第04讲 三角形
温故知新
本章知识框架图
(一)三角形基本要素及性质
(二)全等三角形的性质及条件
知识要点一
三角形
（一）三角形的定义及分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。
（2）三角形的分类：按角分类
（3）三角形内角的和等于180°，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。
（二）直角三角形
（1）通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ C=90°，则∠ A+∠B=90°
(三）三角形三边关系
（1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。
（四）三角形的“三线”
（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是△ABC的BC边上的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为△ABC的重心。
三角形的中线性质：①中线平分一条边；②无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；
③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。
（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线所在直线交于三角形外部一点。
典例分析
例1、已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13
例2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
例3、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
【解析】C 提示：如图
例4、在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
例5、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于 °
例6、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，
∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．
举一反三
1、点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为 cm2．
2、如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，若∠AED=40°，∠BEC=110°，
则∠ADE= 度
3、若△ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a﹣1，则a的取值范围为 ．
4、如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC的度数是 度．
5、在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（ ）
A．19cm B．19cm或14cm C．11cm D．10cm
6、如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°．求∠ACB和∠BAC的度数．
知识要点二
全等三角形的性质和条件
（一）全等三角形的定义及性质
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。全等用符号“≌”来表示，如图△ABC≌△DEF，其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
（二）三角形全等的条件
（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
典例分析
例1、已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
例2、如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，
∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
例3、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④OE=OD+OC．其中正确结论的个数 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4、已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为 cm．
例5、如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2= 度
例6、在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，
求证：AE=BG．
举一反三
1、如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP，若再添加一个条件即可判定△AOP≌△BPO，则一下条件中：①∠A=∠B；②∠APO=∠BPO；③∠APC=∠BPC； ④AP=BP；⑤OA=OB．其中一定正确的是 （只需填序号即可）
2、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于G，下列结论正确的有（ ）个
①BF=AC；②AE=BF；③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
4、如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
5、在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H。
（1）试说明DG=DC．
（2）判断FH与FC的数量关系并加以说明．
知识要点三
全等三角形的应用、尺规作三角形
（一）全等三角形的应用
由于两个三角形全等，对应边相等，因此利用全等三角形可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。
（二）尺规作三角形
（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体做法如下：已知：线段a， c，
（2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体做法如下：已知： ，，线段c，求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c
典例分析
例1、请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出
∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
例2、雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
例3、用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
举一反三
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．65° D．75°
2、如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（ ）
A．29米 B．58米 C．60米 D．116米
3、数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
③请你帮小颖设计用刻度尺画角平分线的方法．（要求：画出图形，写出画图步骤，不予证明）
课堂闯关
初出茅庐
1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
2、如图所示，已知∠ABD=∠ABC，补充一个条件，可使△ABD≌△ABC，那么补充的条件不能是（ ）
A．AD=AC B．BD=CB C．∠D=∠C D．∠DAB=∠CAB
3、下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A．12cm，3cm，6cm B．8cm，16cm，8cm
C．6cm，6cm，13cm D．2cm，3cm，4cm
4、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
【解析】45
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．
求证：（1）DF∥BC （2）FG=FE．
6、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．
优学学霸
1、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；
（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．
2、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
考场直播
1、如图，射线AM与△ABC的BC边交于点D，BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为E，F，当点D在什么位置时，BE=CF？请说明理由
2、已知如图，BD=CD，∠ADB=∠ADC，DE、DF分别垂直于AB是AC交延长线于E、F．试问BE=CF吗？请说明理由．
自我挑战
1、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（ ）
A．40 B．46 C．48 D．50
2、如图，在△OBC中，延长BO到D，延长CO到A，要证明OD=OA，则应添加条件中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DCB B．OB=OC，∠A=∠D
C．OB=OC，AB=DC D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB
3、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
