沪科版教案：24.3 圆周角
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文档简介
24.3 圆周角
教学目标
1.知识与技能
(1)使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；
(2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。
2.过程与方法
通过观察、思考实验探索等活动，分类证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。培养学生分类思想
教学重点难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理及性质；
难点：圆周角定理的证明及证明中的完全归纳法
教具准备：圆规、直尺
教与学互动设计
一、复习引入
引导学生复习圆心角的概念
问题：（1）什么是圆心角？（2）怎样确定圆心角的度数？
二、创设情景，导入新课
一个三角形，当它内接于一圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系。
如图，△ABC内接于⊙O，∠A，∠B，∠C，有什么共同特点？
（学生讨论交流，有一名学生回答）
三个角顶点都在圆周上，而且两边都与圆相交。
由此引入新课，板书课题：§26.4圆周角
三、合作交流、探索新知
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
判断题：下列图形的角是不是圆周角，并说明理由。
A B C D E
鼓励学生积极参与思考，引导学生归纳出一个角是圆周角的条件：
（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。
（学生讨论得出的结论，使学生有更深刻的印象）
上面的四幅图都是只满足一个条件，所以都不是圆周角。
问题1：圆周角的大小又跟什么有关系呢？
如图：当等边三角形△ABC内接于⊙O时请思考∠AOB与
∠ACB的度数，他们满足一个怎样的等量关系？从而你得出一个什么样的结论？
（1）让学生大胆猜想，分组讨论
（2）学生在全班交流
（3）教师指导
①利用等边三角形性质
②通过测量可以得到
关系：∠ACB=∠AOB
结论：一个圆周角的大小与他所对弧上圆心角有关，前者是后者的二分之一。
问题2：在等边三角形中有这样的关系，那么对一般的圆内接三角形是否成立呢？
（1）让学生大胆猜想，分组讨论
（2）学生在全班交流
（3）教师指导
（指导学生通过测量验证猜想结论
于是我们可得如下结论
结论：一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
如何证明这个命题的正确性呢？
教师引导：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？
虽然一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个，圆周角与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况。请你画出圆周角与圆心的位置关系。
（学生先自己讨论，全班交流，师生共同总结）
（1）角的一边在直径上。连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A=∠OCA。所以∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,则∠A=∠BOC；
（2）角的两边分居圆心两边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC。那么
∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC；
（3）角的两边在圆点一边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC，那么
∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC
注：分类讨论是一种重要的数学方法。
综合以上三种情况可以得知：
定理： 一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
练习：课本P29 练习1、2、3题
（主要是学生在下面自己完成，教师巡视，对发现的问题及时指导，然后由一名学生口述解题过程）
思考题1：如右图，请思考∠C1，∠C2，∠C3
度数，它们满足什么样的等量关系？
你能得到什么样的结论？如果是等弧又会怎样呢？
（学生思考交流，教师引导，师生共同归纳）
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，相等的圆周角所对的弧
也相等。
思考题2：如右图，AB为直径，∠AOB=180°，
请思考∠C1，∠C2，∠C3度数，
从而你得到什么结论？
（学生思考交流，教师引导，师生共同归纳）
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
（这是一个应用非常广泛的推论，要求学生结合图形正确理解推论的题设与结论）
四、新知应用
例1 如图，AB为的⊙O直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°, ∠ADC=70°.求∠APC的度数。
分析：∠APC等于圆周角∠BAD、∠ADC之和，
再由同弧所对的圆周角相等。
解 连接BC，则∠ACB=90°
∠DCB=∠ACB－∠ACD=90°－60°=30°
又 ∵∠BAD=∠DCB=30°
∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°
五、教学小结
引导学生回顾本节课的知识点和学习方法：
圆周角的定义及定理
推论及其应用
