(共30张PPT)
2.5 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
目标定位 重点难点
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．
2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题. 重点：等比数列的前n项和公式．
难点：能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
等比数列前n项和公式
等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝________＝________；当q＝1时，Sn＝________.
na1
【答案】B
2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为( )
A．3 B．0
C．－1 D．任意实数
【答案】C
基本运算
【方法规律】在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解．
正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}的前9项和等于________．
【答案】1 022
【例2】 设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
【答案】D
等比数列前n项和的性质
【解析】由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z，又{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选D．
【方法规律】等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法．
前n项和公式的应用
【方法规律】等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用．
【示例】以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)且b1≠0.
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．
数列与函数的综合应用
【分析】(1)本题考查等比数列与函数知识．由点Pn(an，an＋1)在一次函数y＝2x＋k的图象上，结合bn＝an＋1－an，求出bn与bn＋1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6＝T4，S5＝－9，求k的值．
前n项和公式及应用
(1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题；
(2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论．
【答案】D
【答案】C
【解析】a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得a4－a3＝3a3即a4＝4a3，∴q＝4.
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝( )
A．4 B．12
C．24 D．36
【答案】B
【解析】∵Sn＝a·3n－2，∴a1＝S1＝a·31－2＝3a－2，a2＝S2－S1＝(9a－2)－(3a－2)＝6a，a3＝S3－S2＝(27a－2)－(9a－2)＝18a.∵{an}为等比数列，∴(6a)2＝(3a－2)×18a，解得a＝2或a＝0(舍去)．∴a2＝6a＝12.故选B．
4．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
【答案】2
第1课时 等比数列的前n项和
【基础练习】
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝( )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－3
【答案】A
【解析】∵S3＋3S2＝0，∴＋＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)．故选A．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足an＞0，q＞1且a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S6等于( )
A．63 B．48
C．42 D．36
【答案】A
【解析】∵a3＋a5＝20，a2a6＝64，∴消去a2，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，此时a2＝2，则a1＝1，则S6＝＝＝26－1＝63.故选A．
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则＝( )
A．4 B．5
C．8 D．9
【答案】D
【解析】∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，∴＝q3＝8，解得q＝2.∴＝＝1＋q3＝9.故选D．
4．设等比数列{an}的公比为q(0＜q＜1)，前n项和为Sn，若a1＝4a3a4且a6与a4的等差中项为a5，则S6＝________.
【答案】
【解析】∵a1＝4a3a4，a6与a4的等差中项为a5，∴由0＜q＜1，解得a1＝8，q＝.∴S6＝＝.
5．已知数列{an}是等差数列且a3＝－6，a6＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝a2，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝－6，a6＝0，
∴a1＋2d＝－6，a1＋5d＝0，解得a1＝－10，d＝2.
∴an＝－10＋2(n－1)＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
∵a1＝－10，a2＝－8，a3＝－6，
∴b1＝a2＝－8，b2＝a1＋a2＋a3＝－10－8－6＝－24.
∴q＝＝＝3.
∴Sn＝＝＝4(1－3n)．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn且a2＝1，S11＝33.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an，求证：{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵∴
解得a1＝，d＝，∴an＝.
(2)∵bn＝＝，∴＝，
∴{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
故前n项和Tn＝＝1－.
7．已知等比数列{an}的公比q＞1且2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*.
(1)求q的值；
(2)若a＝a10，求数列的前n项和Sn.
【解析】(1)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，n∈N*，
∴2an(1＋q2)＝5anq，化为2(1＋q2)＝5q.
又q＞1，解得q＝2.
(2)a＝a10，(a1×24)2＝a1×29，解得a1＝2.
∴an＝2n.
∴＝n.
∴数列的前n项和
Sn＝＝2.
【能力提升】
8．等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【答案】A
【解析】∵等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a.∵等比数列{an}中，a＝a1a3，∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.故选A．
9．(2019年江西景德镇模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．24 B．28
C．32 D．36
【答案】C
【解析】方法一：∵S99＝＝56，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝a1q2·＝＝×56＝32.
方法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，则b1q＝b2，b2q＝b3且b1＋b2＋b3＝56.∴b1(1＋q＋q2)＝56.∴b1＝＝8，b3＝b1q2＝32，即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.
10．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为________．
【答案】93
【解析】设数列{an}的公比为q，由a＝a2a4＝16得a3＝4，即a1q2＝4.又a6＝a1q5＝32，解得a1＝1，q＝2.∴an＝a1qn－1＝2n－1，bn＝an＋an＋1＝2n－1＋2n＝3·2n－1.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，S5＝＝93.
11．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋.已知a1＝1，a2＝，a3＝且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
【解析】(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5×＝8×＋1，解得a4＝.
(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，
∴4an＋2＋an＝4an＋1对n∈N＋都成立．
∴＝＝＝＝.
∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
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(共41张PPT)
2.5 等比数列的前n项和
第2课时 数列求和
目标定位 重点难点
1.掌握数列求和的方法．
2．掌握分组转化法、错位相减法、裂项相消法的综合应用. 重点：数列求和的方法．
难点：数列求和方法的综合应用.