4、如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC
（2）若BD=6cm，求AC的长
5、已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
第04讲 三角形
温故知新
本章知识框架图
(一)三角形基本要素及性质
(二)全等三角形的性质及条件
知识要点一
三角形
（一）三角形的定义及分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形有三边条、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“△”表示，如图中顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用来表示。如图，顶点A、B、C所对的边分别是BC、AC、AB，分别用来表示。
（2）三角形的分类：按角分类
（3）三角形内角的和等于180°，这个定理可以结合右边的图形，利用平行线的性质证明。
（二）直角三角形
（1）通常我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。直角所对的边叫做直角三角形的斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
（2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，用几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ C=90°，则∠ A+∠B=90°
(三）三角形三边关系
（1）三角形中，如图，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。三条边都相等的三角形是等边三角形。
（2）在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。总结一句就是三角形中，任意一边小于另外两边之和，大于另外两边之差。
（四）三角形的“三线”
（1）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。如图，AD是△ABC的BC边上的中线。一个三角形有三条中线，并且交于一点，这点称为三角形的重心。如图，三条中线交于点O，O点即为△ABC的重心。
三角形的中线性质：①中线平分一条边；②无论三角形什么形状，它的重心都在三角形的内部；
③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
（2）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角线的角平分线交于三角形内部一点。
（3）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的高线交于三角形内部一点，直角三角形的高线交于三角形直角顶点，钝角三角形的高线所在直线交于三角形外部一点。
典例分析
例1、已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是（ ）
A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13
【解析】B
例2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
【解析】C
例3、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对
【解析】C 提示：如图
例4、在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△ABC=4cm2，则S△BEF的值为（ ）
A．2cm2 B．1cm2 C．0.5cm2 D．0.25cm2
【解析】B
例5、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于 °．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠EFB=∠FED=65°，
由折叠的性质知，折痕EF为∠D ED′平分线，∠DEF=∠FED′=65°，
∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．
例6、如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠A=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA．
【解析】∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°
∴∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120
举一反三
1、如图，点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，
则△ABG的面积为 cm2．
【解析】3cm2
2、如图所示，BE平分∠ABC，DE∥BC，若∠AED=40°，∠BEC=110°，则∠ADE= 度
【解析】60°
3、若△ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a﹣1，则a的取值范围为 ．
【解析】∵△ABC的三边的长AB=5，BC=2a+1，AC=3a﹣1，
∴①（3a﹣1）+（2a+1）＞5，②（3a﹣1）﹣（2a+1）＜5；
∴1＜a＜7
4、如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=55°，则∠BOC的度数是 度．
【解析】100°
5、在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为（ ）
A．19cm B．19cm或14cm C．11cm D．10cm
【解析】A
6、如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°．求∠ACB和∠BAC的度数．
【解析】∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°
知识要点二
全等三角形的性质和条件
（一）全等三角形的定义及性质
（1）全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。全等用符号“≌”来表示，如图△ABC≌△DEF，其中互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，在记两个三角形全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。
（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
（二）三角形全等的条件
（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
典例分析
例1、已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
【解析】D
例2、如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【解析】设AD与BF交于点M，
∵∠ACB=105，
∴∠ACM=180°﹣105°=75°，
∠AMC=180°﹣∠ACM﹣∠DAC=180°﹣75°﹣10°=95°，
∴∠FMD=∠AMC=95°，∴∠DFB=180°﹣∠D﹣∠FMD=180°﹣95°﹣25°=60°．故选D．
例3、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④OE=OD+OC．其中正确结论的个数 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选D ，提示：在OE上截取OM=OD，连接DM，可以证明④正确
例4、已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为 cm．
【解析】2
例5、如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2= 度
【解析】20
例6、在Rt△ABC中，∠A=90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE=BG．
【解析】作EH⊥BC于H，如图，
∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，
∴EA=EH，
∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，
∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，
∴∠B=∠DAC，
∵∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EH=AF，
∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，
在△AFG和△EHB中，，
∴△AFG≌△EHB（AAS）
∴AG=EB，
即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．
举一反三
1、如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP，若再添加一个条件即可判定△AOP≌△BPO，则一下条件中：①∠A=∠B；②∠APO=∠BPO；③∠APC=∠BPC； ④AP=BP；⑤OA=OB．其中一定正确的是 （只需填序号即可）
【解析】①②③⑤
2、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于G，下列结论正确的有（ ）个
①BF=AC；②AE=BF；③∠A=67.5°；④△DGF是等腰三角形；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】C
3、如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【解析】C
4、如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边△CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．