六、课堂作业
课本P29 练习习题
第4、5题
七、教学设计
回顾
引入定理
推论1
推论2
例1
小结及作业
教学目标
1.知识与技能
(1)使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；
(2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。
2.过程与方法
通过观察、思考实验探索等活动，分类证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。培养学生分类思想
教学重点难点
重点：圆周角的概念和圆周角定理及性质；
难点：圆周角定理的证明及证明中的完全归纳法
教具准备：圆规、直尺
教与学互动设计
一、复习引入
引导学生复习圆心角的概念
问题：（1）什么是圆心角？（2）怎样确定圆心角的度数？
二、创设情景，导入新课
一个三角形，当它内接于一圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系。
如图，△ABC内接于⊙O，∠A，∠B，∠C，有什么共同特点？
（学生讨论交流，有一名学生回答）
三个角顶点都在圆周上，而且两边都与圆相交。
由此引入新课，板书课题：§26.4圆周角
三、合作交流、探索新知
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
判断题：下列图形的角是不是圆周角，并说明理由。
A B C D E
鼓励学生积极参与思考，引导学生归纳出一个角是圆周角的条件：
（1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。
（学生讨论得出的结论，使学生有更深刻的印象）
上面的四幅图都是只满足一个条件，所以都不是圆周角。
问题1：圆周角的大小又跟什么有关系呢？
如图：当等边三角形△ABC内接于⊙O时请思考∠AOB与
∠ACB的度数，他们满足一个怎样的等量关系？从而你得出一个什么样的结论？
（1）让学生大胆猜想，分组讨论
（2）学生在全班交流
（3）教师指导
①利用等边三角形性质
②通过测量可以得到
关系：∠ACB=∠AOB
结论：一个圆周角的大小与他所对弧上圆心角有关，前者是后者的二分之一。
问题2：在等边三角形中有这样的关系，那么对一般的圆内接三角形是否成立呢？
（1）让学生大胆猜想，分组讨论
（2）学生在全班交流
（3）教师指导
（指导学生通过测量验证猜想结论
于是我们可得如下结论
结论：一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
如何证明这个命题的正确性呢？
教师引导：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？
虽然一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个，圆周角与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况。请你画出圆周角与圆心的位置关系。
（学生先自己讨论，全班交流，师生共同总结）
（1）角的一边在直径上。连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A=∠OCA。所以∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,则∠A=∠BOC；
（2）角的两边分居圆心两边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC。那么
∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC；
（3）角的两边在圆点一边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC，那么
∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC
注：分类讨论是一种重要的数学方法。
综合以上三种情况可以得知：
定理： 一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
练习：课本P29 练习1、2、3题
（主要是学生在下面自己完成，教师巡视，对发现的问题及时指导，然后由一名学生口述解题过程）
思考题1：如右图，请思考∠C1，∠C2，∠C3
度数，它们满足什么样的等量关系？
你能得到什么样的结论？如果是等弧又会怎样呢？
（学生思考交流，教师引导，师生共同归纳）
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等，相等的圆周角所对的弧
也相等。
思考题2：如右图，AB为直径，∠AOB=180°，
请思考∠C1，∠C2，∠C3度数，
从而你得到什么结论？
（学生思考交流，教师引导，师生共同归纳）
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
（这是一个应用非常广泛的推论，要求学生结合图形正确理解推论的题设与结论）
四、新知应用
例1 如图，AB为的⊙O直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°, ∠ADC=70°.求∠APC的度数。
分析：∠APC等于圆周角∠BAD、∠ADC之和，
再由同弧所对的圆周角相等。
解 连接BC，则∠ACB=90°
∠DCB=∠ACB－∠ACD=90°－60°=30°
又 ∵∠BAD=∠DCB=30°
∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°
五、教学小结
引导学生回顾本节课的知识点和学习方法：
圆周角的定义及定理
推论及其应用
六、课堂作业
课本P29 练习习题
第4、5题
七、教学设计
回顾
引入定理
推论1
推论2
例1
小结及作业