(共36张PPT)
2.3 等差数列的前n项和
目标定位 重点难点
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程．
2．掌握等差数列前n项和公式，会应用公式解决实际问题．
3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外两个. 重点：等差数列前n项和公式．
难点：等差数列前n项和公式的应用.
1．数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝__________________.
2．等差数列{an}的前n项和
设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝____________＝_______________.
a1＋a2＋…＋an
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于( )
A．54 B．45 C．36 D．27
【答案】A
3．(2019年安徽合肥模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】B
4．(2019年山东泰安校级月考)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＝18，则S8等于________．
【答案】72
【解题探究】合理地使用前n项和公式，注意其变形，应用方程的思想．
有关等差数列的前n项和的基本运算
【方法规律】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
【例2】 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
【解题探究】(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；
(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零，设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a，b，则可求S28.
等差数列前n项和公式的灵活运用
已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝______.
【答案】21
【解析】∵{an}，{bn}都是等差数列，∴2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6.∴2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.
等差数列前n项和性质的应用
【规律总结】求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．
【例4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．
等差数列前n项和的最值
已知{an}是一个等差数列且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
【示例】在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，求数列{|an|}的前n项和．
思路点拨：本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由已知求得通项an后，可解an＜0(或an＞0)来确定这个数列从首项起共有多少项是负数，然后分段求出前n项绝对值的和．
解后反思：(1)已知数列{an}，求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0或an＜0.
(2)在求{|an|}的前n项和时，要充分利用{an}的前n项和公式，这样可简化解题过程．
(3)当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
1．等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项及前n项和；
(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25且a2＝3，则a7等于( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】B
【解析】由S5＝5a3＝25，∴a3＝5.∴d＝a3－a2＝5－3＝2.∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
2．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3＋a4＋a8＝25，则S9＝( )
A．60 B．75
C．90 D．105
【答案】B
3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
4．(2019年湖北武汉期末)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n等于________．
【答案】20
【解析】a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.
2.3 等差数列的前n项和
1．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝( )
A．168 B．156
C．152 D．286
【答案】D
【解析】∵
∴解得∴S13＝13a1＋d＝286.
2．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为( )
A．24 B．26
C．27 D．28
【答案】B
【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于＝22，再由前n项和为286＝＝11n，得n＝26.故选B．
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】C
【解析】设等差数列为{an}，公差为d，则∴②－①得5d＝15，解得d＝3.
4．(2019年云南昆明模拟)已知等差数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，若a1＝1，＝a2，则a8＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得＝1＋d，解得d＝2，d＝－1(舍去)，所以a8＝1＋7×2＝15.故选D．
5．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】∵a1＞0，S4＝S8，∴d＜0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，∴a6＋a7＝0，∴a6＞0，a7＜0，∴前六项之和S6取最大值．
6．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
【答案】C
【解析】由S5＜S6知a6＞0，由S6＝S7知a7＝0，由S7＞S8知a8＜0，C选项S9＞S5，即a6＋a7＋a8＋a9＞0，∴a7＋a8＞0，显然错误．
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＋a9＝18，a4＝7，则S10＝________.
【答案】100
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a1＋a9＝18，a4＝7，∴解得d＝2，a1＝1.则S10＝10＋×2＝100.
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn且满足－＝3，则数列{an}的公差为________．
【答案】2
【解析】∵Sn＝na1＋d.∴＝a1＋d，∴－＝－＝d.又－＝3，∴d＝2.
9．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
【解析】(1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
(2)Sn＝＝＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，∴n＝11或n＝－22(舍去)．
10．已知等差数列{an}中，a3＝2,3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，试问n为何值时Sn最大？
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
依题意，a1＋2d＝2,5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2，
∴数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8.
(2)Sn＝6n＋·(－2)
＝－n2＋7n
＝－2＋，
∵S3＝－9＋21＝12，S4＝－16＋28＝12，
∴当n＝3或4时，Sn最大．
【能力提升】
11．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A．13 B．12
C．11 D．10
【答案】A
【解析】∵a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，∴a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180.又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60.∴Sn＝＝＝390，即n＝13.故选A．
12．(2019年山东枣庄校级月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，(S8－S5)(S9－S5)＜0，则( )
A．|a7|＝0 B．|a8|＝0
C．|a7|＞|a8| D．|a7|＜|a8|
【答案】D
【解析】(S8－S5)(S9－S5)＜0，即(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0.又{an}为等差数列，则有a6＋a7＋a8＝3a7，a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)，(a6＋a7＋a8)(a6＋a7＋a8＋a9)＜0?a7(a7＋a8)＜0，a7与(a7＋a8)异号．又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|.故选D．
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )
A．12 B．18
C．24 D．42
【答案】C
【解析】∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，∴2×(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.
14．有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项和为________．
【答案】1 472
【解析】等差数列2,6,10，…，190中，公差d1＝4，等差数列2,8,14，…，200中，公差d2＝6，∵4,6的最小公倍数是12，∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d＝12，∵新数列最大项n≤190，∴2＋(n－1)×12≤190，解得n≤，∴n＝16.∵新数列中第16项a16＝2＋(16－1)×12＝182，∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2,14,26，…，182，各项之和为S16＝×(2＋182)＝1 472.
15．已知等差数列的前三项依次为m,4,3m，前n项和为Sn且Sk＝110.
(1)求m及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝是等差数列，并求其前n项和Tn.
【解析】(1)由题意可得4×2＝m＋3m，解得m＝2，
故等差数列的前三项依次为2,4,6，
故公差d＝4－2＝2，
∴Sk＝2k＋×2＝k2＋k＝110，
解得k＝10或k＝－11(舍去)．
∴m＝2，k＝10.
(2)由题意bn＝＝＝n＋1，
∴数列{bn}的公差d′＝bn＋1－bn＝1，
∴Tn＝2n＋×1＝.
PAGE
- 1 -