【解析】∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，∠B=60°，
∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∵∠B=60°，
∴∠EAC=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，∴AE∥BC．
5、在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H。
（1）试说明DG=DC．
（2）判断FH与FC的数量关系并加以说明．
【解析】（1）∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠A=45°
∵DG⊥AC，∴∠ADG=90°
∴∠A=∠AGD=45°，∴AD=DG
∵AD=DC
∴DG=DC
（2）FH=FC
理由如下：∵DG=DC，DE=DF，
∴FG=EC
∵DG⊥AC，∴∠EDF=90°
∵DF=DE
∴∠FED=∠CFD═45°
∴∠FEC=135°
同理可求∠FGH=135°
∴∠FEC=∠FGH
∵FH⊥FC，∴∠HFC=90°
∴∠GFH+∠DFC=90°
∵∠ADG=90°
∴∠DFC+∠DCF=90°
∴∠GFH=∠FCD
在△GFH和△FEC中，
∴△FGH≌△FEC（ASA），
∴FH=FC
知识要点三
全等三角形的应用、尺规作三角形
（一）全等三角形的应用
由于两个三角形全等，对应边相等，因此利用全等三角形可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。
（二）尺规作三角形
（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体做法如下：已知：线段a， c，
（2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体做法如下：已知： ，，线段c，求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c
典例分析
例1、请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【解析】由画法得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以△OCD≌△O′C′D′（SSS），
所以∠DOC=∠D′O′C′，
即∠A′O′B′=∠AOB．
故选B．
例2、雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
在△AOE与△AOF中，，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
例3、用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
【解析】如图所示：先作∠MBN=∠α，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．
举一反三
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．65° D．75°
【解析】根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，故选：C．
2、如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（ ）
A．29米 B．58米 C．60米 D．116米
【解析】B
3、数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
根据以上情境，解决下列问题：
①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 SSS ．
②小聪的作法正确吗？请说明理由．
③请你帮小颖设计用刻度尺画角平分线的方法．（要求：画出图形，写出画图步骤，不予证明）
【解析】（1）SSS；
（2）小聪的作法正确．
理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON
∴∠OMP=∠ONP=90°，
∵在Rt△OMP和Rt△ONP中，，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB；
（3）如图所示．步骤：①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG=OH．
②连结GH，利用刻度尺作出GH的中点Q．
③作射线OQ．则OQ为∠AOB的平分线．
课堂闯关
初出茅庐
1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【解析】C
2、如图所示，已知∠ABD=∠ABC，补充一个条件，可使△ABD≌△ABC，那么补充的条件不能是（ ）
A．AD=AC B．BD=CB C．∠D=∠C D．∠DAB=∠CAB
【解析】A
3、下面每组数分别是三根小木棒的长度，它们能摆成三角形的是（ ）
A．12cm，3cm，6cm B．8cm，16cm，8cm
C．6cm，6cm，13cm D．2cm，3cm，4cm
【解析】D
4、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 度．
【解析】45
5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．
求证：（1）DF∥BC （2）FG=FE．
【解析】∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B．
∴DF∥BC．
②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE．
6、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．
【解析】（1）证明：在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．
∵△ABE≌△CBF，
∴∠EAB=∠FCB=15°．
∵BE=BF，∠EBF=90°，
∴∠BFE=∠FEB=45°．
∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．
优学学霸
1、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；
（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．
解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
2、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°，∴∠BCE=90°；
（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，α+β=180°；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．
考场直播
1、如图，射线AM与△ABC的BC边交于点D，BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为E，F，当点D在什么位置时，BE=CF？请说明理由
【解析】当点D在BC的中点时，BE=CF，
理由如下：∵BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为E，F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
∵∠BDE=∠CFD，
∴在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE=CF
2、已知如图，BD=CD，∠ADB=∠ADC，DE、DF分别垂直于AB是AC交延长线于E、F．试问BE=CF吗？请说明理由．
【解析】在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD=∠DAC，AB=AC，
∵AE⊥ED，AF⊥DF，
∠AED=∠AFD=90°，
在△AED与△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AB=AC，
∴BE=CF．
自我挑战
1、等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（ ）
A．40 B．46 C．48 D．50
【解析】∵CE⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=12，∴3AF=12，
∴AF=4，∴AB=AC=2AF=8，
∴△FBC的面积是×BF×AC=×12×8=48，故选C．
2、如图，在△OBC中，延长BO到D，延长CO到A，要证明OD=OA，则应添加条件中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DCB B．OB=OC，∠A=∠D
C．OB=OC，AB=DC D．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB
【解析】C
3、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③
【解析】D
4、如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．
（1）求证：BD=BC
（2）若BD=6cm，求AC的长
【解析】∵DE⊥AB
∴∠BFE=90°
∴∠ABC+∠DEB=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ABC+∠A=90°
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC
（2）解：∵E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，
∴BE=BC=BD=3cm，
∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3cm．
5、已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD和CE垂直．
【解析】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
