(共26张PPT)
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
目标定位 重点难点
1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．
2．掌握等差数列的通项公式及变形公式. 重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．
难点：等差数列通项公式的应用.
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．
2．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么________叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是_____________．
同一个
公差
d
A
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________.
特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．
(2)等差数列的通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d(n≥m，m，n∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．
a1＋(n－1)d
1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
【答案】C
2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是( )
A．公差为－1的等差数列
B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列
D．公差为n的等差数列
【答案】A
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )
A．92 B．47
C．46 D．45
【答案】C
4．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝________.
【答案】10
【例1】 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中an＝n2＋n.
【解析】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
等差数列的定义及判定
【方法规律】定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
【解析】数列{bn}是等差数列．
理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，
∴an＋1－an＝d(n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.
∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列．
【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解．
等差数列的通项公式
【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．
等差数列的证明
【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法，即证an＋1－an＝常数；(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
构造法解题
1．对于等差数列定义的理解要注意：
(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项；
(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”；
(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当d＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列；
(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)?{an}是等差数列．
2．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m＜n)．
1．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则a7＝( )
A．7 B．10
C．20 D．30
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，∴a1－d＝－1,7d＝21，解得d＝3，a1＝2.则a7＝2＋6×3＝20.故选C．
2．如果三个数2a,3，a－6成等差数列，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵三个数2a,3，a－6成等差数列，∴2a＋a－6＝6，解得a＝4.故选D．
3．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( )
A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列
【答案】C
【解析】令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，∴bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.故选C．
4．(2019年贵州遵义期末)已知在数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.
第1课时 等差数列的概念与通项公式
【基础练习】
1．数列{an}满足an＋1＝an－3(n≥1)且a1＝7，则a3的值是( )
A．1 B．4
C．－3 D．6
【答案】A
【解析】因为an＋1＝an－3，所以an＋1－an＝－3，所以数列{an}为等差数列且公差为－3，a1＝7.所以an＝10－3n，则a3＝10－3×3＝1.故选A．
2．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 018，则该数列的首项为( )
A．1 B．2
C．5 D．6
【答案】B
【解析】由等差中项的定义知a1＋2 018＝2×1 010，∴a1＝2.
3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，∴3a4＝3，即a1＋3d＝1，a1＋7d＝8，解得a1＝－，d＝，则a12＝－＋×11＝15.故选A．
4．(2019年浙江嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】d1＝＝，d2＝＝，∴＝.
5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝( )
A．45 B．43
C．40 D．42
【答案】D
【解析】在等差数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.故选D．
6．在等差数列{an}中，若an＋an＋2＝4n＋6(n∈N*)，则该数列的通项公式an＝________.
【答案】2n＋1
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵an＋an＋2＝2an＋1＝4n＋6，∴an＋1＝2(n＋1)＋1，即an＝2n＋1.
7．已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，求数列{an}的通项公式．
【解析】∵{an}是等差数列，
∴a1＋a2＋a3＝3a2＝12，即a2＝4.
又a1＝2，∴公差d＝a2－a1＝2.
∴an＝2＋2(n－1)＝2n.
8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N＋，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N＋)．
(1)求证：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解析】(1)证明：∵bn＝且an＝，
∴bn＋1＝＝＝.
∴bn＋1－bn＝－＝2.
又b1＝＝1，
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.
∴即数列{an}的通项公式为an＝.
【能力提升】
9．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列
C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列
【答案】A
【解析】∵an－an－1＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列．故选A．
10．已知等差数列{an}的公差d≠0且a3＋a9＝a10－a8，若an＝0，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】B
【解析】∵a3＋a9＝a10－a8，∴a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d.∴an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d.令(n－5)d＝0(d≠0)，解得n＝5.
11．古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目：今有人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增，分完后把分掉的钱全部收回，再重新分配，每人恰分得100元，则一共有________人．
【答案】195
【解析】设共有n人，根据题意得第n个人给出n＋2元，故＝100，解得n＝195.∴一共有195人．
12．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________.
