上海市浦东新区2020年高一第二学期数学讲义：任意角的概念及其度量

上海市浦东新区2020年高一第二学期数学讲义
任意角的概念及其度量
【知识梳理】
一、角的概念的推广
1、回忆：初中是任何定义角的？（静态观点：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”。
初中阶段：我们研究的角，锐角，直角，钝角，平角，周角。
2、讲解：“旋转”形成角 （动态观点）
突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于轴正半轴，顶点合于坐标原点。
3、“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角或 可以简记成
4、由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，脱离了初中阶段的[0,360]范围。
1 角有正负之分 如：=210 =-150 = -660
2 角可以任意大：实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080）
3 还有零角：一条射线，没有旋转
二、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30 390 330是第Ⅰ象限角 300 60是第Ⅳ象限角
585 1180是第Ⅲ象限角 2000是第Ⅱ象限角等
三、关于终边相同的角
1、观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同
2、终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和
390=30+360
330=30360 30=30+0×360
1470=30+4×360
1770=305×360
3、所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
小结： 1 角的概念的推广：用“旋转”定义角：角的范围的扩大
2“象限角”与“终边相同的角”
四、弧度制
弧度制是另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1rad，AOC=2rad ，周角=2rad。




1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；
2、角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）；
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；
4、用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
五、角度制与弧度制的换算
抓住：360=2rad ∴180= rad
∴ 1=

六、弧长公式:
比相应的公式简单
扇形的面积公式：
【典型例题讲解】
例1、（1）把化成弧度
解： ∴
（2）把化成度
解：
变式练习1：请将下表补充完整
00 600 1200 2100 3900

变式练习2：（1）将化成弧度；
（2）将化成度；
（3）时间经过4小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？
答案：（1）315.50（2）24300（3）时针、分针各转-1200，-14400,等于
注意：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3表示3rad sin表示rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。




任意角的集合 实数集R
例2、用弧度制表示：1、终边在轴上的角的集合
2、终边在轴上的角的集合
3、终边在坐标轴上的角的集合
解：1、终边在轴上的角的集合
2、终边在轴上的角的集合
3、终边在坐标轴上的角的集合
变式练习1：终边落在坐标轴上的角的集合
1、终边在轴正半轴上的角的集合：
2、终边在轴负半轴上的角的集合：
3、终边在轴正半轴上的角的集合：
4、终边在轴负半轴上的角的集合：
变式练习2：象限角的集合表示
1、第一象限角：
2、第二象限角：
3、第三象限角：
4、第四象限角：
例3、直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长： ⑴ ⑵
解：（1） ⑴：
⑵ ∴
变式练习： 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例4、将下列各角化成0到的角加上的形式，并判断是哪个象限的角。
⑴ ⑵
解：，第一象限， 第一象限
变式练习1：将下列各角化成0到的角加上的形式，并判断是哪个象限的角。
（1）； （2）15000 ；（3）-9
答案：（1），第三象限角
（2）15000=，第一象限角
（3）-9=-10+，不属于象限角，终边落在x轴的负半轴上。
变式练习2：在于角100300终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角
（2）最小的正角
（3）3600—7200之间的角
答案(1)-500(2)3100(3)6700




例5、若是第二象限角，试判断角各是第几项限角。
答案：是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上。
是第一或第三象限角，是第一或第三或第四象限角。
变式练习：
角所在的象限 一 二 三 四
角所在的象限 一、三 一、三 二、四 二、四
角所在的象限 一二或y轴的正半轴 三四或y轴的负半轴 一二或y轴的正半轴 三四或y轴的负半轴
【课堂小练】
1、下列命题是真命题的是（ D ）
A、三角形的内角必是第一、第二象限的角
B、第一象限的角必是锐角
C、不相等的角终边必不相同
D、
2、用30cm长的铁丝围成一个扇形，应该怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：设扇形的半径为r,弧长为L，扇形的面积为S则：
L+2r=30 ,L=30-2r

当时，扇形面积最大为cm2,此时圆心角为2
3、5弧度是第几象限角？
答案：第四象限
4、已知集合 .
解析：依次考虑 k的取值，利用数轴，易得
5、已知角的终边与的终边相同，在内哪些角的终边与的终边相同？
解析：
6、已知扇环ABCD的两条弧长分别是两条直角边的长均为d，求扇环的面积。
解析：
【课后练习】
1、用角度制表示下列各角：
_______，_______，_______，______，______
2、终边在轴的左方的角的集合是____________
3、如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________
4、圆的半径为，则15°的圆心角所对的弧长为_________,扇形面积为__________（用表示）
5、下列命题：
①第一象限角都是锐角 ②锐角都是第一象限角 ③第一象限角一定不是负角 ④第二象限角大于第一象限角 ⑤第二象限角都是钝角 ⑥小于180°的角都是钝角、直角或锐角
其中真命题的序号为____________(填序号)
6、角的终边进过点，则是 （ ）
A 第三象限角 B 第四象限角
C 既是第三象限角又是第四象限角 D 不属于任何象限
7、下列各角中终边相同的角是 （ ）
A 和 B 和
C 和 D 和
8、315°化为弧度为 （ ）
A B C D
9、的角度数为 （ ）
A 30° B 60° C 75° D 105°

10、已知为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
A 第一或第二象限 B 第二或第三象限
C 第一或第三象限 D 第二或第四象限
11、扇形的周长是16，圆心角是2，则扇形的面积是 （ ）
A 16 B 32 C 16 D
12、在下列表格中填上相应的角度或弧度数
角度（度） 0 45 60 90 135 150 180
弧度
13、写出与角终边相同的角的集合
（1）° （2）° （3）°
14、把下列各角化成到的角加上的形式，并指出它们是第几象限角
（1） （2） （3）1200° （4）°
15、已知，试比较的大小




16、已知
（1）把表示成的形式（）
（2）求，使与终边相同且





17、（1）在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对弧长为多少？
（2）扇形的面积是1，它的周长是，求它的圆心角和弦的长







18、已知集合，
集合 ，求











答案：1、225° 180° 200° 157.5° 540°
2、
3、
4、
5、② 6、D 7、C 8、D 9、C 10、D 11、A
12、角度（度）：30 75 270 360
弧度：0
13、（1）
（2）
（3）
14、（1）第三象限 （2）第四象限 （3）第二象限 （4）第三象限
15、
16、（1）
（2）
17、（1） （2）
18、


o

r

C

2rad

1rad

r

l=2r

o

A

A

B

正角
零角
负角

正实数
零
负实数

o

A

B