(共30张PPT)
2.4 等比数列
第1课时 等比数列(一)
目标定位 重点难点
1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式，体会它与指数函数的关系．
3．掌握等比中项的定义，能用等比中项的定义解决问题. 重点：等比数列的定义、等比数列的通项公式．
难点：等比数列的通项公式的应用.
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
同一常数
公比
q
等比数列
3．等比数列的通项公式
等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝________.
a1qn－1
【答案】C
【答案】B
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81
C．128 D．243
【答案】A
【解析】∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1.∴a7＝a1q6＝26＝64.
4．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
【答案】B
【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
【例1】 在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a5.
等比数列通项公式
【方法规律】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【例2】 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
等比中项的应用
【方法规律】本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
A．90 B．100
C．145 D．190
【答案】B
【例3】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
等比数列的判定
【分析】求{an}的通项公式可考虑构造辅助数列的方法．
构造等比数列的技巧
3．在等比数列{an}中，
(1)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.
第1课时 等比数列（一）
【基础练习】
1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝( )
A． B．－
C．2 D．－2
【答案】C
【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴a3＋a5＝q(a2＋a4)＝20q＝40，解得q＝2.故选C．
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
【答案】D
【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1.故选D．
3．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A．数列{an}是等比数列
B．数列a2，a3，…，an是等比数列
C．数列{an}是等差数列
D．数列a2，a3，…，an是等差数列
【答案】B
【解析】由an＋1＝3Sn(n≥1)，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式作差得an＋1－an＝3an(n≥2)，即an＋1＝4an(n≥2)，∵a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，∴a2＝3.∴数列a2，a3，…，an是公比为4的等比数列．故选B．
4．(2019年北京期末)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，则a5与a7的等比中项为________．
【答案】±4
【解析】在等差数列中，S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝－36，∴a5＝－4；S13＝a1＋a2＋…＋a13＝13a7，∴a7＝－8.∴a5与a7的等比中项为±＝±4.
5．已知数列{an}的通项公式an＝2n－6(n∈N*)．
(1)求a2，a5；
(2)若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列{bn}的通项公式bn.
【解析】(1)由题意可得a2＝2×2－6＝－2，
a5＝2×5－6＝4.
(2)由题意可得b1＝－2，b2＝4，
故数列{bn}的公比q＝＝－2，
故bn＝－2×(－2)n－1＝(－2)n.
6．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，
所以＝q＝.
故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36，
解得a1＝27，故通项公式an＝27×n－1＝28－n.
令28－n＝＝2－1，解得n＝9.
7．已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．求证：数列{an＋1}是等比数列．
【证明】Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减，
得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．
当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
∴a2＋a1＝2a1＋6.
又a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)．
故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.
又a1＝5，a1＋1≠0，
从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
【能力提升】
8．下列四组数：(1)，，；(2)2，－2，4；(3)a2，a4，a8；(4)lg 2，lg 4，lg 8；那么( )
A．(1)是等差数列，(2)是等比数列
B．(2)和(3)是等比数列
C．(3)是等比数列，(4)是等差数列
D．(2)是等比数列，(4)是等差数列
【答案】D
【解析】(1)，，，是公比为的等比数列；
(2)2，－2，4，是公比为－的等比数列；
(3)a2，a4，a8，a＝0时是等差数列；a＝1时既是等差数列，又是等比数列；a≠0,1时，既不是等差数列，也不是等比数列；
(4)lg 2，lg 4，lg 8，即lg 2,2lg 2,3lg 2，是公差为lg 2的等差数列．
因此D正确．故选D．
9．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A． B．
C． D．或
【答案】C
【解析】∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1.∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1.∴q2－q－1＝0.∵q＞0，∴q＝.∴＝＝＝.
10．数列{an}是公差不为0的等差数列且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A． B．4
C．2 D．
【答案】C
【解析】∵a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a＝a1·a7.设{an}的公差为d，则d≠0，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2.故选C．
11．在数列{an}中，已知a2＝4，a3＝15且数列{an＋n}是等比数列，则an＝________.
【答案】2·3n－1－n
【解析】∵数列{an＋n}是等比数列，∴(a2＋2)2＝(a1＋1)(a3＋3)，∴(4＋2)2＝(a1＋1)×(15＋3)，解得a1＝1.∴公比q＝＝＝3.∴an＋n＝2×3n－1.∴an＝2·3n－1－n.
12．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列．
【证明】(1)∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，
两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4(an＋1－an)，
即an＋2＝4an＋1－4an，
变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＋1＝2bn.
∵a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝3.
∴数列{bn}是以3为首项，以2为公比的等比数列．
(2)∵cn＝，
∴cn＋1－cn＝－＝.