1．分组转化求和法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
3．错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为( )
A．56 B．58 C．62 D．60
【答案】D
3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于( )
A．－4 B．－1
C．0 D．1
【答案】B
【解析】∵等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，∴a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝(16＋a)－(4＋a)＝12，a3＝S3－S2＝(64＋a)－(16＋a)＝48，∴122＝48(4＋a)，解得a＝－1.故选B．
4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋…＋a51＝________.
【答案】676
【例1】 在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
分组转化求和
【解析】(1)设等差数列{an}的公差是d.
依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3.
所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.
所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
【方法规律】如果一个数列{an}的通项an是关于n的多项式或分式、根式或其他形式的函数时，这个数列的和又不能直接运用等差数列、等比数列及其他常用公式求和时，我们可以采用“化整为零，各个击破”的数学思想，将数列{an}的通项经过适当变形进行分解，使之转化为运用公式法能求解的基本数列的求和问题，从而使问题获解．
已知数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，….
(1)求其通项公式an；
(2)求这个数列的前n项和Sn.
【解题探究】(1)利用等比数列的通项公式及其前n项和的公式即可得出；
(2)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．
裂项相消求和
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(2n＋1)(an＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解题探究】(1)根据题中已知条件Sn＝2an－n，得出n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)，此两式作差整理即可得到an＋1所满足的关系，从而可求出数列{an＋1}的通项公式得到所求；
(2)根据数列{bn}的通项可知利用错位相减法进行求和，从而可求出数列{bn}的前n项和Tn.
错位相减求和
(2)bn＝(2n＋1)·2n，Tn＝3·2＋5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，
2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，
∴－Tn＝6＋2(22＋23＋24＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1.
∴Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.
【方法规律】使用错位相减法求和时，要注意对项数进行准确判断，含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.
已知数列{an}是等差数列且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)∵数列{an}是等差数列且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，
∴2＋2＋d＋2＋2d＝12，解得d＝2.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
【示例】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
错位相减法求和时项数处理不当致误
【错因】(1)利用公式an＝Sn－Sn－1时，忽视n≥2这个限制条件，不对n＝1时进行验证；(2)用错位相减求和时，相减后的和式中的4(2＋22＋…＋2n－1)，这是一个等比数列的前(n－1)项的和，处理不当会出错．
【正解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.
所以an＝4n－1，n∈N*.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1.
(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1.
所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n.
2Tn－Tn＝(4n－1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)·2n＋5.
故Tn＝(4n－5)·2n＋5，n∈N*.
【点评】(1)利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，可将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．(2)利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．
数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求其通项公式，然后通过对通项公式的变形，转化为求等差数列或等比数列的前n项和．
4．设数列{an}的通项公式为an＝22n－1，令bn＝nan，则数列{bn}的前n项和Sn为________．
第2课时 数列求和
【基础练习】
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )
A．1 B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵an＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝.∴S5＝.故选B．
2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )
A．200 B．－200
C．400 D．－400
【答案】B
【解析】由题意可得数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，所以a1＝1，a2＝－5，a3＝9，a4＝－13，…，a99＝393，a100＝－397.所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝－4×50＝－200.故选B．
3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2 018＝( )
A．1 007 B．1 009
C．－1 007 D．－1 009
【答案】D
【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，则数列{an}是周期为4的数列，所以S2 018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 017＋a2 018＝504×(－2)＋1－2＝－1 009.
4．已知数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2n，则数列{an}的前20项的和为( )
A．3×211－3 B．3×211－1
C．3×210－2 D．3×210－3
【答案】D
【解析】∵数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2n，∴a2＝＝2，an－1an＝2n－1，n≥2.∴＝＝2，则数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．∴前20项的和为S20＝＋＝3×210－3.故选D．
5．设数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．
【答案】
【解析】a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n.∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴＝＝2，∴S10＝2＋
＝2＝.
6．在数列{an}中，anan＋1＝，a1＝1.若Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________.
【答案】15
【解析】由anan＋1＝，a1＝1，得a2＝.∵an－1an＝(n≥2)，∴＝1(n≥2)．说明数列{an}是所有奇数项是1，偶数项为的数列，则S20＝10×1＋10×＝15.
7．等比数列{an}中，S3＝7，S6＝63.
(1)求an；
(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解析】(1)若q＝1，则S6＝2S3，与已知矛盾，所以q≠1.则解得即an＝2n－1.
(2)由(1)，得Sn＝2n－1，
于是Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝－n＝2n＋1－n－2.
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，
∴解得a1＝1，d＝－1.
∴an＝1－(n－1)＝2－n.
(2)＝＝，
∴数列的前n项和
Tn＝…＋＝＝.
【能力提升】
9．(2019年内蒙古赤峰模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】D
【解析】∵1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.若Sn>1 020，显然Sn是递增的且S9＝1 013<1 020，S10＝2 036>1 020，∴n的最小值是10.故选D．
10．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
【答案】2n＋1－2
【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.
11．设公差不为0的等差数列{an}的首项为1且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵a2，a5，a14构成等比数列，
∴a＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
解得d＝0(舍去)或d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝.
∴＝，n∈N*.
由(1)，知an＝2n－1，n∈N*，
∴bn＝，n∈N*.
∴Tn＝＋＋＋…＋，
则Tn＝＋＋…＋＋.
两式相减，得Tn＝＋－＝－－，∴Tn＝3－.
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