分析计算.
一、情景导入
用列举法求概率有哪些方法？如何选择？
答：列表法和树状图法.用列表法不能列出所有可能的结果,通常用树状图法来求概率.
二、新知探究
1.阅读教材P99～P101例5～例7,小组讨论解决每个问题的方法、步骤.
2.应用：【例1】在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1、2、3、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同.小凯从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用列表的方法,表示出点P所有可能的坐标；
(2)求点(x,y)在函数y＝－x＋5图象上的概率.
解：(1)如下表：
(2)由表可知,共有12种可能的结果,并且它们出现的可能性相等.其中满足在函数y＝－x＋5的图象上(记为事件A)的结果有4种,所以P(A)＝＝.
【例2】(金华中考)如图的四个转盘中,C,D转盘分成8等分,若让转盘自由转动一次,停止后,指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是(A)
变例1：在a2□4a□4的空格“□”中,任意填上“＋”或“－”,在所有得到的代数式中,能够成完全平方式的概率是(B)
A.1 B. C. D.
变例2：在－1、3、－2这三个数中,任选两个数的积作为k的值,使反比例函数y＝的图象在第一、三象限的概率是____.
【例3】为响应习总书记“足球进校园”的号召,我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动,在本次知识的竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
解：列表如下：
从表中可以看到等可能的结果共有12种情况,而AB分到一组的情况有2种,故恰好选到A,B两所学校的概率为P＝＝.
3.练习：(1)如图,随机闭合开关S1、S2、S3中的两个,则能让灯泡?发光的概率是____.
一天晚上,小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时,突然停电了,小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起,则其颜色搭配一致的概率是____.
三、交流展示
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
概率的应用.
2.分层作业：
(1)教材P102练习第2～3题.
五、教后反思
本节课讲了概率在生活中应用的三个典型例题,为了激发学生的学习热情,本节课采取自学讨论与小组合作方式进行.由于学生已经学过用列表法和树状图法求概率,教师适时引导、点拔,让学生用学过的知识解决问题,这样学生积极性高,教学效果好.