∵bn＝3·2n－1，∴cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)，
∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列．
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2.4 等比数列
第2课时 等比数列(二)
目标定位 重点难点
1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质．
2．理解等比数列的性质．
3．掌握等比数列的性质并能综合应用. 重点：等比数列的性质．
难点：等比数列性质的综合应用.
qn－m
am·an
性质4 在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列
【答案】C
【解析】a5＋a6＝a1q4＋a1q5＝q4(a1＋a2)＝48，又a1＋a2＝3，∴q4＝16.则a9＋a10＝q8(a1＋a2)＝256×3＝768.故选C．
4．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则an＋bn＝______(n∈N*)．
【答案】3n－1＋2n
【解析】∵a1＋b1＝3， ①
a2＋b2＝a1＋d＋b1q＝7， ②
a3＋b3＝a1＋2d＋b1q2＝15， ③
a4＋b4＝a1＋3d＋b1q3＝35， ④
②－①得，4－d＝b1(q－1)，
③－②得，8－d＝b1q(q－1)，
④－③得，20－d＝b1q2(q－1)，
解方程得d＝2，q＝3，b1＝1，a1＝2，
∴an＋bn＝3n－1＋2n.
【例1】 在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10.
【解题探究】利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．
等比数列性质的应用
【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，再求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
各项为正数的等比数列{an}中，a4·a7＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】由等比数列的性质，得a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log285＝15.故选C．
【例2】 已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为－128，求这四个数．
【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．
对称法设未知项
三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
【例3】 (2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
等比数列的实际应用
【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b.
1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，
2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，
【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210kB)．
【答案】45
【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟．
【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．
利用等比中项性质时忽视符号判断
【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择．
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【答案】D
【解析】由等比数列的性质得a3·a9＝a≠0，∴a3，a6，a9一定成等比数列．故选D．
2．设由正数组成的等比数列公比q＝2且a1a2…a30＝230，则a3a6a9…a30等于( )
A．210 B．215
C．216 D．220
【答案】D
3．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有( )
A．6项 B．8项
C．10项 D．12项
【答案】D
4．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1，a11，a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________.
【答案】－20
第2课时 等比数列（二）
【基础练习】
1．(2019年贵州贵阳适应性考试)在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
【答案】A
【解析】∵S5＝44，q＝－2，∴44＝，即44＝，解得a1＝4.
2．已知等比数列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，则a4＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】D
【解析】在等比数列{an}中，由q＝，a3a5a7＝64，得·a4q·a4q3＝(a4q)3＝＝64，解得a4＝8.故选D．
3．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和且S1，S2，S4成等比数列，则＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d且d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴S＝S1S4，∴(a1＋a2)2＝a1×，∴(2a1＋d)2＝2a1(2a1＋3d)，∴d2＝2a1d，解得d＝2a1.∴＝＝＝8.故选C．
4．正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，所以a4·a6＝6，a4＋a6＝5，解得a4＝3，a6＝2.所以＝＝.故选D．
5．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．－9
【答案】A
【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2.∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
6．在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，则a3＋a5＝________.
【答案】5
【解析】在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，即a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，解得a3＋a5＝5.
7．设等比数列{an}的各项均为正数且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.
【答案】10
【解析】由题意可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10.
8．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．
【解析】设这四个数为，a，aq,2aq－a，
则
由①，得a3＝216，a＝6，③
③代入②，得3aq＝36，q＝2.
∴这四个数为3,6,12,18.
9．已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
【解析】(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6.
∴a1a3＝36且a1＋a3＝21－a2＝15.
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根，
解方程可得两根为3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，∴an＝3×2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12×n－1＝3×23－n.
(2)由题意可得a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
【能力提升】
10．已知各项不为0的等差数列{an}，满足a－a3－a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质得a3＋a11＝2a7，a－a3－a11＝0变为a＝2a7，解得a7＝2或a7＝0(舍去)，所以b7＝a7＝2.因为数列{bn}是等比数列，所以b6b8＝b＝4.故选B．
11．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则( )
A．a5＋a7＞a4＋a8 B．a5＋a7＜a4＋a8
C．a5＋a7＝a4＋a8 D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|
【答案】A
【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a8，a4都是负数．∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7)．若0＜q＜1，则q－1＜0，a4－a7＜0，则有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，则q－1＞0，a4－a7＞0，则有a5＋a7－a4－a8＞0.∴a5＋a7＞a4＋a8.故选A．
12．已知a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则a，b，c分别为________．
【答案】4,12,36
【解析】∵a，b，c成等比数列，公比q＝3，∴b＝3a，c＝9a.又a，b＋8，c成等差数列，∴2b＋16＝a＋c，即6a＋16＝a＋9a，∴a＝4.∴a，b，c分别为4,12,36.
13．用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计息．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)
参考数据：(1＋1%)19≈1.208，(1＋1%)20≈1.220，(1＋1%)21≈1.232.
【解析】设每月还款x元，按复利计算1 000元贷款经过20期连本带息增值为1 000(1＋1%)20≈1 000×1.220＝1 220(元)．
所还金额连本带息为x(1＋1%)19＋x(1＋1%)18＋…＋x(1＋1%)＋x.
∴x(1＋1%)19＋x(1＋1%)18＋…＋x(1＋1%)＋x＝1 000(1＋1%)20，
即x·＝1 000(1＋1%)20，
∴x＝≈55.45，即每月还款55.45元．
∴买这件家电实际付款55.45×20＋150＝1 259(元)．
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