(共33张PPT)
3.1 不等关系与不等式
目标定位 重点难点
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系．
3．理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．
4．掌握不等式的性质及各自成立的条件. 重点：比较两个数大小的方法．
难点：掌握不等式的性质及其应用.
1．不等式中常用的不等符号有_____________________．
2．(1)a－b＞0?________；
(2)a－b＝0?________；
(3)a－b＜0?________.
＞，＜，≤，≥，≠
a＞b
a＝b
a＜b
【答案】A
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
用不等式表示不等关系
【方法规律】用不等式表示不等关系的方法：
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系；
(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．
已知某学生有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本．根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，试列出满足所有条件的不等式．
【例2】 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
【解题探究】根据“若p－q＞0则p＞q”的公理，用作差法来解决．
比较两个数的大小
【方法规律】1.作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤：
第一步，作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变形有两种情形：
(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘；
(2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断．
第二步，判断差值与零的大小关系．
第三步，得出结论．
2．作商法比较大小应注意的问题：
作商法即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．
已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
不等式性质的应用
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系．
【答案】C
【方法规律】不等式性质的应用主要有：判断不等式的真假，证明不等式，求参数的取值范围等．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件；
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例即可．
比较大小要注重分类讨论
【警示】作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标准．
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
3．a－b＞0，a－b＝0，a－b＜0反映了实数的运算性质，a＞b，a＝b，a＜b反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．
【答案】B
【答案】B
【解析】∵a＜b，y＝2x单调递增，∴2a＜2b.故选B．
【答案】D
【解析】a＝1，b＝－1时，A，B，C错误，排除A，B，C．故选D．
4．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________．
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
3.1 不等关系与不等式
【基础练习】
1．当m>2时，mm与2m的大小关系是( )
A．mm>2m B．mm＜2m
C．mm＝2m D．无法确定
【答案】A
【解析】由于mm>0,2m>0，故可采用作商法.＝m.∵m>2，∴>1，∴m>1，即mm>2m.
2．已知a＜b＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．＜1 B．|a|＞－b
C．＜ D．b2＞a2
【答案】B
【解析】∵a＜b＜0，令a＝－3，b＝－1，∴＝3＞1，故A错误；＝－＞－1＝，故C错误；b2＝1，a2＝9，故D错误．故选B．
3．若<<0，则不等式：①a＋b
|b|；③aA．①② B．②③
C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】∵<<0，∴b0，∴a＋b4．(2019年吉林长春期末)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】A
【解析】∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.∵(b＋c)－(c－b)＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＞0，∴b＞a.故选A．
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
【答案】x＜y
【解析】x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.
6．已知a，b为实数且a≠b，a＜0，则a________2b－.(选填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】＜
【解析】∵a≠b，a＜0，∴a－＝＜0，∴a＜2b－.
7．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每艘轮船每天可运输300 t粮食和250 t石油，每架飞机每天可运输150 t粮食和100 t石油．现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
【解析】设需安排x艘轮船和y架飞机，则
∴
8．已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，求9x＋y的取值范围．
【解析】设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，
比较两边系数得2a＋3b＝9，a＋b＝1，
解得a＝－6，b＝7.
∵－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，
∴－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤.
以上两不等式相加，得－≤9x＋y≤.
【能力提升】
9．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x
C．≤1 D．x＋≥2
【答案】C
【解析】A中x＞0时才成立；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故≤1；D中当x＜0时，x＋＜0.
10．设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( )
A．a＜＜b B．a＜b＜
C．b＜a＜ D．b＜＜a
【答案】B
【解析】a＝sin 15°＋cos 15°＝sin 60°，b＝sin 16°＋cos 16°＝sin 61°，∴a＜b，排除C，D两项．又a≠b，∴－ab＝＞0.∴＞ab＝sin 60°×sin 61°＝sin 61°＞sin 61°＝b.故a＜b＜成立．
11．若规定＝ad－bc，则与(a，b∈R，a≠b)的大小关系为________．(选填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】＞
【解析】∵＝a2＋b2，＝ab－(－ab)＝2ab，∴－＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2＞0，∴＞.
12．设a＞0，b＞0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
【解析】＝aa－b·bb－a＝a－b，
当a＞b＞0时，＞1，a－b＞0，
则a－b＞1，于是aabb＞abba.
当b＞a＞0时，0＜＜1，a－b＜0，
则a－b＞1，于是aabb＞abba.
综上所述，对于不相等的正数a，b，都有aabb＞abba.
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