【答案】4n－3
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得解得则an＝2n－1.由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.
13．(2019年广西柳州校级月考)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即
(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
与{an}为等差数列矛盾．
所以不存在λ使{an}是等差数列．
PAGE
- 1 -
(共27张PPT)
2.2 等差数列
第2课时 等差数列的性质
目标定位 重点难点
1.掌握等差数列的定义和通项公式．
2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题. 重点：等差数列的性质．
难点：等差数列性质的应用.
1．等差数列{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n，m都有an－am＝________.
(2)对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq____ar＋as.
特别地对任意正整数p，q，r，若p＋q＝2r，则ap＋aq＝______.
(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差数列，公差为d，则{ban}也成等差数列且公差为______．
(n－m)d
＝
2ar
bd
(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}，{dn}都是__________．
(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．
2．等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列；当d＜0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d＞0时，等差数列{an}是单调递增数列．
等差数列
2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
【答案】B
【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝______.
【答案】3
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．6
【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用．
【答案】B
利用等差数列的通项公式或性质解题
【解析】方法一：设公差为d，∵a4＝a2＋2d，即2＝4＋2d，∴d＝－1，∴a6＝a2＋4d＝0.
方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即a6＝2a4－a2＝0.
【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45 B．50
C．75 D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.故选B．
【例2】 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．
灵活设元求解等差数列
【方法规律】常见设元技巧：
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
【例3】 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
等差数列的实际应用
【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}且首项a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
【示例】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝－26，a51＝54，则该数列从第几项开始为正数？
忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错
【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，a24＝0.
1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．
2．若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( )
A．64 B．30
C．31 D．15
【答案】D
【解析】∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，
∴a11＝15.
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
【答案】C
【解析】∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0
C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
【答案】D
【解析】由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.
2课时 等差数列的性质
【基础练习】
1．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
【答案】B
【解析】∵{an}是等差数列，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2，a20＝a4＋16d＝33－32＝1.
2．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【答案】A
【解析】设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10.
3．(2019年四川成都期末)等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为( )
A．3,7,9,15,100 B．4,10,12,34,100
C．5,11,16,30,100 D．4,10,13,43,100
【答案】B
【解析】由等差数列的通项公式得公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3,9,11,33,99，n的所有可能取值为4,10,12,34,100.故选B．
4．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝( )
A．20 B．25
C．10 D．15
【答案】D
【解析】由等差数列的性质可得a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.故选D．
5．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
【答案】18
【解析】根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18.
6．已知等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x－1＝0的两根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝________.
【答案】15
【解析】∵a3＋a15＝6，又a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(a3＋a15)＝×6＝15.
7．已知等差数列{an}的公差d＞0且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式．
【解析】由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝－4，
又a3a7＝－12，
∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两个根．
又d＞0，∴a3＝－6，a7＝2.
∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12.
8．已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
【解析】设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
整理得解得
故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
【能力提升】
9．在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )
A．10 B．20
C．40 D．2＋log25
【答案】B
【解析】∵在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，∴a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，∴a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a10)＋(a2＋a9)＋(a3＋a8)＋(a4＋a7)＋(a5＋a6)＝5(a5＋a6)＝20，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＝20.故选B．
10．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0且数列是等差数列，则a4等于( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令bn＝，则b2＝＝，b6＝＝1，由条件知{bn}是等差数列，∴2b4＝b6＋b2＝，b4＝.∵b4＝，∴a4＝.
11．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
【答案】A
【解析】∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，又a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3.∴方程为x2＋6x＋10＝0，无实数解．
12．(2019年上海模拟)如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
【答案】19
【解析】因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
13．在△ABC中，三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，求证：△ABC为正三角形．
【证明】∵，，成等差数列，
∴＋＝2，平方得a＋c＋2＝4b.
又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
∴＝b，故(－)2＝0.
∴a＝b＝c.故△ABC为正三角形．
PAGE
- 1 -
